电大专科《微积分初步》复习题及答案.doc

电大微积分初步考试小抄 一 填空题 函数的定义域是 5 5 0 5 1 已知 则 若 则 微分方程的阶数是 三阶 6 函数的定义域是 2 1 U 1 7 2 8 若y x x 1 x 2 x 3 则 0 6 y x x 1 x 2 x 3 x2 x x2 5x 6 x4 5x3 6x2 x3 5x2 6x x4 6x3 11x2 6x 把0带入X 9 或 10 微分方程的特解为 y ex 又y 0 1 x 0 y 1 11 函数的定义域是 12 若函数 在处连续 则 1 在处连续 无穷小量x有界函数 13 曲线在点处的切线方程是 14 sin x c 15 微分方程的阶数为 三阶 16 函数的定义域是 2 3 U 3 17 1 2 18 已知 则 27 27ln3 19 ex2 c 20 微分方程的阶数为 四阶 二 单项选择题 设函数 则该函数是 偶函数 函数的间断点是 分母无意义的点是间断点 下列结论中 在处不连续 则一定在处不可导 正确 可导必连续 伹连续并一定可导 极值点可能在驻点上 也可能在使导数无意义的点上 如果等式 则 下列微分方程中 是线性微分方程 6 设函数 则该函数是 奇函数 7 当 2 时 函数在处连续 8 下列函数在指定区间上单调减少的是 9 以下等式正确的是 10 下列微分方程中为可分离变量方程的是 11 设 则 12 若函数f x 在点x0处可导 则 但 是错误的 13 函数在区间是 先减后增 14 15 下列微分方程中为可分离变量方程的是 16 下列函数中为奇函数是 17 当 时 函数在处连续 18 函数在区间是 先单调下降再单调上升 19 在切线斜率为2x的积分曲线族中 通过点 1 4 的曲线为 y x2 3 20 微分方程的特解为 三 计算题 计算极限 解 设 求 解 u 2x 2x eu 2 2 e 2x y 2e 2x dy 2 e 2x dx 计算不定积分 解 令u u 2du 2 cos c 2cos 计算定积分 u x v ex v ex v dx uv 原式 2 5 计算极限 6 设 求 解 y1 lncosx y1 lnu1 u cosx y1 dy dx 7 计算不定积分 解 令u 1 2x u 2 8 计算定积分 解 u x 9 计算极限 10 设 求 y1 sin3x y1 sinu u 3x y 2xln2 3cos3x dy 2xln2 3cos3x dx 11 计算不定积分 u x v cosx v sinx 12 计算定积分 令u lnx u du dx 1 x e 0 lnx 1 原式 1 5 13 计算极限 解 14 设 求 解 15 计算不定积分 解 u 2x 1 2 du 2dx 16 计算定积分 解 u x 四 应用题 本题16分 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱 已知钢板每平方米10元 焊接费40元 问水箱的尺寸如何选择 可使总费最低 最低总费是多少 解 设水箱的底边长为x 高为h 表面积为s 且有h 所以S x x2 4xh x2 令 x 0 得x 2 因为本问题存在最小值 且函数的驻点唯一 所以x 2 h 1时水箱的表面积最小 此时的费用为S 2 10 40 160元 欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地 并在正中用一堵墙将其隔成两块 问这块土地的长和宽各选取多大尺寸 才能使所用建筑材料最省 设长方形一边长为x S 216 另一边长为216 x 总材料y 2x 3 216 x 2x y 2 648 x 1 2 648 1 2 y 0得2 x2 324 x 18 一边长为18 一边长为12时 用料最省 欲做一个底为正方形 容积为32立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 设底边长为a 底面积为a2 a2h v 32 h 表面积为a2 4ah a2 4a a2 y a2 y 2a 128 2a y 0 得 2a a3 64 a 4 底面边长为4 h 2 设矩形的周长为120厘米 以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体 试求矩形的边长为多少时 