数列知识点及习题.doc

高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知数列满足，求。变式: 已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，求。例2:已知， ，求。变式:（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，求.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）证明：类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。例:已知数列中，,，求。变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 2.已知数列中，,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 变式: (2005,江西,文,22本小题满分14分）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列中，求数列变式:（2005，江西,理,21本小题满分12分）已知数列（1）证明 （2）求数列的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an0, 且an+1=， ()试求a1的值，使得数列an是一个常数数列； ()试求a1的取值范围,使得an+1an对任何自然数n都成立； ()若a1 = 2，设bn = | an+1an| (n = 1，2，3，)，并以Sn表示数列bn的前n项的和，求证：Sn0.Sn是它的前n项和，又与的等比中项是，与的等差中项是6，求an。26. 和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合，求证：27. 已知曲线C：， ： （）。从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设。 （I）求的坐标； （II）求数列的通项公式；（III）记数列的前项和为，求证：28、设数列an的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)man.对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m1.(1)求证：an是等比数列；(2)设数列an的公比q=f(m)，数列bn满足：b1=a1,bn=f(bn1)(n2,nN*).试问当m为何值时，成立？29、已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项bn；(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1),记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.30、设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求证：数列an