南山实验高中2015届高三数学一诊模拟考试试题 文.doc

四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学（文）试题（解析版）【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.第卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知全集,集合，则 A B C D【知识点】交、并、补集的混合运算A1 【答案解析】C 解析：由A中y=ln（3x1），得到3x10，即x，A=（，+），全集U=R，UA=（，由B中y=sin（x+2），得到1y1，B=1，1，则（UA）B=1，故选：C【思路点拨】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，根据全集U=R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可【题文】2.若角的终边在直线上，且，则和的值分别为A B C D【知识点】同角三角函数间的基本关系C2 【答案解析】D 解析：角的终边在直线y=2x上，且sin0，为第二象限角，则tan=2，cos=故选：D【思路点拨】由角的终边在直线y=2x上，且sin0，得到为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cos和tana的值即可【题文】3.设为平面向量，则是的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；平行向量与共线向量A2F2 【答案解析】C 解析：=，若a，b为零向量，显然成立；若cos=1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立而，则与的夹角为为零角或平角，有 因此是的充分必要条件故选C【思路点拨】利用向量的数量积公式得到 =，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论【题文】4.已知等差数列，且，则数列的前项之和为 A B C D 【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和D2 D4 【答案解析】C 解析：在等差数列an中，由a4+a10=12a7，得3a7=12，a7=4S13=13a7=134=52故选：C【思路点拨】直接利用等差数列的性质结合已知求得a7=3，然后由S13=13a7得答案【题文】5已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是A B C D【知识点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算E5 F3 【答案解析】B 解析：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，=11+11=0当x=1，y=2时，=11+12=1当x=0，y=2时，=10+12=2故和取值范围为0，2故选B.【思路点拨】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围【题文】6.在中，是的中点，,点在上且满足,则 A B C D 【知识点】平面向量数量积的运算F3 【答案解析】A 解析：如图因为M是BC的中点，根据向量加法的几何意义，=2，又，所以=故选：A【思路点拨】根据向量加法的几何意义，得出=2，从而所以=【题文】7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，则的单调递增区间为 A. B.C. D.【知识点】正弦函数的单调性C3 【答案解析】B 解析：与直线y=b（0bA）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为T=2（），得=，再由五点法作图可得 +=，求得=，函数f（x）=Asin（x）令2kx2k+，kz，求得x6k，6k+3（kZ），故选：B【思路点拨】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值从这两个方面考虑可求得参数、的值，进而利用三角函数的单调性求区间【题文】8.已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时成立（其中的导函数），若，则的大小关系是 A BC D【知识点】函数的单调性与导数的关系；函数奇偶性的性质B11B4 【答案解析】A 解析：函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x（，0）时，xf（x）f（x）等价为xf（x）+f（x）0，构造函数g（x）=xf（x），则g（x）=xf（x）+f（x）0，当x（，0）时，函数g（x）单调递减，且函数g（x）是偶函数，当x（0，+）时，函数g（x）单调递增，则a=f（）=g（），b=f（1）=个（1），c=（log2）f（log2）=g（log2）=g（2）=g（2），12，g（1）g（）g（2），即bac，故选：A【思路点拨】根据条件构造函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论【题文】9.设定义在上的偶函数满足，且当时，若方程无解，则实数的取值范围是 A B CD【知识点】抽象函数及其应用B10 【答案解析】D 解析：由f（x）cosxa=0得f（x）cosx=a，设g（x）=f（x）cosx，定义在R上的偶函数f（x），g（x）也是偶函数，当x0，1时，f（x）=x3，g（x）=x3cosx，则此时函数g（x）单调递增，则g（0）g（x）g（1），即1g（x）1，偶函数f（x）满足f（1x）=f（x+1），f（1x）=f（x+1）=f（x1），即f（x）满足f（x+2）=f（x），即函数的周期是2，则函数g（x）在R上的值域为1，1，若方程f（x）cosxa=0（a0）无解，即g（x）=f（x）cosx=a无解，则a1，故选：D【思路点拨】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，推出函数的周期性，求出函数的最值即可得到结论【题文】10. 已知正方形的边长为1，、分别为边,上的点，若，则面积的最大值是 A B C D【知识点】三角形的面积公式菁优C8 【答案解析】B 解析：如图所示，C（1，1）设P（a，0），Q（0，b），0a，b1则kPC=，kPQ=1bPCQ=45，tan45=1，化为2+ab=2a+2b，2+ab，化为，解得（舍去），或，当且仅当a=b=2时取等号APQ面积=ab32，其最大值是3故选：B【思路点拨】C（1，1）设P（a，0），Q（0，b），0a，b1可得kPC=，kPQ=1b利用到角公式、一元二次不等式的解法、三角形的面积计算公式即可得出 第 卷（非选择题，共100分）2、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.化简求值：=_【知识点】有理数指数幂的化简求值；有理数指数幂的运算性质B8 【答案解析】0 解析：原式=：（）+lg=+lg=22=0故答案为：0【思路点拨】根据指数幂的运算法则进行化简即可.