才能使圆柱体的体积最大 解 设矩形一边长为x 另一边为60 x 以AD为轴转一周得圆柱 底面半径x 高60 x V 得 矩形一边长为40 另一边长为20时 Vmax 作业 一 函数 极限和连续 一 填空题 每小题2分 共20分 1 函数的定义域是 答案 2 函数的定义域是 答案 3 函数的定义域是 答案 4 函数 则 答案 5 函数 则 答案 6 函数 则 答案 7 函数的间断点是 答案 8 答案 1 9 若 则 答案 2 10 若 则 答案 1 5 二 单项选择题 每小题2分 共24分 1 设函数 则该函数是 答案 B A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 2 设函数 则该函数是 答案 A A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 3 函数的图形是关于 对称 答案 D A B 轴 C 轴 D 坐标原点 4 下列函数中为奇函数是 C A B C D 5 函数的定义域为 答案 D A B C 且 D 且 6 函数的定义域是 答案 D A B C D 7 设 则 答案 C A B C D 8 下列各函数对中 中的两个函数相等 答案 D A B C D 9 当时 下列变量中为无穷小量的是 答案 C A B C D 10 当 时 函数 在处连续 答案 B A 0 B 1 C D 11 当 时 函数在处连续 答案 D A 0 B 1 C D 12 函数的间断点是 答案 A A B C D 无间断点 三 解答题 每小题7分 共56分 计算极限 解 2 计算极限 解 3 解 原式 4 计算极限 解 5 计算极限 解 6 计算极限 解 7 计算极限 解 8 计算极限 解 一 填空题 每小题2分 共20分 1 曲线在点的斜率是 答案 2 曲线在点的切线方程是 答案 3 曲线在点处的切线方程是 答案 4 答案 或 5 若y x x 1 x 2 x 3 则 0 答案 6 已知 则 答案 7 已知 则 答案 8 若 则 答案 9 函数的单调增加区间是 答案 10 函数在区间内单调增加 则a应满足 答案 二 单项选择题 每小题2分 共24分 1 函数在区间是 答案 D A 单调增加 B 单调减少 C 先增后减 D 先减后增 2 满足方程的点一定是函数的 答案 C A 极值点 B 最值点 C 驻点 D 间断点 3 若 则 答案 C A 2 B 1 C 1 D 2 4 设 则 答案 B A B C D 5 设是可微函数 则 答案 D A B C D 6 曲线在处切线的斜率是 答案 C A B C D 7 若 则 答案 C A B C D 8 若 其中是常数 则 答案C A B C D 9 下列结论中 A 不正确 答案 C A 在处连续 则一定在处可微 B 在处不连续 则一定在处不可导 C 可导函数的极值点一定发生在其驻点上 D 若在 a b 内恒有 则在 a b 内函数是单调下降的 10 若函数f x 在点x0处可导 则 是错误的 答案 B A 函数f x 在点x0处有定义 B 但 C 函数f x 在点x0处连续 D 函数f x 在点x0处可微 11 下列函数在指定区间上单调增加的是 答案 B A sinx B e x C x 2 D 3 x 12 下列结论正确的有 答案 A A x0是f x 的极值点 且 x0 存在 则必有 x0 0 B x0是f x 的极值点 则x0必是f x 的驻点 C 若 x0 0 则x0必是f x 的极值点 D 使不存在的点x0 一定是f x 的极值点 三 解答题 每小题7分 共56分 1设 求 解 或 2 设 求 解 3 设 求 解 4 设 求 解 或 5 设是由方程确定的隐函数 求 解 对方程两边同时对x求微分 得 6 设是由方程确定的隐函数 求 解原方程可化为 7 设是由方程确定的隐函数 求 解 方程两边同时对求微分 得 8 设 求 解 方程两边同时对求微分 得 一 填空题 每小题2分 共20分 1 若的一个原函数为 则 答案 c为任意常数 或 2 若的一个原函数为 则 答案 或 3 若 则 答案 或 4 若 则 答案 或 5 若 则 答案 6 若 则 答案 7 答案 8 答案 9 若 则 答案 10 若 则 答案 二 单项选择题 每小题2分 共16分 1 下列等式成立的是 答案 A A B C D 3 若 