2013考研数学三真题解析.pdf

1 2013 硕士研究生入学考试数学三真题及答案解析 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 1 当0 x 时 用 o x表示比x高阶的无穷小 则下列式子中错误的是 A 23 x o xo x B 23 o xo xo x C 222 o xo xo x D 22 o xo xo x 答案 答案 D 解析 解析 A 0 2 2 3 2 x xo x xxo B 22 32 0 o x o xo xo x xxx C 2222 222 0 o xo xo xo x xxx D 0 2 2 22 2 推不出 x xo x xo x xoxo 如 2 2 2 1 o xo x xo x x 则 2 函数 1 1 ln x x f x x xx 的可去间断点的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案答案 B 解析 解析 ln 100 1ln limlimlim1 1 ln 1 ln 1 ln xxx xxx xexx x xxx xxx xx 1 lim x f x 1 lim x 2 1 ln 1 ln xxx xx 2 1 lim x f x 1 lim x ln 1 ln xxx xx 而 f 0 f 1 无定义 故 x 0 x 1 为可去间断点 3 设 k D是 圆 域 22 1 Dx yxy 位 于 第k象 限 的 部 分 记 k k D Iyx dxdy 1 2 3 4k 则 A 1 0I B 2 0I C 3 0I D 4 0I 答案 答案 B 解析 解析 21 2 1 20 1 2 2 2 1234 1 2 1 2 1 sincos sincos 3 1122 sincos cossin 0 0 0 0 3333 k kk k kk D k k k k Iyx dxdydrrrdrd dIIII 带入得 故应选 B 4 设 n a为正项数列 下列选项正确的是 A 若 1 1 1 1 n nnn n aaa 则收敛 B 1 1 1 n n n a 若收敛 则 1nn aa C 1 n n a 若收敛 则存在常数1P 使lim P n n n a 存在 D 若存在常数1P 使lim P n n n a 存在 则 1 n n a 收敛 答案答案 D 解析解析 因为 1 1 1 p n p n 收敛 lim n n na 存在 则 1 n n a 收敛 故应选 D 5 设矩阵 A B C 均为 n 阶矩阵 若 BABC 则 可逆 则 3 A 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 答案答案 B 解析解析 B 可逆 A b1 bn C c1 cn Abi Ci 即 C 的列向量组可由 A 的列向量组表示 AB C A CB 1 CP 同理 A 的列向量组可由 C 的列向量组表示 6 矩阵 1a1 aba 1a1 与 200 0b0 000 相似的充分必要条件为 A a0 b2 B 为任意常数ba 0 C 0 2 ba D 为任意常数ba 2 答案答案 B 解析 解析 A 和 B 相似 则 A 和 B 的特征值相同 A 和 B 的特征值为 1 0 2 b 3 2 A 2E 2 4 11 2 11 a a aba a a 0 且 BRAR 000 00 11 2 ab a A 000 000 002 B 当 a 0 时 BRARRb 时 有 反之对于 0相似和有时 BAaRb 7 设 123 XXX 是随机变量 且 22 123 N 0 1 N 5 3 XN X0 2 X 22 1 2 3 jj PPXj 则 A 123 PPP 4 B 213 PPP C 312 PPP D 132 PPP 答案 答案 A 解析 解析 11 2 212 3 323123 22 2 2 2 2 1 0 11 2 1 1 2 577 1 1 333 PPX X PPPP X PPPPPPP 8 设随机变量 X 和 Y 相互独立 则 X 和 Y 的概率分布分别为 则 2 P XY A 1 12 B 1 8 C 1 6 D 1 2 答案 答案 C 解析 解析 2112031 1 11 11 11 112031 4 38 38 36 P XYP XYP XYP XY P XP YP XP YP XP Y 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸 指定位置上分 请将答案写在答题纸 指定位置上 9 设 曲 线 xfy 和xxy 2 在 点 1 0 处 有 公 共 的 切 线 则 2 lim n n nf n 答案 答案 2 解析 解析 5 22 111 2222 limlimlim 22 222 22 2 11 22 limlim212 2 2 2 nnn nn fff nnnnn nf nnn nn ff nn f n n 10 设函数 yxzz 由方程xyyz x 确定 则 2 1 x z 答案 答案 2 2ln2 解析 解析 1 2 1 20 ln 1 2 1 20 2 2ln2 x x x zyxy zyxyx z z x zyzyxyxy zyx 把点代入得z 在两边同时对 求偏导数 有 将z代入得 11 求dx x x 1 2 1 ln 答案 答案 ln2 解析解析 2 1 11 lnln 1 1 1 xxdx dx xxx x 0 1 ln 1 x x 0 ln 1 ln2 2 12 微分方程0 4 1 yyy通解为 y 答案 答案 1 2 12 x yecc x 解析 解析 2 12 1 2 12 11 0 42 x yecc x 二阶齐次微分方程的特征方程为解得 所以齐次方程的通解为 13 设 ij A a 是三阶非零矩阵 A 为 A 的行列式 ij A为 ij a的代数余子式 若 ijij aA0 i j1 2 3 A 则 6 答案 答案 1 解析 解析 0 ijij aA ijij TT Aa AAAAAAA E 取行列式得 1 0 32 AAAA或 若0 00 AAAA T 矛盾 1 A 14 设随机变量 X 服从标准正态分布 N 0 1 X 则 2 X E Xe 答案答案 2e2 解析 解析 2 2 22 2 11 222 2222 222 1 