【题文】12.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f(f()_.【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值菁优B4 【答案解析】 解析：由图象可得函数f（x）=，=f（f（）=故答案为：【思路点拨】由图象可得函数f（x）=即可得出【题文】13.已知，则_【知识点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值C6 C2 【答案解析】 解析：sincos=，0x12sincos=，2sincos=，（0，）1+2sincos=，sin+cos=，由得sin=，cos=，sin（+2）=cos2=2cos21=，故答案为：【思路点拨】把所给的条件两边平方，写出正弦和余弦的积，判断出角在第一象限，求出两角和的结果，解方程组求出正弦和余弦值，进而用二倍角公式得到结果【题文】14.已知实数，且，那么的最小值为_【知识点】基本不等式E5 【答案解析】1 解析：由于ab=1，则又由a0，b0，则，故，当且仅当a=b即a=b=1时，取“=”故答案为1【思路点拨】将整理得到，利用基本不等式即可求得的最大值【题文】15.设,用表示不超过的最大整数，称函数为高斯函数，也叫取整函数.现有下列四个命题：高斯函数为定义域为的奇函数；是的必要不充分条件；设，则函数的值域为；方程的解集是.其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号） 【知识点】命题的真假判断与应用A2 【答案解析】 解析：对于，f（1.1）=1.1=2，f（1.1）=1.1=1，显然f（1.1）f（1.1），故定义域为R的高斯函数不是奇函数，错误；对于，“x”“y”不能“xy”，如4.14.5，但4.14.5，即充分性不成立；反之，“xy”“x”“y”，即必要性成立，所以“x”“y”是“xy”的必要不充分条件，故正确；对于，设g（x）=（）|x|，作出其图象如下：由图可知，函数f（x）=g（x）的值域为0，1，故正确；对于，=1，即+1=，显然，即x1；（1）当01，即1x3时，=0，+1=1；要使+1=，必须12，即1x3，与1x3联立得：1x3；（2）当12，即3x7时，=1，+1=2；要使+1=，必须23，即3x5，与3x7联立得：3x5；（3）当23，即7x11时，=2，+1=3；要使+1=，必须34，即5x7，与7x11联立得：x；综上所述，方程=的解集是x|1x5，故正确故答案为：【思路点拨】，举例说明，高斯函数f（x）=x中，f（1.1）f（1.1），可判断错误；，利用充分必要条件的概念，举例如4.14.5，但4.14.5，说明“x”“y”是“xy”的必要不充分条件；，作出g（x）=（）|x|的图象，利用高斯函数f（x）=x可判断函数f（x）=g（x）的值域为0，1；，方程=+1=，通过对01，12，23三种情况的讨论与相应的的取值范围的讨论可得原方程的解集是x|1x5，从而可判断正确三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【题文】16.（本题满分12分）已知函数，且当时，的最小值为.（）求的值，并求的单调递增区间；（）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换；复合三角函数的单调性C3 C4 C7 【答案解析】（）；（） 解析：（）函数 2分 ，故 4分 则 由 解得函数的单调递增区间为6分（）由已知得，又由得9分 则有 进而解得 故所有根之和为12分【思路点拨】（）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+）+a+1，x0，时f（x）的最小值为2，可求得a，利用正弦函数的单调性可求f（x）的单调增区间；（）利用函数y=Asin（x+）的图象变换，可求得g（x）=2sin（4x）+1，依题意，g（x）=2得sin（4x）=，x0，可求得x=或，从而可得答案【题文】17.（本题满分12分）已知函数为偶函数，数列满足，且，.POABQMN（）设，证明：数列为等比数列；（）设，求数列的前项和.【知识点】数列的求和；等比关系的确定菁D4 D3 【答案解析】（）见解析；（）解析：（）函数为偶函数，2分 数列为等比数列 5分 （） 7分 设 10分设 12分【思路点拨】（）利用函数f（x）=x2+bx为偶函数，可得b，根据数列an满足an+1=2f（an1）+1，可得bn+1+1=2（bn+1），即可证明数列bn+1为等比数列；（）由cn=n（2bn1）=2n2n3n，利用错位相减可求数列的和【题文】18.（本题满分12分）如图，在半径为，圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为, ，（）将表示成的函数关系式,并写出定义域；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若取最大值时，且，为中点，求的值.【知识点】函数模型的选择与应用B10 【答案解析】（）；（） 解析：（）因为，所以 故3分即，5分（） =时 7分由可得.所以 9分 由正弦定理得 所以,故在中，由余弦定理得故 12分 【思路点拨】（I）在RtPON中，PN=OPsin=，ON=cos在RtOQM中，=sin可得MN=0N0M=可得矩形PNMQ的面积y=PNNM=，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出（II）当=时，y取得最大值，=可得A=由cosB=，可得由正弦定理可得：利用两角和差的正弦公式可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB由正弦定理可得：在ABD中，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD22ABADcosA【题文】19.（本题满分12分）已知函数，函数的最小值为.（）求;（）是否存在实数同时满足下列条件：； 当的定义域为时，值域为若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【知识点】函数单调性的性质；函数最值的应用B3 【答案解析】（）（）不存在 解析：（） 设则 2分当时，当时，当时， 6分（）假设存在满足题意.在上是减函数，又的定义域为时，值域为， 10分 -，得，即：满足题意的不存在12分【思路点拨】（）g（x）为关于f（x）的二次函数，可用换元法，转化为二次函数在特定区间上的最值问题，定区间动轴；（）由（1）可知a3时，h（a）为一次函数且为减函数，求值域，找关系即可【题文】20.（本题满分13分）已知函数的单调递减区间是且满足.（）求的解析式；（）对任意，关于的不等式在上有解，求实数的取值范围。【知识点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质B3 B12 【答案解析】（）；（）解析：（）由已知，得,函数的单调递减区是，的解是所以的两个根分别是和，且，由，且，可得 2分又得5分（）由（）得,当时，在单调递增，时， 7分要使在上有解，需 对任意恒成立，即对