则 答案 A A B C D 4 若 则 答案 A A B C D 5 以下计算正确的是 答案 A A B C D 6 答案 A A B C D 7 答案 C A B C D 8 如果等式 则 答案B A B C D 三 计算题 每小题7分 共35分 1 解 或 2 解 3 解 4 5 解 四 极值应用题 每小题12分 共24分 1 设矩形的周长为120厘米 以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体 试求矩形的边长为多少时 才能使圆柱体的体积最大 1 解 设矩形的一边厘米 则厘米 当它沿直线旋转一周后 得到圆柱的体积 令得 当时 当时 是函数的极大值点 也是最大值点 此时 答 当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时 才能使圆柱体的体积最大 2 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地 并在正中用一堵墙将其隔成两块 问这块土地的长和宽选取多大尺寸 才能使所用建筑材料最省 2 解 设成矩形有土地的宽为米 则长为米 于是围墙的长度为 令得 易知 当时 取得唯一的极小值即最小值 此时 答 这块土地的长和宽分别为18米和12米时 才能使所用的建筑材料最省 五 证明题 本题5分 1函数在 是单调增加的 一 填空题 每小题2分 共20分 1 答案 2 答案 或2 3 已知曲线在任意点处切线的斜率为 且曲线过 则该曲线的方程是 答案 或 4 若 答案 2 或4 5 由定积分的几何意义知 答案 6 答案 0 7 答案 8 微分方程的特解为 答案 1或 9 微分方程的通解为 答案 或 10 微分方程的阶数为 答案 2或4 二 单项选择题 每小题2分 共20分 1 在切线斜率为2x的积分曲线族中 通过点 1 4 的曲线为 答案 A A y x2 3 B y x2 4 C D 2 若 2 则k 答案 A A 1 B 1 C 0 D 3 下列定积分中积分值为0的是 答案 A A B C D 4 设是连续的奇函数 则定积分 答案 D 5 答案 D A 0 B C D 6 下列无穷积分收敛的是 答案 B A B C D 7 下列无穷积分收敛的是 答案 B A B C D 8 下列微分方程中 是线性微分方程 答案 D A B C D 9 微分方程的通解为 答案 C A B C D 10 下列微分方程中为可分离变量方程的是 答案 B A B C D 三 计算题 每小题7分 共56分 1 解 或 2 解 3 解 利用分部积分法 4 5 6 求微分方程满足初始条件的特解 即通解 7 求微分方程的通解 即通解为 四 证明题 本题4分 证明等式 微积分初步 一 填空题 每小题4分 本题共20分 函数的定义域是 1 已知 则 若 则 微分方程的阶数是 3 函数的定义域是 2 微分方程的特解为 函数 则 曲线在点处的切线方程是 若 则 微分方程的阶数为 5 函数的定义域是 若 6 函数 则 x2 2 7 若函数 在处连续 则 1 8 曲线在点处的切线斜率是 9 10 微分方程的阶数为 5 6 函数 则 x2 1 9 sinx c 函数的定义域 是 函数的间断 点是 曲线在点的斜率是 若 则 微分方程的阶 数是 2 函数 则 函数在处连续 则 2 4 微分方程 的阶数是 2 3 函数 的定义域是 4 函数 则 5 函数 则 2 6 函数 则 7 函数的间断点 是 9 若 则 2 10 若 则 1 曲线在 点的斜率是 2 曲线在点的切线方程是 3 曲线在点处的切线方程是即 4 5 若y x x 1 x 2 x 3 则 0 6 6 已知 则 7 已知 则 8 若 则 9 函数的单调增加区间是 10 函数在区间内单调增加 则a应满足 1 若的一个原函数为 则 2 若的一个原函数为 则 3 若 则 4 若 则 5 若 则 6 若 则 7 8 9 若 则 10 若 则 1 2 2 3 已知曲线在任意点处切线的斜率为 且曲线过 则该曲线的方程是 4 若 4 5 由定积分的几何意义知 6 0 7 8 微分方程 的特解为 9 微分方程的通 解为 10 微分方程 的阶数为 4阶 二 单项选择题 每小题4分 本题共20分 设函数 则该函数是 B A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 