曲线的凸凹性与拐点.pptx

第五节曲线的凸凹性与拐点 第三章 一 主要内容二 典型例题三 同步练习四 同步练习解答 一 主要内容 一 曲线凸凹性的概念 BA曲线弯曲的方向不同 x1 2 x1 x2x2 y O x f x1 x2 f x1 f x2 22则称f x 的图形是凸的 x1 2 x1 x2x2 y O x 1 若恒有 f x1 x2 f x1 f x2 22则称f x 的图形是凹的 2 若恒有 定义3 2曲线的凸凹性设函数f x 在区间I上连续 x1 x2 I 二 曲线凸凹性的判定定理3 12 凹凸判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内二阶可导 1 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形 是凹的 2 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形 是凸的 y O x 定义3 3连续曲线弧上凸弧与凹弧的分界点称为拐点 三 拐点的判定 定理3 13 拐点判定法 U x0 内二阶可导 0 若函数y f x 在点x处连续 在o f x0 0或不存在 若f x 在x0两侧异号 则点 x0 f x0 是曲线y f x 的一个拐点 若f x 在x0两侧同号 则点 x0 f x0 不是曲线y f x 的拐点 二 典型例题 例1判断曲线y x4的凹凸性 解 y 4x3 y 12x2 当x 0时 y 0 当x 0时 y 0 故曲线y x4在 上是凹的 O x y 4 y x 例2判断曲线y x3的凹凸性 解 y 3x2 y 6x 当x 0时 y 0 当x 0时 y 0 当x 0时 y 0 故曲线y x3在 0 上是凹的 在 0 上是凸的 点 0 0 是拐点 O x yy x3 5 解 5 2 y x 2 3 3 9 10 y x 2 x y y 2 2 2 不存在0 凸 凹 例3求曲线y x 2 3的拐点 当x 2时 y 不存在 9 101 3 13 x 2 5因此点 2 0 为曲线y x 2 3的拐点 x y O2 5 y x 2 3 解 例4 求曲线y x 1 3x2的拐点 当x 0时 y 5x 2 y 25x 1 33x9x3x 5 令y 0 得x 1当x 0时 y 不存在 xy y 0 1 1 0 不存在 5 凸 2 凹 55 1 0拐点凹 的拐点 3 2 3 525 165 1 x 是y x 因此点 即 xlnx ylny x yln x y xlnx ylny x y lnx y x 0 y 0 x y 例5利用函数图形的凹凸性 证明不等式 2证令f t tlnt D 0 t f t lnt 1 f t 1 0t 0 22 故曲线f t 的图形在 0 是凹的 于是对于 x 0 y 0 x y 有f x f y f x y 2 x y 222xlnx ylny x y ln 三 同步练习 1 讨论曲线y ln x2 1 的凹凸性与拐点 2 求曲线 3 求曲线 y 3x的拐点 y 3x4 4x3 1的凹凸区间及拐点 4 求证曲线y x 1有位于一直线的三个拐点 x2 1设f x K x2 3 2 问当K为何值时 曲线 5 在拐点处的法线通过原点 6 设y f x 在x x0的某邻域内具有三阶连续导数 如果f x0 0 而f x0 0 试问 x0 f x0 是否为曲线y f x 的拐点 为什么 四 同步练习解答 解 x2 1 2x y x2 1 2 2 x2 1 2x 2x y x2 1 2 2 1 x2 2 1 x 1 x x2 1 2令y 0 得x1 1 x2 1 对应y1 y2 ln2 1 讨论曲线y ln x2 1 的凹凸性与拐点 x y y 1 1 1 1 凸 1 凸 1 00拐点凹拐点 O x 由表可知曲线在 1 及 1 上是凸的 在 1 1 上是凹的 1 ln2 及 1 ln2 是曲线的拐点 y y ln 1 x2 1 ln2 1 ln2 2 求曲线 解 3 y 1x 3 9 2 5 3 y 2x 因此点 0 0 为曲线y 3x的拐点 y y 当x 0时 y 不存在 x 0 0 0 凹 不存在0凸 O x y y 3x y 3x的拐点 3 y 36x2 24x 36x x 2 解 1 求y y 12x3 12x2 2 求拐点可疑点坐标 3 令y 0 得x1 0 x2 2 3 列表判别 27 对应y1 1 y2 11 3 求曲线 y 3x4 4x3 1的凹凸区间及拐点 3点 0 1 及 故该曲线在 0 及 2 上是凹的 327 211 均为拐点 2 在 0 3 上是凸的 x y y 23 0 2 0 3 凹 3 2 凹 0 0拐点 O x yy 3x4 4x3 1 0 1 211327 0凸拐点 x2 1 证 y y x2 1 2 x2 1 3 2 x 1 x 2 3 x 2 3 x2 1 3 x2 1 x 1 2x 1 2x x2 x2 1 2 x2 1 4 2 x3 3x2 3x 1 2 2x x2 1 2 1 2x x2 2 x2 1 2x 4 求证曲线y x 1有位于一直线的三个拐点 令y 0得x1 1 因为 所以三个拐点共线 x3 2 3 x2 2 3 8 43 从而三个拐点为 1 1 2 8 43 3 1 3 3 1 3 2 3 1 2 1 1 38 43 2 3 1 8 43 1 3 1 解 设f x K x2 3 2 问当K为何值时 曲线 5 在拐点处的法线通过原点 f x 4Kx x2 3 f x 4K x2 3 8Kx2 12K x2 1 令f x 0 解得x 1 而当x 1时 f x 与K符号相同 当 1 x 1时 f x 与K符号相反 当x 1时 f x 也与K符号相同 因此x 1为曲线的拐点 此时y 4K 拐点为 1 4K 和 1 4K 当x 1时 切线的斜率f x 8K 此时法线的斜率为1 又法线经过原点 所以y 0 1 8Kx 08K 1 42 1 解得K 时 原曲线在拐点 即4K 0 1 08K 1 4K 处的法线通过原点 经验算可知 无论K取何值拐点 1 4K 处的法线均不通过原点 设y f x 在x x0的某邻域内具有三阶连续 6 导数 如果f x0 0 而f x0 0 试问 x0 f x0 是否为曲线y f x 的拐点 为什么 解 不失一般性 设f x0 0 由三阶导数在x x0