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1991 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题一 选择题 1 设等式在实数范围内成立 其中 a x y 是yaaxayaaxa 两两不同的实数 则的值是 22 22 3 yxyx yxyx A 3 B C 2 D 3 1 3 5 2 如图 AB EF CD 已知 AB 20 CD 80 BC 100 那么 EF 的值是 A 10 B 12 C 16 D 18 3 方程的解是 01 2 xx A B 2 51 2 51 C 或 D 2 51 2 51 2 51 4 已知 n 是自然数 那么 的值是 19911991 2 1 11 nn x n xx 1 2 A B 1 1991 1 1991 C D 1991 1 n 1 1991 1 n 5 若 其中 为自然数 n 为使得等式成立的最大的自然M n 1210099321 数 则 A 能被 2 整除 但不能被 3 整除 B 能被 3 整除 但不能被 2 整除 C 能被 4 整除 但不能被 3 整除 D 不能被 3 整除 也不能被 2 整除 6 若 a c d 是整数 b 是正整数 且满足 那么cba dcb adc 的最大值是 dcba A B C D 1 5 0 7 如图 正方形 OPQR 内接于 ABC 已知 AOR BOP 和 CRQ 的面积分别是 1 1 S 和 那么 正方形 OPQR 的边长是 3 2 S1 3 S A B C 2 D 3 23 1 1 S 1 3 S 3 2 S 8 在锐角 ABC 中 ABC 的外接圆半径 1 则 1 ACcAB 60 AR A c 2 B 0 2 D c 2 二 填空题二 填空题 1 E 是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点 AE 交对角线 BD 于 G 如果 BEG 的面积是 则平行四边形 ABCD 的面积是 2 已知关于 x 的一元二次方程没有实数解 甲由于看错了二次项系数 0 2 cbxax 误求得两根为 2 和 4 乙由于看错了某一项系数的符号 误求得两根为 1 和 4 那么 a cb32 3 设 m n p q 为非负数 且对一切 x 0 恒成立 则 q p n m x x x x 1 1 1 q pnm 22 2 4 四边形 ABCD 中 ABC BCD AB BC CD 6 135 120 6 35 则 AD 120 135 第二试第二试 一 已知 x y x y x y y x 四个数中的三个又相同的数值 求出所有具有这样性质的数对 x y 二 ABC 中 AB AC BC D 点在 BC 上 E 点在 BA 的延长线上 且 BD BE AC BDE 的外接圆与 ABC 的外接圆交于 F 点 如图 求证 BF AF CF 三 三 将正方形 ABCD 分割为 个相等的小方格 n 是自然数 把相对的顶点 A C 染成红 2 n 色 把 B D 染成蓝色 其他交点任意染成红 蓝两色中的一种颜色 证明 恰有三个 顶点同色的小方格的数目必是偶数 1992 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题一 选择题 1 满足的非负整数的个数是 1 abba ba A 1 B 2 C 3 D 4 2 若是一元二次方程的根 则判别式与平方式 0 x 0 0 2 acbxaxacb4 2 的关系是 2 0 2 baxM A B C D 不确定 M M M 3 若 则的个位数字是 0113 2 xx 44 xx A 1 B 3 C 5 D 7 4 在半径为 1 的圆中有一内接多边形 若它的边长皆大于 1 且小于 则这个多边形的2 边数必为 A 7 B 6 C 5 D 4 5 如图 正比例函数的图像与反比例函数的图像分 0 aaxyxy和 0 k x k y 别相交于 A 点和 C 点 若和的面积分别为 S1和 S2 则 S1与 S2的关系AOBRt COD 是 A B 21 SS 21 SS C D 不确定 21 SS 6 在一个由个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆 若把圆周88 经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 把圆周经过的所有小方格的圆内部 1 S 分的面积之和记为 则的整数部分是 2 S 2 1 S S A 0 B 1 C 2 D 3 7 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD AB 2CD 又 E 是底边 AB 上一 60A 点 且 FE FB AC FA AB 则 AE EB 等于 A 1 2 B 1 3 C 2 5 D 3 10 8 设均为正整数 且 则当 9321 xxxx 921 xxx 220 921 xxx 的值最大时 的最小值是 54321 xxxxx 19 xx A 8 B 9 C 10 D 11 二 填空题二 填空题 1 若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm 腰上的中线等 15cm 则这个等腰三角形的面 积等于 2 若 则的最大值是 0 x x xxx 442 11 3 在中 的平分线相交于点 又于点 若ABC BAC 和 90 PABPE E 则 3 2 ACBC EBAE 4 若都是正实数 且 则 ba 0 111 baba 33 b a a b 第二试第二试 一 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根 当这样的三角形06 2 axx 只有一个时 