人教A版高中数学必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和导学案(2).doc

【知识梳理】1数列的前n项和对于数列an，一般地称a1a2an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2an.2等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式SnSnna1d【常考题型】题型一、等差数列前项和的有关计算【例1】 (1)已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1，S2a3，则a2_；Sn_.(2)在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.(1)解析设公差为d，则由S2a3得2a1da12d，所以da1，故a2a1d1，Snna1d.答案1(2)解由得解方程组，得或【类题通法】a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用【对点训练】1已知等差数列an(1)a1，a15，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和d.解：a15(151)d，d.又Snna1d5，解得n15，n4(舍)(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.题型二、已知求通项公式【例2】已知数列an的前n项和Sn2n2n2.(1)求an的通项公式；(2)判断an是否为等差数列？解(1)Sn2n2n2，当n2时，Sn12(n1)2(n1)22n25n1，anSnSn1(2n2n2)(2n25n1)4n3.又a1S11，不满足an4n3，数列an的通项公式是an(2)由(1)知，当n2时，an1an4(n1)3(4n3)4，但a2a15164，an不满足等差数列的定义，an不是等差数列【类题通法】已知数列an的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n1时，a1S1.(2)当n2时，根据Sn写出Sn1，化简anSnSn1.(3)如果a1也满足当n2时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式为anSnSn1；如果a1不满足当n2时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为an(如本例)【对点训练】2已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求an的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3n2.解：(1)当n1时，a1S1212311；当n2时，Sn12(n1)23(n1)2n27n5，则anSnSn1(2n23n)(2n27n5)2n23n2n27n54n5.此时若n1，an4n54151a1，故an4n5.(2)当n1时，a1S13121；当n2时，Sn13n12，则anSnSn1(3n2)(3n12)3n3n133n13n123n1.此时若n1，an23n123112a1，故an题型三、等差数列前项和的性质【例3】(1)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58B88C143 D176(2)等差数列an中，S10100，S10010，求S110.(1)解析利用等差数列的性质及求和公式求解因为an是等差数列，所以a1a11a4a82a616a68，则该数列的前11项和为S1111a688.答案B(2)解数列an为等差数列，S10，S20S10，S30S20，S110S100也成等差数列设其公差为D，则S10(S20S10)(S30S20)(S100S90)S100，即10S10DS10010.又S10100，代入上式，得D22，S110S100S10(111)D10010(22)120，S110120S100110.【类题通法】等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k组成公差为k2d的等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数)数列为等差数列(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，；当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，.【对点训练】3(1)等差数列an中，a2a7a1224，则S13_.解析：因为a1a13a2a122a7，又a2a7a1224，所以a78.所以S13138104.答案：104(2)在等差数列an中，若S41，S84，则a17a18a19a20的值为()A9 B.12C16 D17解析：选A由等差数列的性质知S4，S8S4，S12S8，也构成等差数列，不妨设为bn，且b1S41，b2S8S43，于是可求得b35，b47，b59，即a17a18a19a20b59.题型四、等差数列前项和的最值【例4】在等差数列an中，a125，S17S9，求前n项和Sn的最大值解法一：由S17S9，得2517d259d，解得d2，Sn25n(2)(n13)2169.由二次函数性质得，当n13时，Sn有最大值169.法二：先求出d2(同法一)，a1250，由，得即12n13.当n13时，Sn有最大值169.【类题通法】求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路(1)将Snna1dn2(a1)n配方转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数n使Sn取最大值当a10时，满足的项数n使Sn取最小值【对点训练】4已知an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值解：(1)设an的公差为d，由已知条件，得解得a13，d2.所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn最大，且最大值为4.【练习反馈】1若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于()A12B13C14 D15解析：选B由S55a325，a35.da3a2532.a7a25d31013.2设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A13 B.35C49 D63解析：选C法一：设数列an公差为d，解得于是S771249.法二：由等差数列前n项和公式及性质知S749.3已知数列的通项公式an5n2，则其前n项和Sn_.解析：an5n2，数列an是等差数列，且a13，公差d5，Sn.答案：4在数列an中，a132，an1an4，则当n_时，前n项和Sn取最大值，最大值是_解析：dan1an4，an4n36.令an4n360，得n9，n8或9时，