连续体的振动.pptx

连续体振动 关于连续体 1 连续体也叫弹性体 具有连续分布的质量和弹性 现实中的机械零件都是连续体 2 由于确定连续体上无数质点的位置 需要无限多个坐标 所以连续体是一种无限自由度的系统 3 因连续体有无限个自由度 所以运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 而是偏微分方程 咱们之前研究的单自由度 双自由度 多自由度系统都是有限多自由度系统 可以看成由有限个质量 刚度集中点所构成 而连续体则将零件看成由质量 刚度连续分布的物体所组成 弦的横向振动 弦两端固定 以张力F拉紧 在分布力作用下做横向振动 微元法求弦振动方程 为单位长度弦的质量p x t 为单位长度弦上分布的作用力 建立坐标系xoyy x t 弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移 取微段 对微段进行受力分析 弦的横向振动 将方程整理得 自由振动时 0 上式化简为 根据达朗贝尔原理 dx 2 2 F dx F 令 c 弹性横波的纵向传播速度 并考虑到 sin tan y x 2 2 c 2 x2 1 弦的横向强迫振动方程 2 2 c 2 x2 0 x 一维波动方程 弦的横向振动的固有频率和主振型 固有频率和主振型 从前面的章节中 我们知道振动系统的固有频率和主振型可以通过研究其自由振动来获得 弦的自由振动有一个性质 弦上的各点做同步运动 可以用数学中的分离变量法 将弦振动函数y x t 分解为空间函数Y x 和时间函数F t 的乘积 设 y x t Y x F t 并代入一维波动方程 2 2 c 2 x20 x 整理得到 c21 x d2 x dx2 1 t 2 2 0 x 弦的横向振动的固有频率和主振型 上诉方程两边分别依赖于变量x和t 要对任意存在意义的x和t成立 则两边都应等于同一个常数 设此常数为 wn2 即设 4 4 关于方程 4 4 二阶常微分方程 解为 21 2 2 1 2 2 2 t Asinwnt Bcoswnt 整理则有 2 x2 2 t 0 0 4 6 2 t2 2 t 0 4 5 弦的横向振动的固有频率和主振型 式中 A B由两个初始条件决定 对于两端固定的弦 边界条件是 令方程 4 5 中wnc 同样 解可以表示为 Y x Csin x Dcos x 式中 C D由两个初始条件决定 y x t 0 0y x t 0 或 Y0 0Y L 0 4 7 4 8 弦的横向振动的固有频率和主振型 运动的初始条件为 y x t t 0 y0 y x t 0 y0 4 9 有了这四个约束条件 就能求解系统的偏微分方程了 将 4 8 代入式 4 7 中 得到 D 0和sin 0 4 10 这就是两端固定弦的特征方程 由此可得到一系列的特征值 i i i 1 2 i 0时系统不振动 无意义 弦的横向振动的固有频率和主振型 与特征值相对应的各个常数wni即为系统的固有频率 wni i i 1 2 式中i 1的wni 称为基频 i 1时的频率称为高次谐波 与特征值相对应的各个常数wni即为系统的固有频率 固有频率wni有无穷多个 并且 wni i 一一对应 空间函数 i Csini x为特征函数或振型函数 4 12 弦的横向振动的固有频率和主振型 由于D 0 振型是各点振幅的比值 比例因子C不影响该比值 所以 i sini x i 1 2 在此处键入公式 其中 1 sin x为基本振型 将 4 13 和 4 6 代入y x t Y x F t 中 即得到弦的主振动 4 13 yi cos sini x i 1 2 由于弦各阶主振动的叠加即为自由振动定解 所以 y 1 1 cos sini x 式中 i和 i由两个初始条件决定 弦振动性结论 弦振动性结论 1 两端固定弦的自由振动 除了基频之外 还可以包含频率为基频整数倍的振动 这种倍频振动称为谐波振动 在音乐上 正是这种频率之间的整数倍关系模式的谐波与基波组成了各种悦耳的谐音结构 2 与离散系统相似 弦在任意初始条件下的自由振动可以由固有振型的叠加构成 3 阶数越高 节点数越越多 第i阶振型中节点个数为i 1 杆的纵向振动 以等截面细直杆的纵向振动为例 杆的参数 杆长l面积A材料密度 弹性模量E 假设振动过程中各截面仍保持为平面 P x