2000年全国各地高考数学模拟试题新题评析应用问题.pdf

2000年全国各地高考数学模拟试题新题评析 应 用 问 题 华中师大一附中试题研究小组 组长 殷希群 执笔 廖义振 华中师大一附中 武汉 430064 中图分类号 O12 44 文献标识码 A 文章编号 0488 7395 2001 13 0036 06 收稿日期 2001 05 10 作者简介 廖义振 1969 男 湖北松滋市人 华中师大一附中一级教师 应用问题是考查学生应用数学的意识和能力的 极好题型 它题材贴近生活 涉及知识面广 题型功 能丰富 考查能力全面 它是高考的热点问题与难点 问题之一 增加应用性与能力性试题是高考内容改 革的方向 应用问题属于 非单纯练习问题 非常注 重情景运用 只靠模仿和熟练操作不能完成 其应用 性 创造性及开放性的特征明显 对此 我们在复习 过程中一定要引起足够的重视 经常有意识地渗透 与强化应用问题的教学 有利于促进数学应用意识 和能力的培养与提高 有利于推动教育观念的更新 1 新题评析 1 1 知识点多 运算量大 不易解模的问题 例1 广州市高三毕业班综合测试 一 20 某企业在 减员增效 中 对部分人员实行分流 规定 分流人员第一年可以在原单位领取工资的100 从第二年起 以后每年都能在原单位按上一年的 2 3 领取工资 该企业根据分流人员的技术特长 计划创 办新的经济实体 该实体预计第一年属投资阶段 员 工没有收入 第二年每人可获b元收入 从第三年起 每人每年的收入可在上一年基础上递增50 如果 某人分流前工资收入每年a元 分流到新的经济实 体后 第n年总收入为an元 求an的表达式 当b 8 27 a时 这个人哪一年收入最少 最少收入是多少 当b 3 8 a时 是否可以保证这个人分流 一年后的年收入一定超过分流前的年收入 简解 依题意知 当n 1时 a1 a 当n 2时 an a 2 3 n 1 b 1 1 2 n 2 a 2 3 n 1 b 3 2 n 2 an a n 1 a 2 3 n 1 b 3 2 n 2 n 2 由已知b 8 27 a 当n 2时 an a 2 3 n 1 8 27 a 3 2 n 2 2 a 2 3 n 1 8 27 a 3 2 n 2 8 9 a 当且 仅 当a 2 3 n 1 8 27 a 3 2 n 2 即 2 3 2n 3 8 27时取 号 2n 3 3 即n 3 因此这个人第三年收入最少 是分流前工资的 8 9 方法1 当n 2时 an a 2 3 n 1 b 3 2 n 2 a 2 3 n 1 3 8 a 3 2 n 2 2 a 2 3 n 1 3 8 a 3 2 n 2 a 当 且 仅 当 2 3 n 1 3 8 3 2 n 2 即n 1 log2 3 1 2 时取等号 而n 1 log2 3 1 2 N 对任何n 2均有an a 成立 方法2 当n 4时 an an 1 a 2 3 n 1 b 3 2 n 2 a 2 3 n 2 b 3 2 n 3 a 2 2 3 n 1 2b 9 3 2 n 1 a 2 2 3 n 1 a 12 3 2 n 1 a 2 2 3 3 a 12 3 2 3 115 864 a 0 而n 2时 a2 25 24 a a 又当n 3时 a3 a 2 3 2 b 3 2 145 144 a a 当n 2时 总有an a成立 63数 学 通 讯 2001年第13期 即当b 3a 8 时 一定可以保证这个人分流一年后的 年收入超过分流前的年收入 评析 此题涉及考查的知识点很多 有数列通 项 函数最值 平均值不等式 指数方程 不等式证明 等等 综合性较强 对运算能力及推理能力都还有较 高的要求 即使建模成功 解模也会存在问题 不易 得出完整而正确的结果 1 2 简单的线性规划问题 例2 北京市西城区第二次模拟考试 22 某公司将一批不易存放的蔬菜 急需从A地运到B 地 有汽车 火车 直升飞机三种运输工具可供选择 三种运输工具的主要参考数据如下 运输 工具 途中速度 千米 