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一 无穷小 二 无穷大 三 小结思考题 第三节无穷小与无穷大 一 无穷小 infinitesimal 1 定义 例如 注意 1 无穷小是变量 不能与很小的数混淆 2 零是可以作为无穷小的唯一的数 2 无穷小与函数极限的关系 证 必要性 充分性 意义 1 将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小 3 无穷小的运算性质 定理2在自变量的同一变化过程中 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 证 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 推论1在自变量的同一变化过程中 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 都是无穷小 二 无穷大 infinite 绝对值无限增大的变量称为无穷大 特殊情形 正无穷大 负无穷大 注意 1 无穷大是变量 不能与很大的数混淆 3 无穷大是一种特殊的无界变量 但是无界变量未必是无穷大 不是无穷大 无界 证 verticalasymptote 定理4 无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一过程中 无穷大的倒数为无穷小 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 证 意义关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小的讨论 三 小结思考题 1 主要内容 两个定义 四个定理 三个推论 2 几点注意 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1 无穷小 大 是变量 不能与很小 大 的数混淆 零是唯一的无穷小的数 2 无穷多个无穷小的代数和 乘积 未必是无穷小 3 无界变量未必是无穷大 思考题 在自变量的同一过程中 无穷大的倒数为无穷小 反之 无穷小的倒数是否一定为无穷大 思考题解答 不一定 0是无穷小 但其倒数不存在 所
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