2011年山东高考数学试题(文).pdf

20112011 年普通高等学校招生全国统一年普通高等学校招生全国统一模拟模拟考试考试 山东山东卷卷 文文科数学科数学 本试卷分第 卷和第 卷两部分本试卷分第 卷和第 卷两部分 共共 4 页 满分页 满分 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 考试结束后分钟 考试结束后 将本将本 试卷和答题卡一并交回试卷和答题卡一并交回 注意事项 注意事项 1 答题前 考生务必用答题前 考生务必用 0 5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 准考证号 县区和科类填毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 准考证号 县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上写在答题卡和试卷规定的位置上 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2 第 卷每小题选出答案后 用第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试卷上 橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试卷上 3 第 卷必须用第 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答 不能写在试题卷上不能写在试题卷上 如如 需改动 先画掉原来的答案需改动 先画掉原来的答案 然后再写上新的答案然后再写上新的答案 不能使用涂改液 胶带纸不能使用涂改液 胶带纸 修正带修正带 不按以不按以 上要求作答的答案无效 上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案填空题请直接填写答案 解答题应写出文字说明解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 参考公式 参考公式 柱体的体积公式 V Sh 其中 S 是柱体的底面积 h 是锥体的高 锥体的体积公式 V 1 3 Sh 其中 S 是锥体的底面积 h 是锥体的高 第 卷第 卷 共共 60 分分 一 选一 选择题 本大题共择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 集合 0 2 Aa 2 1 Ba 若 0 1 2 4 16AB 则a的值为 D A 0 B 1 C 2 D 4 2 复数 3 1 i i 等于 C A i 21 B 1 2i C 2i D 2i 3 将函数sin2yx 的图象向左平移 4 个单位 再向上平移 1 个单位 所得图象的函数解析式 是 A w w w k s 5 u c o m A 2 2cosyx B 2 2sinyx C 4 2sin 1 xy D cos2yx 命题立意 本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能 学会公式的变形 4 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 C A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 5 在 R 上定义运算 a baabb 2 则满足x 2 x0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 w w w 1 aa 8 6 4 2 0 2 4 6 8 y x f x m m 0 15 执行右边的程序框图 输出的 T w w w k s 5 u c o m 30 16 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能 生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产 品 6 件和 B 类产品 20 件 已知设备甲每天的租赁费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 B 类产品 140 件 所需租赁费最少为 元 2300 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 17 本小题满分 12 分 设函数 f x 2 0 sinsincos 2 cossin 2 xxx在 x处取 最小值 1 求 的值 2 在 ABC 中 cba 分别是角 A B C 的对边 已知 2 1 ba 2 3 Af 求角 C 解 1 1 cos 2sincos sinsin 2 f xxxx sinsin coscos sinsinxxxx sin coscos sinxx sin x 因为函数 f x 在 x处取最小值 所以sin 1 由诱导公式知sin1 因为 0 所以 2 所以 sin cos 2 f xxx w w w k s 5 u c o m 2 因为 2 3 Af 所以 3 cos 2 A 因为角 A 为 ABC 的内角 所以 6 A 又因为 2 1 ba所以由正弦定理 得 sinsin ab AB 也就是 sin12 sin2 22 bA B a 因为ba 所以 4 B或 4 3 B 当 4 B时 7 6412 C 当 4 3 B时 3 6412 C 开始 S 0 T 0 n 0 T S S S 5 n n 2 T T n 输出 T 结束 是 否 18 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1分别是棱 AD AA1的中点 w w w k s 5 u c o m 1 设 F 是棱 AB 的中点 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 证明 平面 D1AC 平面 BB1C1C 证明 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中点 F1 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CD A 1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E1分别是棱 AD AA1的中点 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因为 1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 连接 AC 在直棱柱中 CC1 平面 ABCD AC 平面 ABCD 所以 CC1 AC 因为底面 ABCD 为等腰梯形 AB 4 BC 2 F 是棱 AB 的中点 所以 CF CB BF BCF 为正三角形 60BCF ACF 为等腰三角形 且30ACF 所以 AC BC 又因为 BC 与 CC1都在平面 BB1C1C 内且交于点 C 所以 AC 平面 BB1C1C 而AC 平面 D1AC 所以平面 D1AC 平面 BB1C1C 19 本小题满分 12 分 一汽车厂生产 A B C 三类轿车 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 某月的产量如下表 单位 辆 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆 其中有 A 类轿车 10 辆 1 求 z 的值 w w w k s 5 u c o m 2 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本 将该样本看成一个总体 从中 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 任取 2 辆 求至少有 1 辆舒适型轿车的概率 3 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆 经检测它们的得分如下 