设函数 则该函数是 A A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 下列结论中 C 正确 A 在处连续 则一定在处可微 B 函数的极值点一定发生在其驻点上 C 在处不连续 则一定在处不可导 D 函数的极值点一定发生在不 可导点上 如果等式 则 D A B C D 下列函数在指定区间 上单调减少的是 D A B C D 设函数 则该函数 是 B A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 下列函数在指定区间 上单调减少的是 B A B C D 设 则 C A B C D 下列微分方程中 A 是 线性微分方程 A B C D 满足方程的点一 定是函数的 C A 极值点 B 最值点 C 驻点 D 间断点 微分方程的通解 是 B A B C D 函数的 定义域是 D A 2 B 2 5 C 2 3 3 5 D 2 3 3 5 下列函数在指定区间 上单调减少的是 B A B C D 函数的定义域 是 C A 2 B 1 C 2 1 1 D 1 0 0 下列微分方程中为可分离变量方程的是 C A B C D 2 若函数 则 A A B 0 C 1 D 不存在 下列无穷积分收敛的是 B A B C D 微分方程的通解是 D A B C D 函数的定义域 D A B C 且 D 且 若函数 则 C A 0 B C 1 D 不存在 函数在区间是 C A 单调增加 B 单调减少 C 先减后增 D 先增后减 下列无穷积分收敛的是 A A B C D 下列微分方程中为一阶线性微 分方程的是 B A B C 2 设函数 则该函 数是 A A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 3 函数的图形 是关于 D 对称 A B 轴 C 轴 D 坐标原点 4 下列函数中为奇函数是 C A B C D 5 函数的定义域为 D A B C 且 D 且 6 函数的定义域 D A B C D 7 设 则 C A B C D 8 下列各函数对中 D 中的两个函数相等 A B C D 9 当时 下列变量中为无穷小量的是 C A B C D 10 当 B 时 函数 在处连续 A 0 B 1 C D 11 当 D 时 函数在处连续 A 0 B 1 C 2 D 3 12 函数的间断点是 A A B C D 无间断点 1 函数在区间 是 D A 单调增加 B 单调减少 C 先增后减 D 先减后增 2 满足方程的点一定是函数的 C A 极值点 B 最值点 C 驻点 D 间断点 3 若 则 C A 2 B 1 C 1 D 2 4 设 则 B A B C D 5 设是可微函数 则 D A B C D 6 曲线在处切线的斜率是 C A B C D 7 若 则 C A B C D 8 若 其中 是常数 则 C A B C D 9 下列结论中 B 不正确 A 在处连续 则 一定在处可微 B 在处不连续 则一定在处不可导 C 可导函数的极值点一定发生在其驻点上 D 若在 a b 内恒有 则在 a b 内函数是单调下降的 10 若函数f x 在点x0处可导 则 B 是错误的 A 函数f x 在点x0处有定义 B 但 C 函数f x 在点x0处连续 D 函数f x 在点x0处可微 11 下列函数在指定区间 上单调增加的是 B A sinx B e x C x 2 D 3 x 12 下列结论正确的有 A A x0是f x 的极值点 且 x0 存在 则必有 x0 0 B x0是f x 的极值点 则x0必是 f x 的驻点 C 若 x0 0 则x0必是f x 的极值点 D 使不存在的点x0 一 定是f x 的极值点 1 下列等式成立的是 A A B C D 2 若 则 A A B C D 3 若 则 A A B C D 4 以下计算正确的是 A A B C D 5 A A B C D 6 C A B C D 7 如果等式 则 B A B C D 1 在切线斜率为2x的积分曲线 族中 通过点 1 4 的曲线为 A A y x2 3 B y x2 4 C D 2 若 2 则k A A 1 B 1 C 0 D 3 下列定积分中积分值为0的是 A A B C D 4 设是连续的奇函数 