小时 途中费用 元 千米 装卸时间 小时 装卸费用 元 汽车50821000 火车100442000 直升 飞机 2001621000 若这批蔬菜在运输过程中 含装卸时间 的损耗 为300元 小时 问采用哪种运输工具比较好 即运 输过程中的费用与损耗之和最小 简解 设A B两地的距离为S千米 则采用三 种运输工具 含装卸 过程中的费用和时间可用下表给 出 运输工具途中及装卸费用途中时间 汽车8S 1000 S 50 2 火车4S 2000 S 100 4 飞机16S 1000 S 200 2 分别用F1 F2 F3表示汽车 火车 飞机运输时 的总支出 则有 F1 8S 1000 S 50 2 300 14S 1600 F2 4S 2000 S 100 4 300 7S 3200 F3 16S 1000 S 200 2 300 17 5S 1600 S 0 F1 F3恒成立 又F1 F2 0的解为S 1600 7 F2 F3 3200 21 则1 当S 1600 7 千米 时 F1 F2 F1 F3 此时采用汽车较好 2 当S 1600 7 千米 时 F1 F2 1600 7 千米 时 F1 F2 并满足F3 F2 此时采用火车较好 评析 这是一道线性规划问题 是运筹学中最 基础的内容 可用中学知识求解 一般采用的方法有 目标函数分析法 图解法 及 单纯形法 学生在解 决这类问题时的主要困难之处在于不会把约束条件 中的多个等式或不等式与所求目标沟通起来 数据 处理能力也有待培养 关于简单线性规划问题 高中 数学新教材中已增加了此项内容 我们在复习过程 中应给予一定的重视 1 3 以图表形式给出的应用题 例3 北京市宣武区6月第二次质量测查 7 某工厂8年来某种产品总产量C与时间 t 年 的函数关系如右图 下列四种说法 图1 例3图 前三年中产量增加的 速度越来越快 前三年中产量增加的 速度越来越慢 第三年后 这种产品 停止生产 第三年后这种产品的 年产量保持不变 其中说法正确的是 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 0 1 简解 此题的很多信息都在图象中 这个图象 是总产量与时间t的函数图象 而不是年产量与时 间t的函数关系 由图可看出前三年中的总产量是 在逐渐增长的 但其增长速度越来越慢 从第三年后 的总产量保持不变 而不是年产量保持不变 则此种 产品不再生产 故选 A 评析 以图象 图形 统计图表等形式呈现信 息 是近几年来数学应用题的新特点 是考查学生理 解语言能力的新形式 本题中的增长速度的几何意 义实际上是lim t 0 C t 即是t处切线的斜率 由图形 知 前三年中的总产量与时间t的函数是上凸函数 其切线的斜率是减函数 即增长速度越来越小 对函数图象的这种凸凹性的考查深度 曾在1998年 高考理 10 题 水瓶注水问题 就出现过 732001年第13期 数 学 通 讯 2 命题趋向 2 1 继续把学生熟悉的材料及社会热点问题作为 编题背景 高考中出现的应用问题 都有其实际背景 并且 要在理解实际背景上体现出公平的原则 这就需要 实际背景是考生所熟悉的或能理解的 改编数学课 本原题 与考生所学的其它学科知知结合 以及选取 社会热点问题为素材等都是编题的常用方法 当然 要做到绝对公平那是不容易的 陌生的实际背景决 定着题目的难度 例4 武汉市高中三年级调研测试 三 20 开始时 烧瓶里有N个细菌 每小时末 细菌的数量 和这一小时初的细菌数量相比增加10 除此以 外 在每小时末 从烧瓶里取出含有n个细菌的一 份 问经过几小时后 烧瓶里的细菌的数量 取出相 应的份数后 就超过开始时细菌数量的一倍 并确 定有解的条件 略解 设r 1 10 1 1 那么取出相应的 份数以后 烧瓶里的细菌的个数是 第一小时末 N r n 第二小时末 Nr n r n N r2 nr n 第三小时末 N r2 r n n r n N r3 nr2 nr n 第t小时末 N rt n rt 1 