求的取值范围 a 二 如图 在中 是底边上一点 是线段上一点 且ABC DACAB BCEAD ACEDBED 2 求证 CDBD2 三 某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0 1 2 3 5 6 这六个不同数字组成 现 有四个编码如下 A 320651B 105263 C 612305D 316250 已知编码 A B C D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同 D 恰有三个数字的位置 与 M 和 N 相同 试求 M 和 N 1993 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题一 选择题 1 多项式除以的余式是 1 612 xx1 2 x A 1 B 1 C D 1 x1 x 2 对于命题 内角相等的圆内接五边形是正五边形 内角相等的圆内接四边形是正四边形 以下四个结论中正确的是 A 都对 B 对 错 C 错 对 D 都错 3 设是实数 下列四个结论 x11 xxy 没有最小值 y 只有一个使取到最小值 xy 有有限多个 不止一个 使取到最大值 xy 有无穷多个使取到最小值 xy 其中正确的是 A B C D 4 实数满足方程组 54321 xxxxx 5215 4154 3543 2432 1321 axxx axxx axxx axxx axxx 其中是实常数 且 则的大小 54321 aaaaa 54321 aaaaa 54321 xxxxx 顺序是 A B 54321 xxxxx 53124 xxxxx C D 52413 xxxxx 24135 xxxxx 5 不等式的整数解的个解 73 1 1 2 xxx A 等于 4 B 小于 4 C 大于 5 D 等于 5 6 在中 则的值是 ABC BCAOOA 是垂心是钝角 cos OCBOBC A B 2 2 2 2 C D 2 3 2 1 7 锐角三角 ABC 的三边是 a b c 它的外心到三边的距离分别为 m n p 那么 m n p 等于 A B cba 1 1 1 cba C D CBAcos cos cosCBAsin sin sin 8 可以化简成 1 333 3 9 1 9 2 9 4 3 A B C D 12 3 33 12 3 33 12 3 12 3 二 二 填空题填空题 1 当 x 变化时 分式的最小值是 1 563 2 2 1 2 xx xx 2 放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行 如果最左面的盒里有 7 个小球 且每四个 相邻的盒里共有 30 个小球 那么最右面的盒里有 个小球 3 若方程有四个非零实根 且它们在数轴上对应的四个点等距排列 kxx 4 1 22 则 k 4 锐角三角形 ABC 中 以 BC 边为直径作圆 与 AB AC 分别交于 D 30A E 连接 DE 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四边形 BDEC 设它们的面积分别为 S1 S2 则 S1 S2 第二试第二试 一 设 H 是等腰三角形 ABC 垂心 在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的距 离变小 这时乘积的值变小 变大 还是不变 证明你的结论 HBCABC SS 二 中 BC 5 AC 12 AB 13 在边 AB AC 上分别取点 D E 使线段ABC DE 将分成面积相等的两部分 试求这样的线段 DE 的最小长度 ABC 三 已知方程分别各有两个整数根及 且00 22 bcxxcbxx及 21 x x 21 x x 0 21 xx0 21 x x 1 求证 0 0 0 0 2121 xxxx 2 求证 1 bc1 b 3 求所有可能的值 cb 1994年全国初中数学联合联赛试题年全国初中数学联合联赛试题 第一试 一 选择题一 选择题 本题满分本题满分48分 每小题分 每小题6分分 1 若0 ab a b c 则N 2 当时 函数的最大值是 16x 21yx xx 3 在 ABC中 设AD是高 BE是角平分线 若BC 6 CA 7 AB 8 则DE 4 把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上 使它们两两外切 若要有用 一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住 则这个大圆形纸片的最小半径等于 第二试第二试 一 一 本题满分本题满分20分分 如图所示 在 ABC中 AB AC 任意延长CA到P 再延长AB到Q 使AP BQ 求 证 ABC的外心O与A P Q四点共圆 二 二 本题满分本题满分20分分 周长为6 面积为整数的直角三角形是否存在 若不存在 请给出证明 若存 在 请证明共有几个 三 三 本题满分本题满分20分分 某次数学竞赛共有15个题 下表是对于做对n n 0 1 2 15 个题的人数的一 个统计 n0123 12131415 做对n个题的人数781021 15631 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题 做对10个题和10 个题以下的学生每人平均做对4个题 问这个表至少统计了多少人 1995年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题一 选择题 1 已知a 355 b 444 c 533 则有 A a b cB c b a C c a b D a c b 2 方程组的正整数解的组数是 63 23 xyyz xzyz A 1B 2 C 3 D 4 3 如果方程 x 1 x2 