3.3.2利用导数研究函数的极值.pptx

3 3 2利用导数研究函数的极值 界首中学孙玉见 还记得高台跳水的例子吗 一 复习导入 导入新课 h t 4 9t2 6 5t 10 一 复习导入 导入新课 单调递增h t 0 单调递减h t 0 h a 0 1 跳水运动员在最高处附近的情况 1 当t a时运动员距水面高度最大 h t 在此点的导数是多少呢 2 当t a时h t 的单调性是怎样的呢 3 当t a时h t 的单调性是怎样的呢 将最高点附近放大 t a t a t a 导数的符号有什么变化规律 在t a附近 f x 先增后减 h x 先正后负 h x 连续变化 于是有h a 0 f a 最大 对于一般函数是否也有同样的性质吗 h t 4 9t2 6 5t 10 一 复习导入 导入新课 2 如图 y f x 在a b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 导数值呢 导数符号呢 探究 x y o a b y f x 0 0 0 0 极小值点 极大点 f a 0 f b 0 定义 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有我们就说f x0 是f x 的一个极大值 点x0叫做函数y f x 的极大值点 反之 若 则称f x0 是f x 的一个极小值 点x0叫做函数y f x 的极小值点 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 从曲线的切线角度看 曲线在极值点处切线的斜率为0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 极值是一个局部概念 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 概念解读 函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 思考1 函数的极值是函数的最值吗 思考2 函数的极值唯一吗 极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 如图所示 是极大值点 是极小值点 而 思考3 极大值与极小值之间的大小关系如何 思考4 若寻找可导函数极值点 可否只由f x 0求得即可 探索 x 0是否为函数f x x3的极值点 f x 3x2当f x 0时 x 0 而x 0不是该函数的极值点 f x0 0 x0是可导函数f x 的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f x 的极值点f x0 0注意 f x0 0是函数取得极值的必要不充分条件 例题选讲 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且 y极大值 28 3 而 当x 2时有极小值 并且 y极小值 4 3 例1求的极值 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况若f x 左正右负 则f x 为极大值 若f x 左负右正 则f x 为极小值 求导 求极点 列表 求极值 思考 求函数极值 极大值 极小值 的一般步骤是什么 故当x a时 f x 有极大值f a 2a 当x a时 f x 有极小值f a 2a 例2 求函数的极值 解 函数的定义域为 令 解得x1 a x2 a a 0 当x变化时 f x 的变化情况如下表 练习已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a