t 单位长度杆上分布的纵向作用力 忽略有纵向振动引起的横向变形 杆的纵向振动 微段分析 u x t 为杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移 微段应变 截面上的应力 F AE AE u x 由达朗贝尔原理列出方程式为 4 36 杆的纵向振动 将 3 35 代入 4 37 得 Adx 2u t2 F F p x t dx 4 37 A 2u t2 x EA u p x t dx 杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆ES为常数 自由振动时p x t 0 所以 2u 2 a 2u x2 0 x 一维波动方程 式中a 为弹性纵波沿杆的传播速度 杆的固有频率和主振型 由于杆的振动方程和弦横向振动方程类似 也是运用分离变量法 u x t U x F t 式中U x 为空间函数 F t 为时间函数 得到 a2 x d2 x dx2 1 t d2 d 2 wn2 设为 将上式代入 4 37 得 2 t2 2 t 0 2 x2 2a x 0 杆的纵向振动 t 1coswnt 1sinwnt U x 1coswnxa 1sinwnxa 式中wn即为杆的固有频率 U x 是杆的纵向自由振动的主振型 1 1 1 1可以由边界条件求得 这两个微分方程的解分别为 轴的扭转振动 轴的扭转振动 细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动 杆参数 截面极惯性矩 材料密度 切变模量G P x t 单位长度杆上分布的外力偶矩 假设振动过程中各截面仍保持为平面 为杆上距离原点x处的截面在时刻t的角位移 轴的扭转振动 取微段 截面处的扭矩为T 则 T G 由达朗贝尔原理列出方程为 pdx 2 t2 T T p x t dx 整理得 p 2 t2 x p x t dx p 2 t2 x G p p x t dx 将T G 代入上式得 圆截面杆的强迫振动方程 轴的扭转振动 对于等直杆G 为常数 自由振动时p x t 0 所以 2 2 2 x2 0 x 一维波动方程 式中b 为扭转波传播速度 总结 弦的横向振动 2 2 c 2 x2 0 x 杆的纵向振动 轴的扭转振动 2u 2 a 2u x2 0 x 2 2 b 2 x2 0 x 虽然它们在运动形式上表现不同 但运动微分方程是类似的 都是一维波动方程 轴的扭转振动 式中A B wn 可由边界条件和初始条件求出 轴的扭转振动的固有频率wn即对应的主振型 x coswnixb Bsinwnixb由轴的边界条件求出 所以根据弦横向振动微分方程的解可直接写出 cos xb sin xb sin 梁的横向振动 一根棱柱形梁在x y平面内所做的横向自由振动 梁的横向自由振动 梁的参数 横截面面积为A单位体积的质量 横截面对中心轴的惯性矩为J截面抗弯刚度为EJ 梁的横向振动 设x截面上作用的剪力为V 弯矩为M则x dx截面的剪力可认为V dx 弯矩为M dx 取微段 由达朗贝尔原理列出方程式 x 2 t2 0 梁的横向振动 略去上式中的 2的二阶小项 得 对x dx截面任一点取矩 做力矩平衡方程得 xdx dx A 2y t2 22 0 x 2 t2 化简得 xdx Adx 2y t2 2 0 化简得 4 56 梁的横向振动 将材料力学中梁挠曲线的微分方程M EJ 2y 2代入 4 57 得 x V x 2 x2 4 57 将 4 58 代入 4 56 得 4 58 x 2 2 2 x2 2 2 4 4 4 4 2y t2 梁的横向振动 上式即为等截面横梁自由振动的运动方程 它是一个四阶齐次偏微分方程 令 a 则式 4 59 变为 4 4 1a2 2y t2 0 x 在此处键入公式 薄膜的横向振动 如下图所示 在xy平面内边界曲线为S S x y 的薄膜 令f x y t 表示沿z方向作用的力T表示在某点处张力的密度 为常量 横向振动方程 薄膜的横向振动 现取一膜单元 面积为dxdy 厚度为h 面密度为 则作用在该单元与y轴和x轴平行的边上的力分别为Tdx和Tdy 由于这些力的作用而引起的沿z轴方向的分力分别为 Tdx 2 2 2 2 Tdy 2 2 2 2 在z轴对末微元 运用牛顿第二定律 T 2 2dx T 2 2