第一讲 二次根式的概念及二次根式的乘除法.doc

2010秋九年级数学培优第一讲 二次根式的概念及二次根式的乘除法知识与方法1.定义：形如的式子叫做二次根式；特别地，有时把形如（）的式子也叫做二次根式；表示的算术平方根2.二次根式的性质： (1)二次根式的双非性:() ；(2)( )；(3)；(4)(,)； (5) (,).3.二次根式的乘除:(1) (,)；(2)(,)；(3)(,)；(4) (,).4.基本思想方法:(1)逆用性质( )可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式,这在代数式的化简、计算及其它代数变换中经常会用到.例如,化简:；(2)积、商的算术平方根的两个性质是二次根式化简与运算的重要依据，逆用这两个性质可进行二次根式的乘除运算，但一定要注意它们成立的条件；(3)合理运用(或逆用)积、商的算术平方根的两个性质,可将被开方数中开得尽方的因数(或因式)开出来,也可将根号内的分母化去，从而将二次根式化简；有时需要将它们与（）合用，把根号外的非负因式移到根号内.例题解析【例1】为何值时,下列各式在实数范围内有意义?(1)； (2)；(3)； (4)【巩固练习一】1.若有意义,则的取值范围是_.2. 为何值时,下列各式在实数范围内有意义?(1)； (2)；(3)； (4).【例2】已知,求的值.【巩固练习二】1已知,求的值. 2. 若,是实数，且,试求的值.【例3】计算: (1)； (3)【巩固练习三】1. ； 2.（）. 【例4】(1) 已知,求的值；(2) 已知,求的值. 【巩固练习四】1. 已知,求的值；2. 若,求的值.能力训练一1. 若有意义，则=_2.当_时,式子在实数范围内有意义.3.比较大小:(1)_； (2)_； (3)_.4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（）、（，）5.在实数范围内分解因式:(1)； (2).6.把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内:(1)；(2)； (3).7.已知的整数部分为,小数部分为，试求的值8.若,化简第二讲 最简根式与二次根式的加减法知识与方法1.最简二次根式:(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式.2.同类二次根式:化成最简后，被开方数相同的几个二次根式.3.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.4.二次根式的混合运算顺序：先乘方，后乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.5.基本思想方法: (1)一个二次根式是最简二次根式的必要条件是根号内的代数式(即被开方数)是整式，此外，还需符合以下条件:若被开方数是单项式，则要求系数是整数，且该整数的所有质因数的指数及此单项式的所有字母因式的指数均为1；若被开方数是多项式，则要求此多项式的各项系数是整数，且要求将此多项式充分分解后的每一质因数和因式(含多项式因式)的指数均为1.(2)对于同类二次根式，一般只有在把每个二次根式化成最简二次根式后才能作出判断,此时只要求被开方数相同，而根号前面的因式只要非负即可.(3)把一个二次根式化成最简二次根式，通常先运用分式的基本性质,将被开方数等值变换成分母中的每一质因数或因式的指数均为偶数的形式，再根据二次根式的性质化去根号内的分母，进而再把被开方数分解因式或分解质因数，运用二次根式的性质把其中开得尽方的因数或因式开出来.(4)二次根式的加减运算，要注意防止出现以下错误：该化简的没化简，如结果中出现等；不能合并的却合并了，如；化简得不正确，如等；合并错误，如等.(5)有关二次根式的计算、化简、比较大小等题型中常用方法：换元法和取倒数法.例题解析【例1】(1)下列各式哪些是最简二次根式，哪些不是最简二次根式.； ；.(2)把下列根式化成最简二次根式：；().【巩固练习一】1. 下列根式中，属最简二次根式的是（ ）A B C D2.把下列各式化成最简二次根式：； ； .【例2】判别下列二次根式中,哪些是同类二次根式：， ，.【巩固练习二】1.若最简二次根式和是同类二次根式，则=_.2.判别下列二次根式中,哪些是同类二次根式：，.【例3】计算或化简：(1) ； (2) 【巩固练习三】1.计算或化简：； ().2.已知，求的值.【例4】求的值，其中，.【巩固练习四】1.已知，计算的值.2.当时，求的值.能力训练二1.下列各式中最简二次根式有( ) ， .A1个 B2个 C3个 D4个2.已知,化简后所得的结果是( )A B C D3.化简：=_.4.先将化简，然后自选一个合适的的值，代入化简后的式子求值5.如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值.6.计算： ()7.设，求的值.8.设的整数部分为，小数部分为，求的值.第三讲 二次根式的混合运算及综合应用知识与方法1.分母有理化：将分母中含根号的代数式等值变换成不含分母或分母中不含根号的形式，简言之就是通过等值变换把分母中的根号化去.2.互为有理化因式：两个含根号的代数式相乘，若积中不含根号，则称这两个代数式是互为有理化因式，其中一个称为另一个的有理化因式.3.二次根式的混合运算顺序：先乘方，后乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.4.基本思想方法:(1)分母有理化的常见方法是利用分数的基本性质把分子、分母同乘以分母的最简有理化因式，从而化去分母中的根号；但有时也可把分子、分母分解成积的形式，通过约分，使分母不含根式；甚至有时可综合运用两种方法进行分母有理化，这需酌情灵活处理.如；等.(2)分母有理化的关键是确定分母的最简有理化因式.一般说来：(这里为最简二次根式)的最简有理化因式是；的最简有理化因式是；的最简有理化因式是；若分母有多项，往往需适当变形后才能找出其最简有理化因式或将原式逐步化简才能使分母有理化.(3)在混合运算时有理式的运算法则及运算律同样适用，在进行一级运算(即加减运算)时尤其要注意二次根式的化简和同类二次根式的合并，在进行二级运算(即乘除运算)时要注意将式子分母有理化.(4)有理化是一种重要的思想方法，有时为解决一些难题，可创造性地通过将分子有理化、方程有理化等将命题等价置换，这在一些有关根式的奥数题的解法中常被用到.例题解析【例1】(1)分母有理化：； ； ；. (2)计算：.【巩固练习一】1.分母有理化：； .2.计算：；.