2 111 2 222 x x xx Xx xe E Xexeedxxedxexedxe 标准正态分布的概率密度f 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸 指定位置上请将解答写在答题纸 指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 当0 x 时 1 coscos2cos3xxx 与 n ax为等价无穷小 求n与a的值 解析 解析 000 12 00 cos6cos4cos21 1 1 cos cos2 cos33cos6cos4cos2 4 limlimlim 4 6sin64sin42sin236cos616cos44cos2 limlim 44 1 2 36 16 4 217 42 1 2 nnn xxx nn xx xxx xxxxxx axaxax xxxxxx anxan nx n na a n 所以 当时 由题意 所以7a 16 本题满分 10 分 设D是由曲线 1 3 yx 直线 0 xa a 及x轴所围成的平面图形 xy V V分别是D绕x 轴 y轴旋转一周所得旋转体的体积 若10 yx VV 求a的值 7 解析 解析 由题意可得 15 2 33 0 3 5 a x Vxdxa 17 33 0 6 2 7 a y Vx x dxa 因为 10 yx VV 所以 75 33 63 107 7 75 aaa 17 本题满分 10 分 设平面内区域D由直线3 3xy yx 及8xy 围成 计算 2 D x dxdy 解析 解析 3yx 与8xy 的交点为 2 6 1 3 yx 与 8xy 的交点为 6 2 236826 22222 11 0202 33 11416 3 8 333 xx xx D x dxdydxx dydxx dyxx x dxxx x dx 18 本题满分 10 分 设生产某产品的固定成本为 6000 元 可变成本为 20 元 件 价格函数为60 1000 Q P P 是单价 单位 元 Q 是销量 单位 件 已知产销平衡 求 1 该商品的边际利润 2 当 P 50 时的边际利润 并解释其经济意义 3 使得利润最大的定价 P 解析 解析 1 总收入 1000 60 600001000R PPQPPPP 总成本 6000020126000020000C PQP 总利润 2 1000800001260000L PR PC PPP 边际利润 200080000L PP 2 当 P 50 时的边际利润为 50 200050800002000 L 其经济意义为在 P 50 时 价格每提高 1 元 总利润减少 2000 元 3 由于 0 40 200080000 0 40 P L PP P L P在 0 40 递增 在 40 递减 当 P 40 时 总利润最大 19 本题满分 10 分 设函数 f x在 0 上可导 0 0lim 2 x ff x 且 证明 1 存在0a 使得 1f a 8 2 对 1 中的a 存在 0 a 使得 1 f a 证明 证明 1 因为lim 2 x f x 对于 1 2 存在0A 使得当xA 时 1 2 2 f x 因此 3 2 f A 由连续函数的介值性 存在 0 aA 使得 1f a 2 由拉格朗日中值定理 存在 0 a 使得 0 1 0 f af f aa 20 本题满分 11 分 设 101 101 a AB b 当 a b为何值时 存在矩阵C使得ACCAB 并求所 有矩阵C 解析 解析 令 12 34 xx C xx 则 121324 3412 1 10 xxxaxxaxa AC xxxx 12121 34343 1 10 xxxxaxa CA xxxxax 23124 13423 xaxaxxax ACCA xxxxax 则由ACCAB 得 23 124 134 23 0 1 1 xax axxax xxx xaxb 此为 4 元非齐次线性方程组 欲使C存在 此线性方程组必须 有解 于是 0100010010111 10101010100 10111101110101 010010010 aa aaaaa A aa ababab 9 10111 0100 00001 0000 a a b 所以 当1 0ab 时 线性方程组有解 即存在C 使ACCAB 又 10111 01100 00000 00000 A 所以 12 1 12 1 2 1111 100 100 010 cc c Xcc c c 所以 121 12 1 ccc C cc 其中 123 c c c为任意常数 21 本题满分 11 分 设二次型 22 1231 122331 12233 2fx xxa xa xa xb xb xb x 记 11 22 33 ab ab ab I 证明二次型f对应的矩阵为2 TT II 若 正交且均为单位向量 证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型 22 12 2yy 证明 证明 10 1111 1232123212321232 3333 2 1 12 22 2 2 2 22 2 2 TTTTTTT TT TTT T axbx fx x xaa a axx xxbb b bx axbx XXXXXX f A A A 故 的矩阵A 为 的对应于的特征向量 又 2 2 3 22 12 2 1 223 0 2 TT TT A r Arrrr fyy 为 的对应于的特征向量 故 在正交变换下的标准型为 22 本题满分 11 分 设 X Y 是二维随机变量 X 的边缘概率密度为 2 3 01 0 X xx fx 其他 在给定 01Xxx 的条件下 Y的条件概率密度 2 3 3 0 0 Y X y yx fy x x 其他 1 求 X Y 的概率密度 fx y 2 Y 的边缘概率密度 Y fy 3 求 2P XY 解析 解析 I 2 2 3 3 301 0 0 XY X y xxyx f x yfx fy x x 其他 II Y fyf x y dx 11 当01y 时 2 1 2 9 9ln Y y y fydxyy x 所以y的边缘概率密度为 2 9ln01 0 Y yyy fy 其他 III 2 1 2 00 2 91 2 8 x XY y P XYf x y dxdydxdy x 23 本题满分