2x m 0的三根可以作为一个三角形的三边之长 那么实数 m的取值范围是 A B C D 01m 3 4 m 3 1 4 m 3 1 4 m 4 如果边长顺次为25 39 52与60的四边形内接于一圆 那么此圆的周长为 A 62 B 63 C 64 D 65 5 设AB是 O的一条弦 CD是 O的直径 且与弦AB相交 记M S CAB S DAB N 2S OAB 则 A M N B M N C M N D M N的大小关系不确定 6 设实数a b满足不等式 a a b a a b 则 A a 0且b 0B a 0且b 0 C a 0且b 0D a 0且b 0 二 填空题二 填空题 1 在12 22 32 952这95个数中 十位数字为奇数的数共有 个 2 已知a是方程的根 则的值等于 2 1 0 4 xx 3 5432 1a aaaa 3 设x为正实数 则函数的最小值是 2 1 yxx x 4 以线段AB为直径作一个半圆 圆心为O C是半圆周上的点 且OC2 AC BC 则 CAB 第二试第二试 一 已知 ACE CDE 90 点B在CE上 CA CB CD 经A C D三点的圆交 AB于F 如图 求证F为 CDE的内心 二 在坐标平面上 纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点 试在二次函数 的图像上找出满足的所有整点 x y 并说明理由 2 9 10105 xx y yx 三 试证 每个大于6的自然数n 都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和 1996年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题一 选择题 本题满分本题满分42分 每小题分 每小题7分分 1 实数a b满足ab 1 记M N 则M N的关系为 11 11ab 11 ab ab A M NB M N C M N D 不确定 2 设正整数a m n满足 则这样的a m n的取值 2 4 2amn A 有一组B 有二组 C 多于二组 D 不存在 3 如图 A是半径为1的圆O外的一点 OA 2 AB是圆O的切线 B是切点 弦 BC OA 连结AC 则阴影部分的面积等于 4 设x1 x2是二次方程的两个根 那么的值等于 2 30 xx 32 12 419xx A 4 B 8 C 6 D 0 5 如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分 那么该直线必通过这个三角形的 A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心 6 如果20个点将某圆周20等分 那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 A 4个 B 8个 C 12个 D 24个 二 填空题二 填空题 本题满分本题满分28分 每小题分 每小题7分分 1 已知实数x0 y0是方程组的解 则x0 y0 1 1 y x yx 2 如图 在 ABC中 AB AC ABN MBC BM NM BN a 则点N到边BC的 距离等于 3 设1995x3 1996y3 1997z3 xyz 0 且 则 333333 31995 19961997199519961997xyz 111 xyz 4 如图 将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60 至AB C D 的位置 则 这两个正方形重叠部分的面积是 第二试第二试 一 一 某校在向 希望工程 捐款活动中 甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9 个男人和n个女生的捐款总数相等 都是 m n 9m 11n 145 元 已知每人的捐款数 相同 且都是整数元 求每人的捐款数 二 二 设凸四边形ABCD的对角线AC BD的交点为M 过点M作AD的平行线分别交 AB CD于点E F 交BC的延长线于点O P是以O为圆心OM为半径的圆上一点 位置如图所示 求证 OPF OEP 三 三 已知a b c都是正整数 且抛物线y ax2 bx c与x轴有两个不同的交点A B 若 A B到原点的距离都小于1 求a b c的最小值 1997年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题 1 下述四个命题是真命题的有 1 一个数的倒数等于自身 那么这个数是 1 2 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3 的平方根是 2 aa 4 大于直角的角一定是钝角 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 已知 那么满足上述不等式的整数 x 的个数是 35 4 23 4 x A 4 B 5 C 6 D 7 3 若实数满足 代数式的最大值是cba 9 222 cba 222 accbba A 27 B 18 C 15 D 12 4 给定平面上个点 已知 1 2 4 8 16 32 都是其中两点之间的距离 那么点数n 的最小可能值是 n A 4 B 5 C 6 D 7 5 在梯形中 E M F N 分别为ABCDDCAD 0 30 B 0 60 C AB BC CD DA 的中点 已知 BC 7 MN 3 则 EF 之值为 A 4 B C 5 D 6 2 1 4 6 如图 已知 均垂直于 BA 1 AA 1 PP 1 BB 11B A17 1 AA16 1 PP 则 AP PB 等于 20 1 BB12 11 BA A 12 B 13 C 14 D 15 二 填空题二 填空题 1 从等边三角形内一点向三边作垂线 