【例2】计算：； ； 【巩固练习二】1.计算：； 计算：.【例3】若，求的值；化简：.【巩固练习三】1.如下图，化简； 2.化简:【例4】(1)设的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)设，求的值.【巩固练习四】1.化简：； ； ； .2.已知，求的值.能力训练三1.若，则=_.2.计算=_.3.若有意义，则可化简为( )A B C D4.已知，则的值( )A3B4C5D65.计算：； .6.计算； .7.已知，求.8.设的整数部分为，小数部分为，求的值.第四讲 勾股定理知识与方法能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）例题解析【例1】如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【巩固练习一】1、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求ABE的面积。ABEFDC 2、在ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，求ABC的周长。【例2】如图所示，在中，是的中点，于，求的长.【巩固练习二】1、如图所示，是由边长为的正方形地砖铺设的地面示意图，求小明沿图中所示的折线从所走的路程. 2、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（ ）.A等于1米 B大于1米 C小于1米 D不能确定3、如图所示，在中，、是中线，求的长.【例3】如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。【巩固练习三】1、四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 2、已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形. 3、如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【例4】1、若、为正实数，且，那么的最小值为 .2、如图，已知：在中，. 求：BC的长. 【巩固练习四】1、如图，已知,求BC和AD的长.2、若、为正实数，且，求的最小值。3、设、为正实数，有一个三角形的三边长分别为、，求此三角形的面积.能力训练四1、在RtABC中，C=90，三边长分别为a、b、c，则下列结论中恒成立的是 ( )A、2abc2D、2abc22、已知x、y为正数，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5B、25C、7D、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A、4个B、5个C、6个D、8个COABDEF第4题图4、已知：如图，ABC中，C = 90，点O为ABC的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 cm5、若ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此为（ ）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）A、40B、80C、40或360D、80或3607、如图，在RtABC中，C=90，D为AC上一点，且DA=DB=5，又DAB的面积为10，那么DC的长是（ ）ADBCBACD第9题图 A、4B、3C、5D、4.5 ABDC第7题图ACDBE第8题图8、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A、2B、3C、4D、59、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_。10、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是_m。11、 如图，已知：，于P. 求证：. 12、已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 13、在ABC中，ACB=90，CDAB于D,求证：。14、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长.第五讲 勾股定理（2）知识与方法：如果三角形一边的平方等于其他两边的平方和，那么这条边所对的角是直角.例题解析【例1】如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 【巩固练习一】1、 如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。 2、 如图，, ,求证：. 【例2】给出一组式子：(1)你能发现关于上述式子的一些规律吗？请你运用所发现的规律，给出第5个，第6个式子；(2)请用等式说明你所发现的规律.【巩固练习二】1下列各组整数，不能构成直角三角形的一组是（ ）A5，12，13 B1，且P为整数）C0,且为整数） D（0,且、为整数）2.满足的一组正整数（、），通常为勾股数，若表、表中的、为勾股数，请你填写并探索表、表中构成勾股数组的规律： 表369153n4816204n51015205n 表35791141240513253、 观察一些勾股数组中的每组三个正整数的奇偶性，会发现其中至少一个是偶数，请你说明这是为什么.ACB【例3】在ABC中，,三边分别为、.求证：【巩固练习三】1、如图，ABC中，,D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且.求证：.2、若P是长方形ABCD所在平面上一点，求证：.【例4】在等边三角形ABC内取一点P，使BPC150，求证：以PA、PB、PC为边长的三角形是直角三角形.PACB【巩固练习四】DEACB1、在ABC中，BAC90，ABAC，点D、E在BC上，且DAE45，求证：.DBCA2、如图，已知等腰ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求ABC的周长能力训练四1、如图，在ABC中，D、E、F分别是BC、AB、CA上的点，AEAF， BEBD，CFCD，ABAC2BCDC，AB3，AC4，求ABC的面积.2、如果直角三角形的三边都是整数，而且它的周长数等于面积数，求三角形三边的长.3、如图，ABC中