则定积分 D A B C D 0 5 D A 0 B C D 6 下列无穷积分收敛的是 B A B C D 7 下列无穷积分收敛的是 B A B C D 8 下列微分方程中 D 是线 性微分方程 A B C D 9 微分方程的通解为 C A B C D 10 下列微分方程中为可分离变 量方程的是 B A B C D D 三 计算题 本题共44分 每小题11分 设 求 解 计算不定积分 解 计算定积分 解 计算极限 解 设 求 解 计算不定积分 解 计算极限 解 设 求 解 设 求 解 计算不定积分 解 计算定积分 解 11 计算极限 解 2 设 求 解 12 设 求 解 13 计算不定积分 解 14 计算定积分 解 计算极限 解 设 求 解 3 计算不定积分 解 计算极限 解 设 求 解 计算定积分 解 计算极限 解 2 计算极限 解 3 解 4 计算极限 解 5 计算极限 解 6 计算极限 解 7 计算极限 解 8 计算极限 解 设 求 解 2 设 求 解 3 设 求 解 4 设 求 解 5 设是由方程确定的隐函数 求 解 两边微分 6 设是由方程确定的隐函数 求 解 两边对求导 得 7 设是由方程确定的隐函数 求 解 两边微分 得 8 设 求 解 两边对求导 得 1 解 2 解 3 解 4 解 5 解 1 解 2 解 3 解 4 解 5 解 6 求微分方程满足初始条件的特解 解 通解为 代入 代入得 即 特解为 7 求微分方程 的通解 解 通解为 代入得通解为 四 应用题 本题16分 1 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱 已知钢板每平方米10元 焊接费40元 问水箱的尺寸如何选择 可使总费最低 最低总费是多少 解 设边长 高 表面积 且 令 得 所以 当时水箱的面积最小 最低总费 元 3 欲做一个底为正方形 容积为108立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 解 设长方体底边的边长为 高为 用材料为 由已知 令 解得是唯一驻点 所以是函数的极小值点 即当 时用料最省 5 欲做一个底为正方形 容积为32立方米的长方体开口容器 怎样做 法用料最省 解 设底边的边长为 高为h 用材料为y 由已 得 则 令 解得x 4是唯一驻点 易知x 4是函数 的极小值点 此时有 2 所以当x 4 h 2时用料最省 6 欲做一个底为正方形 容积为62 5立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 解 设底边的边长为 高为 容器的表面积为 由已知 令 得是唯一驻点 即有 所以当 时用料最省 1 设矩形的周长为120厘米 以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体 试求矩形的边长为多少时 才能使圆柱体的体积最大 解 设长为厘米 另一边长为厘米 得 即 令 得 不合题意 舍去 即 当矩形的边长为 时 圆柱体的体积最大 2 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地 并在正中用一堵墙将其隔成两块 问这块土地的长和宽选取多大尺寸 才能使所用建筑材料最省 解 设长为米 宽为米 得 即 令 取正值 即 当矩形的长为米 宽为米时 所用建筑材料最省 五 证明题 本题5分 1 函数在 是单调增加的 证明 因为 当 时 所以函数在 是单调增加的 1 证明等式证明 考虑积分 令 则 从而 所以 微积分初步 一 填空题 函数的定义域是 答案 函数的间断点是 答案 曲线在点的斜率是 答案 若 则 答案 微分方程的阶数是 2 6 函数 答案 7 函数在处连续 则 2 8 曲线在点的斜率是 答案 9 答案 4 10 微分方程的阶数是 答案 2 11 函数的定义域是 答案 12 若 则 答案 2 13 已知 则 答案 14 若 答案 15 微分方程的阶数是 3 16 函数的定义域是 2 1 1 4 17 若 则 2 18 曲线在点处的切线方程是 y x 1 19 0 20 微分方程的特解为 y e的x次方 21 函数的定义域是 22 若函数 在处连续 则 2 23 曲线在点处的斜率是 24 25 微分方程满足初始条件的特解为 26 函数的定义域是 答案 27 