江苏省高考真题数学试卷及答案(理科)word版.doc

A B C 1 A D E F 1 B 1 C A B C S G F E 2013 年普通高等学校统一考试数学试题 卷卷 必做题部分必做题部分 一 填空题一 填空题 1 函数 4 2sin 3 xy的最小正周期为 2 设 2 2 iz i为虚数单位 则复数z的模为 3 双曲线1 916 22 yx 的两条渐近线的方程为 4 集合 1 0 1 共有 个子集 5 下图是一个算法的流程图 则输出的n的值是 6 抽样统计甲 乙两位设计运动员的 5 此训练成绩 单位 环 结果如下 运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次 甲 8791908993 乙 8990918892 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 7 现在某类病毒记作 nmY X 其中正整数m n 7 m 9 n 可以任意选取 则nm 都取到奇 数的概率为 8 如图 在三棱柱ABCCBA 111 中 FED 分别是 1 AAACAB 的中点 设三棱锥ADEF 的体积为 1 V 三棱柱ABCCBA 111 的体积为 2 V 则 21 V V 9 抛物线 2 xy 在1 x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D 包含三 角形内部与边界 若点 yxP是区域D内的任意一点 则yx2 的取值范 围是 10 设ED 分别是ABC 的边BCAB 上的点 ABAD 2 1 BCBE 3 2 若 ACABDE 21 21 为实数 则 21 的值为 11 已知 xf是定义在R上的奇函数 当0 x时 xxxf4 2 则不等式xxf 的解集用区间 表示为 12 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的标准方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 右焦点为F 右准线 为l 短轴的一个端点为B 设原点到直线BF的距离为 1 d F到l的距离为 2 d 若 12 6dd 则椭 圆C的离心率为 13 在平面直角坐标系xOy中 设定点 aaA P是函数 x y 1 0 x 图象上一动点 若点 AP 之间的最短距离为22 则满足条件的实数a的所有值为 14 在正项等比数列 n a中 2 1 5 a 3 76 aa 则满足 nn aaaaaa 2121 的最大正整数 n 的值为 二 解答题 15 本小题满分 14 分 已知 cos sin cos sin ab 0 1 若 2ab 求证 ab 2 设 0 1 c 若abc 求 的值 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥ABCS 中 平面 SAB平面SBC BCAB x y A l O C B A ABAS 过A作SBAF 垂足为F 点GE 分别是棱SCSA 的中点 求证 1 平面 EFG平面ABC 2 SABC 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 点 3 0 A 直线 42 xyl 设圆C的半径为1 圆心在l上 1 若圆心C也在直线1 xy上 过点A作圆C的切线 求切线的方程 2 若圆C上存在点M 使MOMA2 求圆心C的横坐标a的取值范围 18 本小题满分 16 分 如图 游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径 一种是从A沿直 线步行到C 另一种是先从A沿索道乘缆车到B 然后从B沿直线步行到C 现有甲 乙两位游客从 A处下山 甲沿AC匀速步行 速度为min 50m 在甲出发min2后 乙从A乘缆车到B 在B处停 留min1后 再从匀速步行到C 假设缆车匀速直线运动的速度为min 130m 山路AC长为m1260 经测量 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道AB的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行 的速度应控制在什么范围内 19 本小题满分 16 分 设 n a是首项为a 公差为d的等差数列 0 d n S是其前n项和 记 cn nS b n n 2 Nn 其中c为实数 1 若0 c 且 421 bbb 成等比数列 证明 knk SnS 2 Nnk 2 若 n b是等差数列 证明 0 c 20 本小题满分 16 分 设函数axxxf ln axexg x 其中a为实数 1 若 xf在 1 上是单调减函数 且 xg在 1 上有最小值 求a的取值范围 2 若 xg在 1 上是单调增函数 试求 xf的零点个数 并证明你的结论 卷卷 附加题部分附加题部分 选做题 第 21 题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若 多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 21 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 AB和BC分别与圆O相切于点D C AC经过圆心O 且2BCOC 求证 2ACAD 21 B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 1 01 2 020 6 AB 求矩阵BA 1 21 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系xoy中 直线l的参数方程为 ty tx 2 1 t为参数 曲线 C 的参数方程为 tan2 tan2 2 y x 为参数 试求直线l与曲线 C 的普通方程 并求出它们的公共点的坐标 21 D 选修 4 5 不定式选讲 本小题满分 10 分 已知ba 0 求证 baabba 2233 22 必做题 第 22 23 题 每题 10 分 共 20 分 请在相应的答题区域内作答 若多做 