2019-2020学年开封市五县联考高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年河南省开封市五县联考高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1函数在区间上的平均变化率为（ ）A-1B1C2D3【答案】B【解析】直接利用平均变化率公式进行求值.【详解】因为，所以在区间上的平均变化率为.故选：B【点睛】本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.2“”是“”成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解对数不等式，再利用集合间的包含关系进行判断.【详解】因为，集合为集合的真子集，所以推出，反之不成立，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、对数不等式求解，考查运算求解能力，求解时注意将问题转化成集合间的基本关系，属于基础题.3双曲线：的离心率是（ ）A3BC2D【答案】D【解析】双曲线：化为标准方程是，则，根据离心率公式，求解即可.【详解】双曲线：化为标准方程是，其离心率是.故选：D【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线方程标准化，是解决本题的关键，属于较易题.4函数的单调增区间为（ ）ABCD【答案】D【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.【详解】函数的定义域为令，解得故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.5设等差数列的前项和为，且，则（ ）A45B54C63D72【答案】C【解析】设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式求得，再代入等差数列前项和公式求出.【详解】设等差数列的公差为，由，得所以，所以.所以.故选：C【点睛】本题考查等差数列通项公式、前项和公式，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.6已知，满足，则的最大值为（ ）A5B6C7D8【答案】A【解析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可.【详解】作出可行域如图：由可得：，平移直线经过点A时，有最大值，由解得，平移直线经过点A时，有最大值，.故选：A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.7设，函数为奇函数，曲线的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据奇函数的定义先求得的值，再利用导数的几何意义求得切线方程.【详解】因为函数是奇函数，所以对一切恒成立，所以对一切恒成立，所以对一切恒成立，所以，解得，所以，所以.因为曲线的一条切线的切点的纵坐标是0，所以令，解得.所以曲线的这条切线的切点的坐标为，切线的斜率为.故曲线的这条切线方程为，即.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意涉及切线问题时，要先明确切点坐标.8若函数，则当时，的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】对函数求导得，解不等式求得函数的单调区间，从而求得的最大值.【详解】，当时，是增函数，当时，是减函数，最大值为.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数在闭区间的最值，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意先判断函数的单调性，再求最值.9已知，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】利用基本不等式求得的最小值，再利用参变分离将问题转化为恒成立问题，从而求得答案.【详解】，当且仅当时等号成立，即，.故选：D【点睛】本题考查基本不等式求最值、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.10公差不为0的等差数列的部分项，构成公比为4的等比数列，且，则（ ）A4B6C8D22【答案】B【解析】设等差数列的公差为，利用，构成公比为4的等比数列，都用表示，再利用等差数列的通项公式得到，从而得到等量关系，并求得的值.【详解】设等差数列的公差为.因为等比数列的公比为4，且，所以，构成公比为4的等比数列.所以，所以，得.所以，所以，即，解得.故选：B【点睛】本题考查等差数列中基本量法运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意子数列为等比数列的运用.11椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时,的面积是ABCD【答案】D【解析】先确定周长最大时的取值，再求解三角形的面积.【详解】设椭圆右焦点为，的周长为，则.因为，所以;此时，故的面积是故选D.【点睛】本题主要考查利用椭圆的定义求解最值问题.利用定义式实现两个焦半径之间的相互转化是求解关键.12已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且满足，从点引抛物线准线的垂线，垂足为，则的内切圆的周长为（ ）ABCD【答案】A【解析】不妨设点在第一象限，则，求出，再利用三角形等面积法，求得内切圆的半径，进而求得答案.【详解】如图，不妨设点在第一象限，则，所以，此时，所以.从而的面积为.易知点，所以.设的内切圆的半径为，内心为点，则由，得，解得.所以的内切圆的周长为.故选：A【点睛】本题考查抛物线的焦半径、三角形的内切圆，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用等积法求内切圆的半径.二、填空题13质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为_（单位：）.【答案】4【解析】对进行求导，再将的值代入，即可得答案.【详解】因为，所以，所以质点在时的瞬时速度为.故答案为：.【点睛】本题考查导数在物理中的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意导数与瞬时速度的关系.14_.