n rt 2 n r n N rt n rt 1 r 1 根据问题的条件 应当选取t 使得不等式 N rt n rt 1 r 1 2N成立 解之得 rt 2N r 1 n N r 1 n 当N r 1 n 0时 即1 1 t 0 2N n 0 1N n t lg 0 2N n 0 1N n lg1 1 当N 10n时 问题有解 评析 此题的实际背景是 细菌繁殖 这种实 际背景体现了数学与生物的综合或渗透 是全体考 生所能理解的 而此题的模型又为数列中的增长率 模型 应该说这是课本的改编与深化 2 2 继续把构建函数 方程 不等式 数列模型及最 优化原理作为重点 从1993年至今 国家考试中心连续8年命制的 高考数学应用试题 均与函数 方程 不等式 数列及 排列组合等知识有关 大部分为求实际问题的最优 化处理方法 即函数的最大值 最小值问题 1993年 为求工程造价的最小值 1994年是求物理测量数据 处理的最佳近似值 1995年是价格调控中财政补贴 的最小值 1996年是处理土地资源配置的最佳值 1997年是运输成本的最小值 1998年是求环境保护 中污水经沉淀后流出的水杂质的质量分数的最小 值 1999年有一道限制金额选购软件和磁盘的方式 问题 2000年是一道西红柿何时上市纯收入最大的 试题 由此可见 上述基本知识内容及最优化原理有 着广泛的 重要的应用 是高考应用题的热点题型 图2 例5图 例5 北京市宣武区6 月第二次质量测查 22 某小 区要建一座八边形的休闲小 区 它的主体造型的平面图是 由二个相同的矩形ABCD和 EFGH构成的面积为200平方 米的十字型地域 计划在正方 形MN PQ上建一座花坛 造价为每平方米4200元 在四个相同的矩形上 图中阴影部分 铺花岗岩地 坪 造价为每平方米210元 再在四个空角上铺草 坪 造价为每平方米80元 设总造价为S元 AD长为x米 试建立S 关于x的关系式 当x为何值时S最小 并求出这个最小 值 简解 设DQ y米 又AD x米 则x2 4xy 200 y 200 x2 4x 由题意S 4200 x2 210 4xy 80 2y2 4200 x2 210 200 x2 80 2 200 x2 4x 2 38000 4000 x2 400000 x2 x 0 S 38000 216 108 118000 当且仅当4000 x2 400000 x2 时取等号 此时 x4 100 x 10 x 10 米 时 Smin 118000 元 评析 此题属于典型的构建函数模型的应用 题 在 问中 多设了一个元y 并且满足关系式 x2 4xy 200 在 问中 用的是平均值不等式 来求最小值 善于列出目标函数是建模的关键 有时 这个目标函数还是分段函数 如2000年全国高考题 21 题 2 3 继续保持 一大一小 的题型格局 1993年 1994年全国高考数学试题开始尝试出 现应用题 但那时仅限于一些分值较小的题目 自 83数 学 通 讯 2001年第13期 1995年起全国高考数学试题中开始出现大分值应 用题 特别是最近几年更是逐步加大了对数学应用 题的考查力度 并且出现了 一大一小 的题型格局 在一套试题中出现既有解答题中的应用题 也出现 有选择题 填空题中的应用题 例6 北京市西城区6月抽样测试 14 一 批货物随17列货车从A市以v千米 小时匀速直 达B市 已知两地铁路线长为400千米 为了安全 两列货车的间距不得小于 v 20 2 千米 那么这批货 物全部运到B市 最快需要 A 6小时 B 8小时 C 10小时 D 12小时 简解 第一列火车到达B市的时间为400 v 小 时 由于两列货车的间距不得小于 v 20 2 千米 第17列货车到达的时间为 400 v 16 v 20 2 v 400 v 16v 400 而 400 v 16v 400 8 当且仅当v 50 千米 小时 时成立 最快需要8小时 评析 一般来讲 选择型或填空型应用题 主要 考查学生的初步建模能力 对解模要求不会太高 像 此题 