(西姆松定理-欧拉线-九点圆).doc

西姆松(Simson)定理 西姆松定理说明过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）定理定义：（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明证明一： ABC外接圆上有点P，且PEAC于E，PFAB于F，PDBC于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是FDP=ACP ，（都是ABP的补角） 且PDE=PCE 而ACP+PCE=180 FDP+PDE=180 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由可见A、B、P、C共圆.证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分别四点共圆，有PBN = PLN = PLM = PCM.故A、B、P、C四点共圆。若A、B、P、C四点共圆，则PBN = PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有PBN =PLN =PCM=PLM.故L、M、N三点共线。相关性质的证明：1. M为线段PH的中点连AH延长线交圆于G。证明：连PG交西姆松线与R,BC于Q如图连其他相关线段AHBC,PFBC=AG/PF=1=2A.G.C.P共圆=2=3PEAC,PFBC=P.E.F.C共圆=3=4=1=4PFBC=PR=RQBHAC,AHBC=5=6A.B.G.C共圆=6=7=5=7AGBC=BC垂直平分GH=8=2=48+9=90,10+4=90=9=10=HQ/DF=PM=MH欧拉线莱昂哈德欧拉于1765年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。如右图，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线。注：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。欧拉线的证法1： 作ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G BD是直径 BAD、BCD是直角 ADAB，DCBC CHAB，AHBC DACH，DCAH 四边形ADCH是平行四边形 AH=DC M是BC的中点，O是BD的中点 OM= 1/2DC OM= 1/2AH OMAH OMG HAGAG/GM=2/1 G是ABC的重心 G与G重合 O、G、H三点在同一条直线上 如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O、G、H三点的坐标即可.欧拉线的证法2：设H,G,O,分别为ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。连接OD ，又因为O为外心，所以ODBC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AEBC。所以OD/AE，有ODA=EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF/CM.所以有OFC=MCF连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以DFC=FCA，FDA=CAD，又OFC=MCF，ODA=EAD，相减可得OFD=HCA,ODF=EAC,所以有OFDHCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1又ODA=EAD，所以OGDHGA。所以OGD=AGH,又连接AG并延长，所以AGH+DGH=180,所以OGD+DGH=180。即O、G、H三点共线。欧拉线的证法3设H,G,O,分别为ABC的垂心、重心、外心.则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，向量OG*3=向量OH所以O、G、H三点共线应用；1 ： 平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。证明：设5个点对应的向量分别是z1, z2, z3, z4, z5，且它们的模相等。因为|z1|=|z2|，所以0, z1, z2, z1+z2这四个点构成一个菱形，所以它们的对角线垂直，所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2。这样经过三角形z3, z4, z5的重心，且垂直于z1, z2连线的直线方程就是z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意实数。取 t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。2：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。3：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。证明：第2，3个结论缘于以下事实：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。九点共圆定理九点共圆定理任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。定义：意三角形三条高线的垂足、三边中点以及顶点与垂心的三条连线的中点，共九点都在半径为1/2R(三角形外接圆半径)的圆上，且圆心是外心与垂心所连线段的中点。这个圆称为九点圆，这是庞斯莱命名的。九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几Benjamin Beven.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列1788-1867.一位高中教师费尔巴哈1800-1834曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的直边三角形的一些特殊点的性质一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质如下列的性质3,故有人称九点圆为费尔巴哈圆. 九点圆具有许多有趣的性质,例如: 1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; 3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理.4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO 九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。 事先定义的变量与垂心、外心一样： d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长_）。 c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 重心坐标：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。证明：如右图所示，ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。连结HL并延长至L，使LL=HL；做H关于BC的对称点D。显然，BHC=FHE=180-A，所以BDC=BHC=180-A，从而A，B，D，C四点共圆。又因为BC和HL互相平分于L，所以四边形BLCH为平行四边形。故BLC=BHC=180-A，从而A，B，L，C四点共圆。综上，A，B，C，D，L五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D，L，F，N，E，M九点共圆。此圆即ABC的外接圆O。接下来做位似变换，做法是所有的点（O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行