已积压这三条垂线的长分别为 1 3 5 则这个等 边三角形的面积是 2 当取遍 0 到 5 的所有实数值时 满足的整数的个数是 a 83 3 aabb 3 若 满足 则的取值范围是 ab753 babS322 4 若正整数 x y 满足 则等于 1997 22 yxyx 第二试第二试 一 设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点 PE 垂直 AC 于点 F PF 垂直 BC 于 点 F PG 垂直 EF 于点 G 延长 GP 并在其延长线上取一点 D 使得 PD PC 试证 且 BC BD BDBC 二 已知为整数 且 方程ba ba 04 33 2 abxbax 的两个根满足关系式 1 1 1 1 试求所有的整数点对 ba 三 已知定理 若三个大于 3 的质数 满足关系式 则是整cba cba 52cba 数 n 的倍数 试问 上述定理中的整数 n 的最大可能值是多少 并证明你的结论 1998 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 填空题一 填空题 1 设 那么的整数部分是 15 m m m 1 2 在直角三角形 ABC 中 两条直角边 AB AC 的长分别为 1 厘米 2 厘米 那么直角的 角平分线的长度等于 厘米 3 已知 那么代数式的值是 01 3 xx12 3 xx 4 已知 是有理数 并且方程有一个根是 那么的值mn0 2 nmxx25 nm 是 5 如图 ABCD 为正方形 A E F G 在同一条直线上 并且 AE 5 厘米 EF 3 厘米 那么 FG 厘米 6 满足 19982 19972 的整数对 共有 个 2 m 2 n 19980 nm nm 7 设平方数是 11 个相继整数的平方和 则的最小值是 2 yy 8 直角三角形 ABC 中 直角边 AB 上有一点 M 斜边 BC 上有一点 P 已知 的面积等于四边形 MPCA 的面积的一半 BP 2 厘米 PC 3 厘米 BMPBCMP 那么直角三角形 ABC 的面积是 平方厘米 9 已知正方形 ABCD 的面积 35 平方厘米 E F 分别为边 AB BC 上的点 AF CE 相交于点 G 并且的面积为 5 平方厘米 的面积为 14 平方厘米 那ABF BCE 么四边形 BEGF 的面积是 平方厘米 10 把 100 个苹果分给若干个人 每人至少分一个 且每人分的数目各不相同 那么至多 有 人 11 设为实数 那么的最小值是 babababa2 22 12 1 2 3 98 共 98 个自然数中 能够表示成两整数的平方差的个数是 13 在右边的加法算式中 每一个 表示一个数字 任意两个数字都不相同 那么 A 与 B 乘 积的最大值是 14 直线 AB 和 AC 与圆 O 分别为相切于 B C 两点 P 为圆上一点 P 到 AB AC 的距离 分别为 4 厘米 6 厘米 那么 P 到 BC 的距离为 厘米 15 每一本书都有一个国际书号 A B C D E F G H I J 其中 A B C D E F G H I 由九个数 字排列而成 J 是检查号码 令 S 10A 9B 8C 7D 6E 5F 4G 3H 2I r 是 S 除以 11 所得的余数 若 r 不等于 0 或 1 则规定 J 11 r 若 r 0 则规定 J 0 若 r 1 规定 J 用表示 现有一本书的书号是 962707015 那么 xyy 第二试第二试 1 求所有正实数 使得方程仅有整数根 a04 3 aaxx 2 已知 P 为 ABCD 内一点 O 为 AC 与 BD 的交点 M N 分别为 PB PC 的中点 Q 为 AN 与 DM 的交点 求证 1 P Q O 三点在一条直线上 2 PQ 2OQ 3 试写出 5 个自然数 使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除 1999 年全国初中数学联合竞赛试卷年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试第一试 一 选择题一 选择题 1 计算的值是 44 112 131313 A 1 B 1 C 2 D 2 2 ABC 的周长是 24 M 是 AB 的中点 MC MA 5 则 ABC 的面积是 A 12 B 16 C 24 D 30 3 设 b a 将一次函数 y bx a 与 y ax b 的图象画在同一平面直角坐标系内 则有一组 a b 的取值 使得下列 4 个图中的一个为正确的是 4 若函数 则当自变量取 22 1 100196100196 2 yxxxx x 1 2 3 100 这 100 个自然数时 函数值的和是 A 540 B 390 C 194 D 97 5 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC AB 998 DC 1001 AD 1999 点 P 在线 段 AD 上 则满足条件 BPC 90 的点 P 的个数为 A 0 B 1 C 2 D 不小于 3 的整数 6 有下列三个命题 甲 若 是不相等的无理数 则 是无理数 乙 若 是不相等的无理数 则是无理数 丙 若 是不相等的无理数 则 是无理数 其中正确命题的个数是 3 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题二 填空题 1 已知且 则 2 1 4 bcab ca 0a bc a 2 如图 在 ABC 中 B 36 ACB 128 CAB 的平分线交 BC 于 M ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N 则 ANM 的最小角等于 3 已知为整数 且满足 则 a b 22 11 1112 111111 