9 4 8 6 9 2 9 6 8 7 9 3 9 0 8 2 把这 8 辆轿车的得分看作一个总体 从中任取一个数 求该数 与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 解 1 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 由 题 意 得 5010 100300n 所 以 n 2000 z 2000 100 300 150 450 600 400 2 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车 因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 所以 400 10005 m 解得 m 2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车 3 辆标准型轿车 分别记作 S1 S2 B1 B2 B3 则从中任取 2 辆的所有基本事件为 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 S2 B3 S1 S2 B1 B2 B2 B3 B1 B3 共 10个 其中至少有 1辆舒适型轿车的基本事件有 7个基 本事件 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 S2 B3 S1 S2 所以从中任取 2 辆 至少有 1 辆舒 适型轿车的概率为 7 10 3 样本的平均数为 1 9 48 69 29 68 79 39 08 2 9 8 x 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0 5的数为9 4 8 6 9 2 8 7 9 3 9 0这6个数 总的个数为 8 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率为75 0 8 6 20 本小题满分 12 分 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 w w w k s 5 u c o m 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 1 4 n n n bnN a 求数列 n b的前n项和 n T 解 因为对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像 上 所以得 n n Sbr 当1n 时 11 aSbr w w w k s 5 u c o m 当2n 时 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因为 n a 为等比数列 所以1r 公比为b 所以 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 11 111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T w w w k s 5 u c o m 相减 得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 21 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 3 3 f xaxbxx 其中0a w w w k s 5 u c o m 1 当ba 满足什么条件时 xf取得极值 2 已知0 a 且 xf在区间 0 1 上单调递增 试用a表示出b的取值范围 解 1 由已知得 2 21fxaxbx 令0 xf 得 2 210axbx xf要取得极值 方程 2 210axbx 必须有解 所以 2 440ba 即 2 ba 此时方程 2 210axbx 的根为 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 fxa xxxx w w w k s 5 u c o m 当0 a时 x x1 x 1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 xf在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 当0 a时 w w w k s 5 u c o m x x2 x 2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以 xf在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 综上 当ba 满足 2 ba 时 xf取得极值 w w w k s 5 u c o m 2 要使 xf在区间 0 1 上单调递增 需使 2 210fxaxbx 在 0 1 上恒成立 即 1 0 1 22 ax bx x 恒成立 所以 max 1 22 ax b x 设 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令 0g x 得 1 x a 或 1 x a 舍去 w w w k s 5 u c o m 当1 a时 1 01 a 当 1 0 x a 时 0g x 1 22 ax g x x 单调增函数 当 1 1 x a 时 0g x 1 22 ax g x x 单调减函数 所以当 1 x a 时 g x取得最大 最大值为 1 ga a 所以ba 当01a 时 1 1 a 此时 0g x 在区间 0 1 恒成立 所以 1 22 ax g x x 在区间 0 1 上单调递增 当1x 时 g x最大 最大值为 1 1 2 a g 所以 1 2 a b 综上 当1 a时 ba 当01a 时 1 2 a b w w w k s 5 u c o m 22 本小题满分 14 分 设mR 在平面直角坐标系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 动点 M x y的轨迹为 E 1 求轨迹 E 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 2 已知 4 1 m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 且OAOB O 为坐标原点 并求出该圆的方程 3 已知 4 1 m 设直线l与圆 C 222 xyR 1 R 2 相切于 A1 且l与轨迹 E只有一个公共点 B1 当 R 为何值时 A1B1 取得最大值 并求最大值 解 1 因为ab 1 amx y 1 bx y 所以 22 10a bmxy 即 22 1mxy 当 m 0 时 方程表示两直线 方程为1 y 当1m 时 方程表示的是圆 当0 m且1 m时 方程表示的是椭圆 当0 m时 方程表示的是双曲线 2 当 4 1 m时 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt 解方 程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4 4xkxt 即 222 1 4 8440kxktxt 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 则使 2 22222 6416 1 4 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 1 41 41 4 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 1 41 41 4 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因为直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圆为 22 4 5 xy 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 切 线 为5 5 2 x 与 2