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5 边值问题解的能量模估计5.1 Gronwall不等式定理5.1 设为定义在上的非负连续函数,且是上的单调增函数,如果(为常数),则有证明 ,定理5.2 设是上的非负连续函数,且在上单调增函数,如果,(为常数),则有证明 令,特别,设是上的非负连续函数,若存在常数使得,则有5.2能量模估计记,在上考虑混合问题： （5.1）定理5.3 设是问题（5.1）的解,则有估计, （5.2）其中只与有关.证明 记，用乘以方程式两端,并在上积分,逐项处理如下，,，从而得 （5.3）令 单调增加由（5.3）得 （5.4）由Gronwall不等式,得即 从而有 , （5.5）再由（5.4）得 （5.6）由（5.5）,（5.6）得 得证.定理5.4 设是问题（5.1）的解,则有估计,， ,其中为常数.证明 用乘以方程式两端,并在上积分,得,逐项处理如下,于是,.用乘以方程式两端,并在上积分,得， ， ，于是。由能量估计，可得解的唯一性,解对初值和非齐次项的连续依赖性的证明；进一步，可给出弱解、强解的存在唯一性的证明。
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