2009考研数三真题及解析.doc

Born to win 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数的可去间断点的个数为 ( )(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 无穷多个.(2) 当时,与是等价无穷小,则 ( )(A) . (B) . (C) . (D) .(3) 使不等式成立的的范围是 ( )(A) . (B) . (C) . (D) .(4) 设函数在区间上的图形为则函数的图形为 ( )(A) (B)(C) (D)(5) 设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为 ( )(A) .(B) . (C) . (D) .(6) 设均为3阶矩阵,为的转置矩阵,且.若,则为 ( )(A) . (B) . (C) . (D) .(7) 设事件与事件互不相容,则 ( )(A) . (B) . (C) . (D) .(8) 设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为.记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) .(10) 设,则 _ .(11) 幂级数的收敛半径为 _.(12) 设某产品的需求函数为,其对价格的弹性,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加 _ 元.(13) 设,.若矩阵相似于,则 _ . (14) 设为来自二项分布总体的简单随机样本,和分别为样本均值和样本方差,记统计量,则 _.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数的极值.(16)(本题满分10 分)计算不定积分 .(17)(本题满分10 分)计算二重积分,其中.(18)(本题满分11 分)()证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续,在可导,则存在,使得.()证明：若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且.(19)(本题满分10 分)设曲线,其中是可导函数,且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍,求该曲线方程.(20)(本题满分11 分)设,()求满足的所有向量；()对()中的任意向量,证明：线性无关.(21)(本题满分11 分)设二次型()求二次型的矩阵的所有特征值；()若二次型的规范形为,求的值.(22)(本题满分11 分)设二维随机变量的概率密度为(I) 求条件概率密度；(II) 求条件概率.(23)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.()求；()求二维随机变量的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)【答案】(C)【解析】由于,则当取任何整数时,均无意义,故的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是的解.故可去间断点为3个,即.(2) 【答案】(A)【解析】与是时的等价无穷小,则 即,故排除B,C.另外,存在,蕴含了,故排除D.所以本题选A.(3) 【答案】(A)【解析】原问题可转化为求成立时的取值范围.由时,知当时,.故应选(A).(4) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由的图形可以看出,其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数,从而可得出下面几个方面的特征： 时,为线性函数,单调递增； 时,且单调递减； 时,单调递增； 时,为常函数； 为连续函数.结合这些特点,可见正确选项为(D).(5) 【答案】(B)【解析】分块矩阵的行列式,即分块矩阵可逆,且故答案为(B).(6)【答案】(A)【解析】, (7) 【答案】(D) 【解析】因为互不相容,所以.(A),因为不一定等于1,所以(A)不正确；(B)当不为0时,不成立,故排除；(C)只有当互为对立事件的时候才成立,故排除；(D),故正确.(8) 【答案】(B)【解析】由于相互独立,所以.(1) 当时,；(2) 当时,因此,为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】【解析】 .(10) 【答案】【解析】解法1：由于,故,代入,得.解法2：由于,故 .(11) 【答案】【解析】由题意知,所以,该幂级数的收敛半径为.(12) 【答案】8000【解析】所求即为.因为,所以,所以.将代入有.(13) 【答案】2【解析】相似于,根据相似矩阵有相同的特征值,得到的特征值为3,0,0.而为矩阵的对角元素之和,.(14) 【答案】 【解析】.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)【解析】 ,.令解得唯一驻点.由于所以 且.从而是的极小值,极小值为.(16)(本题满分10 分)【解析】解法1 设,则而所以解法2 即(17)(本题满分10 分)xyOD【解析】解法1 如右图所示,区域的极坐标表示为.xy O(2,2)解法2 将区域分成两部分(如右图),其中由二重积分的性质知,而 所以 .(18)(本题满分11 分)【解析】()取,由题意知在上连续,在内可导,且根据罗尔定理,存在,使得,即.()对于任意的,函数在上连续,在内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理,其中.由于,且当时,所以,故存在,且.(19)(本题满分10 分)【解析】解法1 由题意知,两边对求导得,代入得 或 (舍去).再求导得 ,记,则,因此, .代入得,从而.故所求曲线方程为.解法2 同解法1,得.整理得 .令,则 ,原方程变成 ,分离变量得 ,即 ,积分得 ,即 .代入,得,所以.代入化简得,即.故所求曲线方程为.(20)(本题满分11 分)【解析】()对矩阵施以初等行变换可求得 ,其中为任意常数.又,对矩阵施以初等行变换,可求得 ,其中为任意常数.()解法1 由()知,所以线性无关.解法2 由题设可得.设存在数,使得, 等式两端左乘,得,即, 等式两端再左乘,得,即.由于，于是,代入式,得,故.将代入式,可得,从而线性无关. (21)(本题满分11 分)【解析】()二次型的矩阵.由于,所以的特征值为.()解法1 由于的规范形为,所以合同于,其秩为2,故,于是或或.当时,此时的规范形为,不合题意.当时,此时的规范形为,不合题意.当时,此时的规范形为. 综上可知,.解法2 由于的规范形为,所以的特征值有2个为正数