【答案】2【解析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查定积分的运算求值，考查运算求解能力，属于基础题.15已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，直线：与抛物线交于，两点，点在第一象限，若，则的值为_.【答案】【解析】设，利用焦半径的公式代入，并与抛物线方程联立，求得点的坐标，再代入斜率公式求得的值.【详解】设，直线过抛物线的焦点，所以，由，得，.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意焦半径公式的运用.16已知函数，令，若函数有四个零点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】可作出的图像，将问题转化为函数与直线的交点问题，观察图像可得到答案.【详解】当时，可理解为函数与直线的交点问题（如图）令，有，设切点的坐标为，则过点的切线方程为，将点坐标代入可得：，整理为：，解得：或，得或，故，而，两点之间的斜率为，故.【点睛】本题主要考查零点及交点问题，过点的切线问题，意在考查学生的划归能力，分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.三、解答题17已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）的增区间为，减区间为，；（2）.【解析】（1）对函数求导得，再解导数不等式求得函数的单调区间；（2）由（1）得函数在递减，在递增，在递减，比较，的大小及时，函数值大于0，即可得到答案.【详解】（1）由，当时，解得，当，解得或，故函数的增区间为，减区间为，.（2）由，又由，由，可得 或利用，可得又由当时，故函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间、求函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数将函数的极值与区间端点函数值的大小进行比较，同时注意函数值的正负.18如图，在三棱锥中，平面平面，、均为等边三角形，为的中点，点在上.（1）求证：平面平面；（2）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）以，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系，设，求出向量和面的一个法向量，再求两向量夹角的余弦值，从而求得答案.【详解】（1）因为、均为等边三角形，为的中点，所以，.又，所以平面，即平面.又平面，所以平面平面；（2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以，所以，两两互相垂直.故以，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系如下图所示：不妨设，则，.则点，.则，设平面的法向量为，则，取，则，则直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明、线面角的向量法求解，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意建系前要证明三条直线两两互相垂直.19已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且（1）求抛物线的方程；（2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，为坐标原点，若，求直线的方程【答案】（1）；（2）或【解析】【试题分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，结合抛物线的定义可求得，抛物线方程为.（2）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，代入，化简可求得，即求得直线方程.【试题解析】（1）由点在抛物线上，有，解得，由抛物线定义有：，解：，故抛物线的方程为（2）设直线的方程为：，联立方程，消去得：，故有：， ，则，故，解得：，所求直线的方程为：或20已知函数的一个极值点为2.（1）求函数的极值；（2）求证：函数有两个零点.【答案】（1）极小值为，没有极大值；（2）证明见解析.【解析】（1）先求定义域为，再求导数为，由题意可知，解得，则，确定导数的正负，求解即可.（2）由（1）可知的单调性，分别确定、的正负，从而判断零点个数，即可.【详解】（1）解：定义域为2是的极值点 .时，；时，的单调减区间为，单调增区间为.有极小值为，没有极大值.（2）证明：由（1）知的单调减区间为，单调增区间为.有1个零点在区间内，有1个零点在区间内，只有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，以及利用导数求函数的零点问题，属于较难的题.21在平面直角坐标系中，四个点，中有3个点在椭圆：上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，证明：存在常数使得，并求出的值.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】（1）根据椭圆的对称性可知，关于轴对称的，在椭圆上.分类讨论，当在椭圆上时，当在椭圆上时，分别求解，根据确定，即可.（2）设，由题意可知，设直线的方程为，与椭圆联立，变形整理得，确定，从而，直线的方程为，分别令、确定点与点的坐标，求直线，的斜率分别为，求解即可.【详解】（1），关于轴对称.这2个点在椭圆上，即当在椭圆上时，由解得，.当在椭圆上时，由解得，.又，椭圆的方程为.（2）设，则.因为直线的斜率，又.所以直线的斜率.设直线的方程为，由题意知，.由可得，所以，.由题意知，所以，所以直线的方程为，令，得，即，可得，令，得，即，可得，所以，即，因此，存在常数使得结论成立.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于较难的题.22已知函数，.（1）若曲线与在点处有相同的切线，求函数的极值；（2）若时，不等式在（为自然对数的底数，）上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的极大值，极小值为；（2）.【解析】（1）利用导数的几何意义求得，再对函数求导，解导数不等式求得单调区间，从而求得函数的极值；（2）设，定义域为，要使在上恒成立，只需在上恒成立；对分5种情况讨论，研究函数的最小值，从而求得的范围.【详解】（1），由题意知，或时，时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，的极大值，极小值为.（2）设，定义域为，要使在上恒成立，只需在上恒成立，因为