函数的定义域是 答案 28 函数的定义域是 答案 29 函数 则 答案 30 函数 则 答案 31 函数 则 答案 32 函数的间断点是 答案 33 答案 1 34 若 则 答案 2 35 若 则 答案 36 曲线在点的斜率是 37 曲线在点的切线方程是 38 曲线在点处的切线方程是 39 40 若y x x 1 x 2 x 3 则 0 6 41 已知 则 42 已知 则 43 若 则 2 44 函数在区间内单调增加 则a应满足 大于零 45 若的一个原函数为 则 答案 c为任意常数 46若的一个原函数为 则 答案 47若 则 答案 48若 则 答案 49 若 则 答案 50 若 则 答案 51 答案 52 答案 53 若 则 答案 10 若 则 答案 54 答案 55 答案 2 56 已知曲线在任意点处切线的斜率为 且曲线过 则该曲线的方程是 答案 57 若 答案 4 58 由定积分的几何意义知 答案 它是1 4半径为a的圆的面积 59 答案 0 60 答案 61 微分方程的特解为 答案 1 62 微分方程的通解为 答案 63 微分方程的阶数为 答案 2 64 函数的定义域是 且 65 函数 的定义域是 66 设 则 0 67 函数 则 68 69 设 则 70 曲线在点的切线方程是 71 函数在区间 内是单调减少的 72 函数的单调增加区间是 73 若 则 74 75 76 0 77 2 78 微分方程的阶数是 二阶 二 单项选择题 设函数 则该函数是 偶函数 若函数 则 函数在区间是 先减后增 下列无穷积分收敛的是 微分方程的通解是 6 函数的定义域 且 7 若函数 则 1 8 函数在区间是 先减后增 9 下列无穷积分收敛的是 10 下列微分方程中为一阶线性微分方程的是 11 设函数 则该函数是 偶函数 12 当 2 时 函数 在处连续 13 微分方程的通解是 14 设函数 则该函数是 偶函数 15 当 2 时 函数 在处连续 16 下列结论中 在处不连续 则一定在处不可导 正确 17 下列等式中正确的是 18 微分方程的阶数为 3 19 设 则 20 若函数f x 在点x0处可导 则 但 是错误的 21 函数在区间是 先减后增 22 若 则 23 微分方程的阶数为 3 24 设函数 则该函数是 偶函数 25 设函数 则该函数是 奇函数 26 函数的图形是关于 坐标原点 对称 27 下列函数中为奇函数是 28 函数的定义域为 且 29 函数的定义域是 30 设 则 31 下列各函数对中 中的两个函数相等 32 当时 下列变量中为无穷小量的是 答案 C 33 当 1 时 函数 在处连续 34 当 3 时 函数在处连续 35 函数的间断点是 36 函数在区间是 先减后增 37 满足方程的点一定是函数的 驻点 38 若 则 1 39 设是可微函数 则 40 曲线在处切线的斜率是 41 若 则 42 若 其中是常数 则 43 下列结论中 在处连续 则一定在处可微 不正确 44 若函数f x 在点x0处可导 则 但 是错误的 45 下列结论正确的有 x0是f x 的极值点 且 x0 存在 则必有 x0 0 46 下列等式成立的是 47 若 则 48 若 则 49 以下计算正确的是 50 51 52 如果等式 则 53 在切线斜率为2x的积分曲线族中 通过点 1 4 的曲线为 y x2 3 54 若 2 则k 1 55 下列定积分中积分值为0的是 56 设是连续的奇函数 则定积分 0 57 58 下列无穷积分收敛的是 59 下列无穷积分收敛的是 60 下列微分方程中 是线性微分方程 61 微分方程的通解为 62 下列微分方程中为可分离变量方程的是 63 函数y 的定义域是 2 2 64 设 则 65 函数的图形关于 轴 对称 66 当时 变量 是无穷小量 67 函数 在x 0处连续 则k 1 68 曲线在点 1 0 处的切线方程是 69 若 则 70 函数在区间内满足 单调上升 71 函数y x2 2x 5在区间 0 1 上是 单调减少 72 下列式子中正确的是 73 以下计算正确的是 74 若 则 75 76 下列定积分中积分值为0的是 77 微分方程的通解是 三 计算题 本题共44分 每小题11分 计算极限 解 设 求 解 3 计算不定积分 解 4 计算定积分 解 5 计算极限 解 6 设 求 解 7 计算不定积分 解 8 计算定积分 解 9 计算极限 