定积分的概念及性质.PPT.ppt

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第五章定积分实例1 求曲边梯形的面积一问题的提出第一节定积分的概念下页上页首页用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然小矩形越多矩形总面积越接近曲边梯形面积四个小矩形九个小矩形下页上页首页观察下列演示过程注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放下页上页首页曲边梯形如图所示下页上页首页曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为下页上页首页实例2 求变速直线运动的路程思路把整段时间分割成若干小段每小段上速度看作不变求出各小段的路程再相加便得到路程的近似值最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值下页上页首页求变速直线运动的路程 1 分割 2 求和 3 取极限路程的精确值下页上页首页二定积分的定义定义下页上页首页记为积分上限积分下限积分和下页上页首页注意下页上页首页注意定理1 定理2 三存在定理下页上页首页曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四定积分的几何意义下页上页首页几何意义下页上页首页例1利用定义计算定积分解下页上页首页例1 下页上页首页例2 利用定积分的定义计算积分被积函数上连续在解下页上页首页例2 对定积分的补充规定说明在下面的性质中假定定积分都存在且不考虑积分上下限的大小下页上页首页对定积分的补充规定证此性质可以推广到有限多个函数作和的情况性质1 下页上页首页定积分的性质1 证性质2 下页上页首页定积分的性质2 补充不论的相对位置如何上式总成立例若定积分对于积分区间具有可加性则性质3 下页上页首页定积分的性质3 证性质4 性质5 下页上页首页定积分的性质4 5 解令于是下页上页首页例3 性质5的推论证 1 下页上页首页性质5的推论 1 证说明可积性是显然的性质5的推论 2 下页上页首页性质5的推论 2 证此性质可用于估计积分值的大致范围性质6 下页上页首页定积分的性质6 解下页上页首页例4 解下页上页首页例5 下页上页首页证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7 定积分中值定理积分中值公式下页上页首页定积分的性质7 定积分中值定理使即积分中值公式的几何解释下页上页首页积分中值公式的几何解释解由积分中值定理知有使下页上页首页例6 五小结定积分的实质特殊和式的极限定积分的思想和方法求近似以直不变代曲变取极限下页上页首页 3 定积分的性质注意估值性质积分中值定理的应用 4 典型问题估计积分值不计算定积分比较积分大小下页上页首页思考题将和式极限表示成定积分下页上页首页思考题思考题解答原式下

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