3 ab ab ababab ab 4 在正方形 ABCD 中 N 是 DC 的中点 M 是 AD 上异于 D 的点 且 NMB MBC 则 tg ABM 第二试第二试 一 本题满分 20 分 某班参加一次智力竞赛 共 a b c 三题 每题或者得满分或者得 0 分 其中题 a 满分 20 分 题 b 题 c 满分分别为 25 分 竞赛结果 每个学生至少答对了一题 三题全答 对的有 1 人 答对其中两道题的有 15 人 答对题 a 的人数与答对题 b 的人数之和为 29 答对题 a 的人数与答对题 c 的人数之和为 25 答对题 b 的人数与答对题 c 的人数 之和为 20 问这个班的平均成绩是多少分 二 本题满分 25 分 如图 设 ABC 是直角三角形 点 D 在斜边 BC 上 BD 4DC 已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F 与 AN 相切于 AB 的中点 G 求证 AD BF 三 本题满分 25 分 已知 b c 为整数 方程的两根都大于 1 且小于 0 求 b 和 c 的值 2 50 xbxc 2000 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 一 选择题一 选择题 只有一个结论正确只有一个结论正确 1 设 a b c 的平均数为 M a b 的平均数为 N N c 的平均数为 P 若 a b c 则 M 与 P 的大小关系是 A M P B M P C M P D 不确定 2 某人骑车沿直线旅行 先前进了 a 千米 休息了一段时间 又原路返回 b 千米 b a1 b b1 c c1 则 S 与 S1的大小关系一定是 A S S1 B S S1 C S S1 D 不确定 二 填空题二 填空题 7 已知 那么 333 421a 23 331 aaa 8 如图 在梯形 ABCD 中 AB DC AB 8 BC 6 BCD 45 2 BAD 120 则梯形 ABCD 的面积等于 9 已知关于 x 的方程的根都是整数 那么符合条件的整数有 2 1 210axxa 个 10 如图 工地上竖立着两根电线杆 AB CD 它们相距 15 米 分别自两杆上高出地面 4 米 6 米的 A C 处 向两侧地面上的 E D B F 点处 用钢丝绳拉紧 以固定电线 杆 那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为 米 11 如图 在直角坐标系中 矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为 15 6 直线恰好 1 3 yxb 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分 那么 b 12 某商场经销一种商品 由于进货时价格比原进价降低了 6 4 使得利润率增加了 8 个 百分点 那么经销这种商品原来的利润率是 注 100 销售价进价 利润率 进价 三 解答题三 解答题 13 设 m 是不小于 1 的实数 使得关于 x 的方程有两个不 22 2 2 330 xmxmm 相等的实数根 12 x x 1 若 求 m 的值 22 12 6xx 2 求的最大值 22 12 12 11 mxmx xx 14 如上图 已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2 对角线 AC 与 BD 的交点为 E AE EC AB AE 且 BD 2 求四边形 ABCD 的面积 23 15 一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层 它一次最多能容纳 32 人 而且只能在第 2 层至第 33 层中的某一层停一次 对于每个人来说 他往下走一层楼梯感到 1 分不满意 往上走一层楼梯感到 3 分不满意 现在有 32 个人在第一层 并且他们分别住在第 2 至 第 33 层的每一层 问 电梯停在哪一层 可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小 最小值是多少 有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼 2001 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 一 选择题一 选择题 每小题每小题 7 分 共分 共 42 分分 1 a b c 为有理数 且等式成立 则 2a 999b 1001c 的值是 62532 cba A 1999B 2000C 2001D 不能确定 2 若 且有 5a2 2001a 9 0 及 则的值是 1 ab0520019 2 bb b a A B C D 5 9 9 5 5 2001 9 2001 3 已知在 ABC 中 ACB 900 ABC 150 BC 1 则 AC 的长为 A B C D 32 32 30 23 4 如图 在 ABC 中 D 是边 AC 上的一点 下面四种情况中 ABD ACB 不一定成 立的情况是 A B BDABBCAD ACADAB 2 C ABD ACBD BDACBCAB 5 在实数范围内 一元二次方程的根为 在 0 2 cbxax a acbb x 2 4 2 ABC 中 若 则 ABC 是锐角三角形 在 ABC 和中 222 ABBCAC 111 CBA a b c 分别为 ABC 的三边 分别为的三边 若 111 cba 111 CBA 111 ccbbaa 则 ABC 的面积 S 大于的面积 以上三个命题中 假命题的个数是 111 CBA 1 S A 0B 1C 2D 3 6 某商场对顾客实行优惠 规定 如一次购物不超过 200 元 则不予折扣 如一次 购物超过 200 