解 10 设 求 解 11 计算不定积分 解 12 计算定积分 解 12 计算极限 解 原式 13 设 求 解 14 计算不定积分 解 15 计算定积分 解 16 计算极限 解 原式 17 设 求 解 18 计算不定积分 解 19 计算定积分 解 20 计算极限 解 21 计算极限 解 22 解 23 计算极限 解 24 计算极限 解 25 计算极限 解 26 计算极限 解 27 设 求 解 28 设 求 解 29 设 求 解 30 设 求 解 31 设 求 解 32 设是由方程确定的隐函数 求 解 33 设是由方程确定的隐函数 求 解 34 设 求 解 35 解 利用分部积分法 设 则 36 解 利用分部积分法 设 则 四 应用题 1 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱 已知钢板每平方米10元 焊接费40元 问水箱的尺寸如何选择 可使总费最低 最低总费是多少 解 设水箱的底边长为 高为 表面积为 且有 所以 令 得 因为本问题存在最小值 且函数的驻点唯一 所以 当时水箱的表面积最小 此时的费用为 元 2 欲做一个底为正方形 容积为62 5立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 解 设底边的边长为 高为 容器的表面积为 由已知 令 解得是唯一驻点 易知是函数的极小值点 此时有 所以当 时用料最省 3 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地 并在正中用一堵墙将其隔成两块 问这块土地的长和宽选取多大尺寸 才能使所用建筑材料最省 解 设土地一边长为 另一边长为 共用材料为 于是 3 令得唯一驻点 舍去 因为本问题存在最小值 且函数的驻点唯一 所以 当土地一边长为 另一边长为18时 所用材料最省 4 欲做一个底为正方形 容积为108立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 解 设底边的边长为 高为 用材料为 由已知 令 解得是唯一驻点 且 说明是函数的极小值点 所以当 时用料最省 5 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地 并在正中用一堵墙将其隔成两块 问这块土地的长和宽选取多大尺寸 才能使所用建筑材料最省 解 设土地一边长为 另一边长为 共用材料为 于是 3 令得唯一驻点 舍去 五 证明题 本题5分 1 函数在 是单调增加的 证 只需证明当时 有 因为 当时 即有 所以 当时 是单调增加的 1 证明等式 证明 显然是偶函数 是奇函数 微积分初步复习试题 一 填空题 每小题4分 本题共20分 函数的定义域是 若 则 2 曲线在点处的切线方程是 0 微分方程的特解为 二 单项选择题 每小题4分 本题共20分 设函数 则该函数是 A A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 当 C 时 函数 在处连续 A 0 B 1 C D 下列结论中 C 正确 A 在处连续 则一定在处可微 B 函数的极值点一定发生在其驻点上 C 在处不连续 则一定在处不可导 D 函数的极值点一定发生在不可导点上 下列等式中正确的是 D A B C D 微分方程的阶数为 B A 2 B 3 C 4 D 5 三 计算题 本题共44分 每小题11分 计算极限 原式 设 求 计算不定积分 计算定积分 四 应用题 本题16分 欲做一个底为正方形 容积为108立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 解 设底边的边长为 高为 用材料为 由已知 令 解得是唯一驻点 且 说明是函数的极小值点 所以当 一 填空题 每小题4分 本题共20分 函数 则 当 0 时 为无穷小量 若y x x 1 x 2 x 3 则 1 微分方程的特解为 二 单项选择题 每小题4分 本题共20分 函数的定义域是 C A B C D 曲线在处切线的斜率是 D A B C D 下列结论正确的有 B A 若 x0 0 则x0必是f x 的极值点 B x0是f x 的极值点 且 x0 存在 则必有 x0 0 C x0是f x 的极值点 则x0必是f x 