垂径定理教学设计.doc

24.1.2垂直于弦的直径（1）教学目标：知识与技能：经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；过程与方法：在研究过程中，进一步体验“实验归纳猜测证明”的方法；情感态度价值观：让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想教学重点：掌握应用垂径定理进行计算或简单的证明。教学难点：区分垂径定理的题设和结论；应用垂径定理进行计算或简单的证明；研究问题的常用方法：从特殊到一般，由猜想到论证。 教学用具：圆规，三角尺，课件一、实践出新知1、阅读课本80页探究、思考2、解决下列问题刚才的探究说明圆是_，对称轴是每一条_所在的直线，或者说_的任意一条直线。（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系？答案：（两条直径始终是互相平分的） （2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？答案：（不一定，只有当CDAB时）（3）猜想：在O中，CD是直径，AB是弦，当CDAB时，弦AB会被直径CD平分。（4）如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证。如图，已知CD是O的直径，AB是O的弦，且ABCD，垂足为E。求证：AE=BE。证明：连接OA、OB OA、OB是O的半径 OA=OB OAB是等腰三角形 ABDC AE=BE（等腰三角形三线合一） （5）思考：直径AB两侧相邻的两条弧是否相等？（弧AD=弧BD，弧AC=弧BC）3、给这条特殊的直径命名垂直于弦的直径。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。二、解读垂径定理的题设和结论（垂径定理又称“5-2-3”定理）1、引导学生说出定理的几何语言表达形式 CD是直径、AB是弦 AE=BE CDAB 2、利用反例、变式图形进一步掌握定理例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的文字表达式： 经过圆心 得到 平分弦 (不是直径)一条直线具有： 平分弦所对的劣弧 垂直于弦 平分弦所对的优弧4、基础练习： 如图，已知在O中，（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径（2）弦长为6厘米，O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离（3）O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长（4）弦AB为8厘米，DE为2厘米，求O的半径及圆心O到AB的距离5、典型例题例2 在1300多年前，我国隋朝建造了赵州石拱桥，它的桥拱是圆弧形，跨度AB（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高CD（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径。解：如图，设桥拱所在圆的半径为R， AB=37.4m，CD=7.2m，OD=OCCD=R7.2在RtOAD中，由勾股定理，得解得：R279（m）赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.结论：垂径定理与勾股定理相结合，设圆的半径为r， 弦心距为d，弦长为a，则得出r2=d2+（）三、当堂测试：1、如右图所示，已知AB为O的直径，且ABCD，垂足为M，CD8，AM2，则OM .2、O的半径为5，弦AB的长为6，则圆心到弦AB的距离为 .3、在O中，弦长为8cm，圆心到弦的距离为3cm，则圆的半径为 . 4、圆弧形拱桥的跨度为12米，拱高为4米，则拱桥的直径为多少米？5、O的半径是5，P是圆内一点，且OP3，过点P最短弦、最长弦的长为 .四、拓展训练1、如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形D OABCE 证明：OEAC ODAB ABACOEA=90 EAD=90 ODA=90四边形ADOE为矩形，又 AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形.2、如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC，OECD 根据勾股定理得 四、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？2、应用垂径定理要注意那些问题？垂径定理的条件和结论： 经过圆心 得到 平分弦 (不是直径)一条直线具有： 平分弦所对的劣弧 垂直于弦 平分弦所对