元但不超过 500 元的 按标价给予九折优惠 如一次购物超过 500 元 的 其中 500 元按第 条给予优惠 超过 500 元的部分则给予八折优惠 某人两次去 购物 分别付款 168 元和 423 元 如果他只去一次购物同样的商品 则应付款是 A 522 8 元B 510 4 元C 560 4 元D 472 8 二 填空题二 填空题 每小题每小题 7 分 共分 共 28 分分 1 已知点 P 在直角坐标系中的坐标为 0 1 O 为坐标原点 QPO 1500 且 P 到 Q 的 距离为 2 则 Q 的坐标为 2 已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P 则点 P 到两圆外公切线的距离为 3 已知是正整数 并且 则 yx 120 23 22 xyxyxxy y22 yx 4 一个正整数 若分别加上 100 和 168 则可得到两个完全平方数 这个正整数为 三 解答题三 解答题 共共 70 分分 1 在直角坐标系中有三点 A 0 1 B 1 3 C 2 6 已知直线上横坐标为baxy 0 1 2 的点分别为 D E F 试求的值使得 AD2 BE2 CF2达到最大值 20 分 ba 2 1 证明 若取任意整数时 二次函数总取整数值 那么都xcbxaxy 2 cbaa 2 是整数 2 写出上述命题的逆命题 并判断真假 且证明你的结论 25 分 3 如图 D E 是 ABC 边 BC 上的两点 F 是 BC 延长线上的一点 DAE CAF 1 判断 ABD 的外接圆与 AEC 的外接圆的位置关系 并证明你的结论 2 若 ABD 的外 接圆的半径的 2 倍 BC 6 AB 4 求 BE 的长 25 分 B B 楃楃D D 解答题 解答题 1 如图 EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形 两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐角为 且 BEG 与 CFH 都是锐角 已知 EG k FH 四边形 EFGH 的面积为 S l 1 求证 sin kl S2 2 试用来表示正方形的面积 Slk A A B BC C D D E E F F G G H H O O 2 求所有的正整数 a b c 使得关于 x 的方程 023 2 baxx023 2 cbxx 的所有的根都是正整数 023 2 acxx 3 在锐角 ABC 中 AD BC D 为垂足 DE AC E 为垂足 DF AB F 为垂足 O 为 ABC 的外心 求证 1 AEF ABC 2 AO EF 4 如图 在四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O 直线 平行于 BD 且与l AB DC BC AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M N R S 和 P 求证 PM PN PR PS l A B D MNP O C R S 2002 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 一 选择题一 选择题 本题本题 42 分 每小题分 每小题 7 分分 1 已知 a 1 b 2 c 2 那么 a b c 的大小关系是 2266 A a b cB b a cC c b aD c a0B M 0C M 0D 不能确定 M 为正 为负或为 0 1 1 y Ox 4 直角三角形 ABC 的面积为 120 且 BAC 90 AD 是斜边上的中线 过 D 作 DE AB 于 E 连 CE 交 AD 于 F 则 AFE 的面积为 A 18B 20C 22D 24 5 圆 O1与 O2圆外切于点 A 两圆的一条外公切线与圆 O1相切于点 B 若 AB 与两圆的 另一条外公切线平行 则圆 O1与圆 O2的半径之比为 A 2 5B 1 2C 1 3D 2 3 B A O 1 O 2 6 如果对于不小于 8 的自然数 n 当 3n 1 是一个完全平方数是 n 1 都能表示成个 k 完 全平方数的和 那么 k 的最小值为 A 1B 2C 3D 4 二 填空题二 填空题 每小题每小题 7 分 共分 共 28 分分 1 已知 a 0 abb 若两个三角形的最小内角相等 则的值等于 a b A B C D 31 2 51 2 32 2 52 2 4 过点 P 1 3 作直线 使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5 这样的直线可以作 A 4 条B 3 条C 2 条D 1 条 5 已知 b2 4ac 是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的一个实数根 则 ab 的取值范围为 A B C D 1 8 ab 1 8 ab 1 4 ab 1 4 ab 6 如图 在 2 3 矩形方格纸上 各个小正方形的顶点称为格点 则以格点为顶点的等腰 直角三角形的个数为 A 24B 38C 46D 50 二 填空题二 填空题 1 计算 1111 12233420032004 2 如图 ABCD 是边长为 a 的正方形 以 D 为圆心 DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的 半圆交于另一点 P 延长 AP 交 BC 于点 N 则 BN NC D A C B N P 3 实数 a b 满足 a3 b3 3ab 1 则 a b 4 设 m 是不能表示为三个合数之和的最大整数 则 m 第二试第二试 A 一 已知方程 x2 6x 4n2 32n 0 的根都是整数 求整数 n 的值 二 已知如图 梯形 ABCD 中 AD BC 以两腰 AB CD 