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 ACAB 2 ACAB 4 1 AA 点D是BC的中点 1 求异面直线BA1与DC1所成角的余弦值 2 求平面 1 ADC与 1 ABA所成二面角的正弦值 23 本小题满分 10 分 设数列 122 3 3 34444 n a 1 1 1 1 k kk kk 个 即当 11 22 kkk k n kN 时 1 1 k n ak 记 12nn Saaa nN 对于lN 定义集合 l P1 nn n SanNnl 是的整数倍 且 1 求集合 11 P中元素的个数 2 求集合 2000 P中元素的个数 参考答案参考答案 一 填空题 1 2 5 3 xy 4 3 4 8 5 3 6 2 7 20 63 8 1 24 9 2 1 2 10 1 2 11 50 5 12 3 3 13 1 或10 14 12 二 解答题 15 解 1 2 ba 2 2 ba 即 22 222 bbaaba 又 1sincos 222 2 aa 1sincos 222 2 bb 222 ba 0 ba b a 2 1 0 sinsin cos cosba 1sinsin 0coscos 即 sin1sin coscos 两边分别平方再相加得 sin221 2 1 sin 2 1 sin 0 6 1 6 5 16 证明 1 ABAS SBAF F 分别是 SB 的中点 E F 分别是 SA SB 的中点 EF AB 又 EF 平面 ABC AB 平面 ABC EF 平面 ABC 同理 FG 平面 ABC 又 EF FG F EF FG 平面 ABC 平面 EFG平面ABC 2 平面 SAB平面SBC 平面SAB 平面SBC BC AF 平面 SAB AF SB AF 平面 SBC 又 BC 平面 SBC AF BC 又 BCAB AB AF A AB AF 平面 SAB BC 平面 SAB 又 SA 平面 SAB BC SA 17 解 1 由 1 42 xy xy 得圆心 C 为 3 2 圆C的半径为1 圆C的方程为 1 2 3 22 yx 显然切线的斜率一定存在 设所求圆 C 的切线方程为3 kxy 即03 ykx 1 1 323 2 k k 113 2 kk 0 34 2 kk 0 k或者 4 3 k 所求圆 C 的切线方程为 3 y或者3 4 3 xy即3 y或者01243 yx 2 解 圆C的圆心在在直线42 xyl上 所以 设圆心 C 为 a 2a 4 则圆C的方程为 1 42 2 2 ayax 又 MOMA2 设 M 为 x y 则 2222 2 3 yxyx 整理得 4 1 22 yx设为圆 D 点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 即 圆 C 和圆 D 有交点 12 1 42 12 2 2 aa 由0885 2 aa得Rx 由0125 2 aa得 5 12 0 x 终上所述 a的取值范围为 5 12 0 18 解 1 13 12 cos A 5 3 cos C 2 0 CA 13 5 sin A 5 4 sin C 65 63 sincoscossinsinsinsin CACACACAB 根据 sinBsinC ACAB 得mC AC AB1040sin sinB 2 设乙出发 t 分钟后 甲 乙距离为 d 则 13 12 50100 1302 50100 130 222 ttttd 507037 200 22 ttd 130 1040 0 t即80 t 37 35 t时 即乙出发 37 35 分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 由正弦定理 sinBsinA ACBC 得500 13 5 65 63 1260 sin sinB A AC BC m 乙从 B 出发时 甲已经走了 50 2 8 1 550 m 还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V min m 则3 50 710500 v 3 50 710500 3 v 14 625 43 1250 v 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在 14 625 43 1250 范围内 法二 解 解 1 如图作 BD CA 于点 D 设 BD 20k 则 DC 25k AD 48k AB 52k 由 AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发 x 分钟后到达点 M 此时甲到达 N 点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当 x min 时 MN 最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到 C 用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大 且为 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在 范围内 1250 43 625 14 C B A D M N 19 证明 n a是首项为a 公差为d的等差数列 0 d n S是其前n项和 d nn naSn 2 1 1 0 c d n a n S b n n 2 1 421 bbb 成等比数列 41 2 2 bbb 2 3 2 1 2 daada 0 4 1 2 1 2 dad 0 2 1 2 1 dad 0 d da 2 1 ad2 ana nn nad nn naSn 2 2 2 1 2 1 左边 aknankSnk 222 右边 aknSn k 222 左边 右边 原式成立 2 n b是等差数列 设公差为 1 d 11 1 dnbbn 带入 cn nS b n n 2 得 11 1 dnb cn nSn 2 2 1 2 1 111 2 11 3 1 bdcncdndadbndd 对 Nn恒成立 0 0 0 2 1 0 2 1 11 1 11 1 bdc cd dadb dd 由 式得 dd 2 