的驻点 D 使不存在的点x0 一定是f x 的极值点 下列无穷积分收敛的是 A A B C D 微分方程的阶数为 D A 1 B 2 C 3 D 4 三 计算题 本题共44分 每小题11分 计算极限 设 求 计算不定积分 计算定积分 四 应用题 本题16分 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱 已知钢板每平方米10元 焊接费40元 问水箱的尺寸如何选择 可使总费最低 最低总费是多少 解 设水箱的底边长为 高为 表面积为 且有 所以 令 得 因为本问题存在最小值 且函数的驻点唯一 所以 当时水箱的表面积最小 此时的费用为 元 一 填空题 每小题4分 本题共20分 函数 则 1 曲线在点处的切线方程是 若 则 微分方程的阶数为 5 二 单项选择题 每小题4分 本题共20分 设函数 则该函数是 D A 非奇非偶函数 B 既奇又偶函数 C 偶函数 D 奇函数 当时 下列变量中为无穷小量的是 C A B C D 下列函数在指定区间上单调减少的是 B A B C D 设 则 C A B C D 下列微分方程中 A 是线性微分方程 A B C D 三 计算题 本题共44分 每小题11分 计算极限 原式 设 求 计算不定积分 计算定积分 四 应用题 本题16分 欲做一个底为正方形 容积为108立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 解 设长方体底边的边长为 高为 用材料为 由已知 令 解得是唯一驻点 因为问题存在最小值 且驻点唯一 所以是函数的极小值点 即当 时用料最省 一 填空题 每小题4分 本题共20分 函数 则 若函数 在处连续 则 2 函数的单调增加区间是 微分方程的阶数为 4 二 单项选择题 每小题4分 本题共20分 设函数 则该函数是 B A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 当时 下列变量为无穷小量的是 A A B C D 若函数f x 在点x0处可导 则 D 是错误的 A 函数f x 在点x0处有定义 B 函数f x 在点x0处连续 C 函数f x 在点x0处可微 D 但 若 则 C A B C D 下列微分方程中为可分离变量方程的是 B A B C D 三 计算题 本题共44分 每小题11分 计算极限 原式 设 求 计算不定积分 解 计算定积分 解 四 应用题 本题16分 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器 问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省 解 设容器的底半径为 高为 则其表面积为 由已知 于是 则其表面积为 令 解得唯一驻点 由实际问题可知 当时可使用料最省 此时 即当容器的底半径与高分别为与时 用料最省 微积分初步模拟试题 一 填空题 每小题4分 本题共20分 函数的定义域是 若 则 曲线在点处的切线方程是 微分方程的特解为 二 单项选择题 每小题4分 本题共20分 设函数 则该函数是 A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 当 时 函数 在处连续 A 0 B 1 C D 下列结论中 正确 A 在处连续 则一定在处可微 B 函数的极值点一定发生在其驻点上 C 在处不连续 则一定在处不可导 D 函数的极值点一定发生在不可导点上 下列等式中正确的是 A B C D 微分方程的阶数为 A 2 B 3 C 4 D 5 三 计算题 本题共44分 每小题11分 计算极限 设 求 计算不定积分 计算定积分 四 应用题 本题16分 欲做一个底为正方形 容积为108立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 参考答案 一 填空题 每小题4分 本题共20分 2 0 二 单项选择题 每小题4分 本题共20分 A C C D B 三 本题共44分 每小题11分 解 原式 解 解 解 四 应用题 本题16分 解 设底边的边长为 高为 用材料为 由已知 令 解得是唯一驻点 且 说明是函数的极小值点 所以当 时用料最省 一 填空题 每小题4分 本题共20分 函数 则 当 时 为