只需重点分析第17列火车什么时候可以到达 B市即可 而解答型应用题除考查建模能力外 还想 考查学生的综合能力 所以对解模要求也有一定的 高度 2 4 继续控制好难度 更好地发挥导向作用 坚持在高考中考查数学应用题 不仅可以在较 高层次上考查学生能力 并且还有着强烈的现实意 义和育人功能 对中学数学教育改革起着良好的导 向作用 尽管可以有针对性地开展一些应用题训练 但不具有模仿性 题海战术 无法应付 这就需要我 们重视教学过程 引导学生主动参与 着重培养用数 学的意识与能力 高考应用问题 是 问题解决 的 初级水平 并且所用的知识和方法要严格地限定在 考纲 范围之内 所有这些都集中在试题的难度把 握上 如果试题太难 不仅达不到考查功能 并且易 对考生增加一些心理障碍 近几年高考对 应用题的 难度控制作出了很多尝试 如采用 分二层设问 后 移位置 减少全卷题量 增加思考时间等 例8 广州市普通高中毕业班综合测试 二 20 某沿海城市计划今年起在江河入海口对一片 滩涂每年都实行围垦造地 为了环保 最终围垦地的总面积不允许超 过现有滩涂面积的 1 4 因此计划围垦造地的面积每 年以1 的速度递减 问今年围垦的面积最多只能 占有滩涂面积的百分之几 由于围垦的土地地势较低 为了防涝需要 购置设备建排水站 设所需经费与当年所围土地面 积 x 公顷 的平方成正比 比例系数为a 又设围垦 前每公顷面积的年平均收入b元 围垦后每公顷面 积的年平均经济收入为c元 那么为使所围垦面积 的年收入不少于当年建设排水站的支出与围垦前的 年平均经济收入之和 试求所围垦面积 x 公顷 的 最大值 其中a b c为常数 简解 设该市现有滩涂面积为M公顷 今年围垦的土地面积为x公顷 依题意得 x x 1 1 x 1 1 2 1 4 M 即 lim n Sn x 1 1 1 1 4 M x 0 01 0 25M x 0 0025M 0 25 M 故今年所围垦面积最多只能 占滩涂面积的0 25 围垦x公顷土地可得收入为cx元 依题 意cx ax 2 bx 0 即x ax b c 0 当b c时 则b c 0 c b a x 0 不能围垦 当b c时 则b c 0 试把该公司生产并销售这种产品所得 的年利润表示为当年产量x的函数 当该公司的年产量多大时 当年所得利润 最大 当该公司这种产品年产量多大时 当年不 会亏本 取21 5625 4 65 题12 京皖春季高考统一考试试题 23 某 地区上年度电价为0 8元 kW h 年用电量为akW h 本年度计划将电价降到0 55元 kW h至0 75 元 kW h之间 而用户期望电价为0 4元 kW h 经 测算 下调电价后新增的用电量与实际电价和用户 期望电价的差成反比 比例系数为k 该地区电力 的成本价为0 3元 kW h 1 写出本年度电价下调后 电力部门的效益y 与实际电价x的函数关系式 2 设k 0 2a 当电价最低定为多少时仍可保 证电力部门的收益比上年至少增长20 注 收益 实际用电量 实际电价 成本 价 题13 北京市东城区5月高三综合练习 23 已知某飞机飞行中每小时的耗油量与其速度 的立方成正比 当该机以a公里 小时的速度飞行 时 其耗油费用为m元 油的价格为定值 又设此 机每飞行1小时 除耗油费用外的其他费用为n元 试求此机飞行1公里时的最经济时速及总费用 题14 北京市海淀区6月第二学期期末练习 23 某隧道长a米 最高限速为v0米 秒 一个匀 速行进的车队有10辆车 每辆车长为l米 相邻两 车之间距离 m 米 与车速 v 米 秒 的平方成正比 比例系数为k 自第1辆车车头进隧道至第10辆车 车尾离开隧道时所用的时间为t秒 求出函数t f v 的解析式 并求出定义域 求车队通过隧道时间t的最小值 并求出 t取得最小值时v的大小 题15 福州市高中毕业班适应性训练 22 一造纸厂排出的污水 今年起若不经过处理 该厂将 受环保部门的处罚 第一个月罚款3千元 以后每月 递增2千元 原生产总收入 f n 是生产月份n的一 次