1 1 0 d 0 1 d 由 式得 0 c 法二 证 1 若0 c 则dnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 当 421 bbb 成等比数列 41 2 2 bbb 即 2 3 2 2 d aa d a 得 add2 2 又0 d 故ad2 由此 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 故 knk SnS 2 Nnk 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2 1 cn adn c adn c adn n 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cn adn c adn 2 2 2 1 2 2 1 若 n b是等差数列 则BnAnbn 型 观察 式后一项 分子幂低于分母幂 故有 0 2 2 1 2 cn adn c 即0 2 2 1 adn c 而 2 2 1 adn 0 故0 c 经检验 当0 c时 n b是等差数列 20 解 1 由0 1 a x xf即a x 1 对 1 x恒成立 max 1 x a 而由 1 x知 x 1 1 1 a 由aexg x 令0 xg则axln 当x aln时 xg 0 当x aln时 xg 0 xg在 1 上有最小值 aln 1 a e 综上所述 a的取值范围为 e 2 证明 xg在 1 上是单调增函数 0 aexg x 即 x ea 对 1 x恒成立 min x ea 而当 1 x时 x e e 1 e a 1 分三种情况 当0 a时 x xf 1 0 f x 在 0 x上为单调增函数 0 1 f f x 存在唯一零点 当a 0 时 a x xf 1 0 f x 在 0 x上为单调增函数 1 aaa eaaeaef 0 且af 1 0 f x 存在唯一零点 当 0 e a 1 时 a x xf 1 令0 xf得 a x 1 当 0 x a 1 时 x a xa xf 1 0 x a 1 时 x a xa xf 1 0 a x 1 为最大值点 最大值为1ln 11 ln 1 a a a aa f 当01ln a时 01ln a e a 1 xf有唯一零点e a x 1 当1ln a 0 时 0 e a 1 xf有两个零点 实际上 对于 0 e a 1 由于 e a e a ee f 1 11 ln 1 0 1ln 11 ln 1 a a a aa f 0 且函数在 ae 1 1 上的图像不间断 函数 xf在 ae 1 1 上有存在零点 另外 当 a x 1 0 a x xf 1 0 故 xf在 a 1 0上单调增 xf在 a 1 0只有一个零点 下面考虑 xf在 1 a 的情况 先证 lnln 11111 21 aaaaa eaaaeeaaeeef 0 为此我们要证明 当x e时 x e 2 x 设 2 xexh x 则xexh x 2 再设 xexl x 2 2 x exl 当x 1 时 2 x exl e 2 0 xexl x 2 在 1上是单调增函数 故当x 2 时 xexh x 2 4 2 2 eh 0 从而 2 xexh x 在 2上是单调增函数 进而当x e时 2 xexh x 2 eeeh e 0 即当x e时 x e 2 x 当 0 a e 1 时 即 1 a e 时 lnln 11111 21 aaaaa eaaaeeaaeeef 0 又1ln 11 ln 1 a a a aa f 0 且函数 xf在 1 1 a ea上的图像不间断 函数 xf在 1 1 a ea上有存在零点 又当x a 1 时 x a xa xf 1 0 故 xf在 1 a上 是单调减函数 函数 xf在 1 a只有一个零点 综合 知 当0 a时 xf的零点个数为 1 当 0 a e 1 时 xf的零点个数为 2 21 A 证明 连接 OD AB 与 BC 分别与圆 O 相切于点 D 与 C 0 90 ACBADO 又 AA ADORT ACBRT AD AC OD BC 又 BC 2OC 2OD AC 2AD 21 B 解 设矩阵 A 的逆矩阵为 dc ba 则 20 01 dc ba 10 01 即 dc ba 22 10 01 故 a 1 b 0 c 0 d 2 1 矩阵 A 的逆矩阵为 2 1 0 01 1 A BA 1 2 1 0 01 60 21 30 21 21 C 解 直线l的参数方程为 ty tx 2 1 消去参数t后得直线的普通方程为022 yx 同理得曲线 C 的普通方程为xy2 2 联立方程组解得它们公共点的坐标为 2 2 1 2 1 21 D 证明 baabba 2233 22 22 3223 bbaaba 2 2222 babbaa 2 2 22 bababababa 又 ba 0 ba 0 0 ba02 ba 0 2 bababa 022 2233 baabba baabba 2233 22 22 本题主要考察异面直线 二面角 空间向量等基础知识以及基本运算 考察运用空间向量解决问题 的能力 解 1 以 1 AAACAB为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyzA 则 0 0 0 A 0 0 2 B 0 2 0 C 4 0 0 1 A 0 1 1 D 4 2 0 1 C 4 0 2 1 BA 4 1 1 1 BA 10 103 1820 18 cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 异面直线BA1与DC1所成角的余弦值为 10 103 2 0 2 0 AC 是平面 1 ABA的的一个法向量 设平面 1 ADC的法向量为 zyxm 0 1 1 AD 4 2 0 1 AC 由 1 ACmADm 042 0 zy yx 取1 z 得2 2 xy 平面 1 ADC的法向量为 1 2 2 m 设平面 1 ADC与 1 ABA所成二面角为 3 2 32 4 coscos mAC mAC mAC 得 3 5 sin 平面 1 ADC与 1 ABA所成二面角的正弦值为 3 5 23 本题主要考察集合 数列的概念与运算 计数