为一边分别向两边作正方形 ABGE 和 DCHF 设线段 AD 的垂直平分线 l 交线段 EF 于点 M EP l 于 P FQ l 于 Q 求证 EP FQ l A BC D E F G H M 三 已知点 A 0 3 B 2 1 C 2 1 P t t2 为抛物线 y x2上位于三角形 ABC 内 包 括边界 的一动点 BP 所在的直线交 AC 于 E CP 所在的直线交 AB 于 F 将表示为 BF CE 自变量 t 的函数 第二试第二试 B 一 已知方程 x2 6x 4n2 32n 0 的根都是整数 求整数 n 的值 二 已知如图 梯形 ABCD 中 AD BC 以两腰 AB CD 为一边分别向两边作正方形 ABGE 和 DCHF 设线段 AD 的垂直平分线 l 交线段 EF 于点 M 求证 M 为 EF 的中点 l A BC D E F G H M 三 已知点 A 0 3 B 2 1 C 2 1 P t t2 为抛物线 y x2上位于三角形 ABC 内 包 括边界 的一动点 BP 所在的直线交 AC 于 E CP 所在的直线交 AB 于 F 将表 BF CE 示为自变量 t 的函数 第二试第二试 C 一 已知方程 x2 6x 4n2 32n 0 的根都是整数 求整数 n 的值 二 已知如图 梯形 ABCD 中 AD BC 以两腰 AB CD 为一边分别向两边作正方形 ABGE 和 DCHF 连接 EF 设线段 EF 的中点为 M 求证 MA MD l A BC D E F G H M 三 已知点 A 0 3 B 2 1 C 2 1 P t t2 为抛物线 y x2上位于三角形 ABC 内 包 括边界 的一动点 BP 所在的直线交 AC 于 E CP 所在的直线交 AB 于 F 将表 BF CE 示为自变量 t 的函数 2005 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 一 选择题 一 选择题 每题每题 7 分 共分 共 42 分分 1 化简 的结果是 11 459 30 236640 2 A 无理数B 真分数C 奇数D 偶数 2 圆内接四条边长顺次为 5 10 11 14 则这个四边形的面积为 A 78 5B 97 5C 90D 102 3 设 r 4 a b c 则下列各式一定成立的是 11 rr 1 11 rr 1 1 r r r 1 A a b cB b c aC c a bD c b a 4 图中的三块阴影部分由两个半径为 1 的圆及其外公切线分割而成 如果中间一块阴影 的面积等于上下两块面积之和 则这两圆的公共弦长是 A B C D 5 2 6 2 21 25 2 21 16 2 5 已知二次函数 f x ax2 bx c 的图象如图所示 记 p a b c 2a b q a b c 2a b 则 A p qB p qC p qD p q 大小关系不能确定 y 0 1 x 6 若 x1 x2 x3 x4 x5为互不相等的正奇数 满足 2005 x1 2005 x2 2005 x3 2005 x4 2005 x5 242 则的未位数字是 22222 12345 x x x x x A 1B 3C 5D 7 二 填空题二 填空题 共共 28 分分 1 不超过 100 的自然数中 将凡是 3 或 5 的倍数的数相加 其和为 2 x 22 7x 9x 13 7x5x 13 7x 则 3 若实数 x y 满足则 x y 3333 y x 1 3 43 6 3333 y x 1 5 45 6 4 已知锐角三角形 ABC 的三个内角 A B C 满足 A B C 用 a 表示 A B B C 以及 90 A 中的最小者 则 a 的最大值为 三 解答题三 解答题 第第 1 题题 20 分 第分 第 2 3 题各题各 25 分分 1 a b c 为实数 ac 0 且 证明 一元二次方程 ax2 bx c 02a 3b 5c 0 有大于而小于 1 的根 3 4 2 锐角 ABC 中 AB AC CD BE 分别是 AB AC 边上的高 过 D 作 BC 的垂线交 BE 于 F 交 CA 的延长线于 P 过 E 作 BC 的垂线 交 CD 于 G 交 BA 的延长线于 Q 证明 BC DE FG PQ 四条直线相交于一点 3 a b c 为正整数 且 a2 b3 c4 求 c 的最小值 2006 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 一 选择题一 选择题 共共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 满分分 满分 30 分 分 1 在高速公路上 从 3 千米处开始 每隔 4 千米经过一个限速标志牌 并且从 10 千米处 开始 每隔 9 千米经过一个速度监控仪 刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施 那么第二次同时经过这两种设施的千米数是 A 36B 37C 55D 90 2 已知 且 8 则 a 的值等于 21 m21 n 763 147 22 nnamm A 5B 5C 9D 9 3 Rt ABC 的三个顶点 A B C 均在抛物线上 并且斜边 AB 平行于 x 轴 若斜 2 xy 边上的高为 h 则 A h 1B h 1C 1 h2 4 一个正方形纸片 用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 拿出其中一部 分 再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 又从得到的三部分中拿出其中之 一 还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 如此下去 最后得到了 34 个 六十二边形和一些多边形纸片 则至少要剪的刀数是 A 2004B 2005C 2006D 2007 5 如图 正方形 ABCD 内接于 O 点 P 在劣弧 AB 上 连结 DP 交 AC 于点 Q 若 QP QO 则的值为 QA QC A B C D 132 3223 23 第 5 题图 AB CD O Q P 第 7 题图 A B C DG FE 二 填空题二 填空题 共共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 满分分 满分 30 分分 6 已知 a b c 为整数 且 a b 2006 c a 2005 若 a b 则 a b c 的最大值为 7 如图 面积为的正方形 DEFG 内接于面积为 1 的正三角形 ABC 其中cba a b c 为整数 且 b 不能被任何质数的平方整除 则的值等于 b ca 8 正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米 甲 乙两人分别从 A C 两点同时出发 沿 A B C D E A 方向绕广场行走 甲的速度为 50 米 分 乙的速度为 46 米 分 那么出发后经过 分钟 甲 乙两人第一次行走在同一条边上 9 已知 0 a 1 且满足 则的值等于 18 30 29 30 2 30 1 aaa a10 表示不超过 x 的最大整数 x 10 小明家电话号码原为六位数 第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字 8 成为一个七位数的电话号码 第二次升位是在首位号码前加上数字 2 成为一个八位数 的电话号码 小明发现 他家两次升位后的电话号码的八位数 恰是原来电话号码的 六位数的 81 倍 则小明家原来的电话号码是 三 解答题三 解答题 共共 4 题 每小题题 每小题 15 分 满分分 满分 60 分分 11 已知 为互质的正整数 即 是正整数 且它们的最大公约数为 1 a b x abab 且 8 a1312 x 1 试写出一个满足条件的 x 2 求所有满足条件的 x 12 设 为互不相等的实数 且满足关系式abc 14162 222 aacb 54 2 aabc 求 a 的取值范围 13 如图 点 P 为 O 外一点 过点 P 作 O 的两条切线 切点分别为 A B 过点 A 作 PB 的平行线 交 O 于点 C 连结 PC 交 O 于点 E 连结 AE 并延长 AE 交 PB 于 点 K 求证 PE AC CE KB 第 13 题 A B C O P E K 14 10 个学生参加 n 个课外小组 每一个小组至多 5 个人 每两个学生至少参加某一个小 组 任意两个课外小组 至少可以找到两个学生 他们都不在这两个课外小组中 求 n 的最小值 2007 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 一 选择题一 选择题 共共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 满分分 满分 30 分分 1 方程组 12 6 xy xy 的解的个数为 A 1B 2C 3D 4 2 口袋中有 20 个球 其中白球 9 个 红球 5 个 黑球 6 个 现从中任取 10 个球 使得 白球不少于 2 个但不多于 8 个 红球不少于 2 个 黑球不多于 3 个 那么上述取法的 种数是 A 14B 16C 18D 20 3 已知 ABC为锐角三角形 O经过点 B C 且与边 AB AC 分别相交于点 D E 若 O的半径与 ADE的外接圆的半径相等 则 O一定经过 ABC的 A 内心B 外心C 重心D 垂心 4 已知三个关于 x 的一元二次方程 0 2 cbxax 0 2 acxbx 0 2 baxcx 恰有一个公共实数根 则 222 abc bccaab 的值为 A 0B 1C 2D 3 5 方程 323 652xxxyy 的整数解 x y 的个数是 A 0B 1C 3D 无穷多 二 填空题二 填空题 共共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 满分分 满分 30 分分 6 如图 在直角三角形 ABC 中 90ACB CA 4 点 P 是半圆弧 AC 的中点 连 接 BP 线段 BP 把图形 APCB 分成两部分 则这两部分面积之差的绝对值是 7 如图 点 A C 都在函数 3 3 0 yx x 的图象上 点 B D 都在x轴上 且使得 OAB BCD 都是等边三角形 则点 D 的坐标为 8 已知点 A B 的坐标分别为 1 0 2 0 若二次函数 2 33yxax 的图象 与线段 AB 恰有一个交点 则a的取值范围是 9 如图 90ABCDEFGn 则 n 10 对于任意正整数 n 都有 3 12n aaan 则 23100 111 111aaa 三 解答题三 解答题 共共 4 题 每小题题 每小题 15 分 满分分 满分 60 分分 A 卷卷 11 已知点 M N 的坐标分别为 0 1 0 1 点 P 是抛物线 2 1 4 yx 上的一个动 点 1 判断以点 P 为圆心 PM 为半径的圆与直线1y 的位置关系 2 设直线 PM 与抛物线 2 1 4 yx 的另一个交点为点 Q 连接 NP NQ 求证 PNMQNM 12 已知 a b 都是正整数 试问关于 x 的方程 2 1 0 2 xabxab 是否有两个整数解 如果有 请把它们求出来 如果没有 请给出证明 13 已知 AB 为半圆 O 的直径 点 P 为直径 AB 上的任意一点 以点 A 为圆心 AP 为半径 作 A A 与半圆 O 相交于点 C 以点 B 为圆心 BP 为半径作 B B 与半圆 O 相 交于点 D 且线段 CD 的中点为 M 求证 MP 分别与 A 和 B 相切 14 1 是否