一道调研测试题的解法赏析及复习启示.pdf

2 0 1 4 年第4 期 中学数学教学 5 9 一道调研测试题的解法赏析及复习启示 安徽省合肥市第六中学黄海波 邮编 2 3 0 0 0 1 武汉市2 0 1 4 届高三2 月调研测试理科数学 第7 题是 设口 6 R 则 口 1 62 6 1 一口2 1 是 口2 62 1 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 该题的正确答案是A 必要性不成立 只需 取特值如n 一1 6 一 即可说明 关于条件充分 性的证明 可以联系相关数学知识站在不同角度 审视 得到风格迥异的解法 试题虽小但背景丰 富 难度不大但深刻隽永 该题不仅是一道漂亮 的调研试题 更是我们开展二轮复习的绝好 素材 本文拟就关于命题条件充分性的证明的可 能方法逐一赏析 并以小见大 对我们高三的二 轮复习谈谈粗浅的看法 1 解法赏析 首先要说明的是 在本题条件 口 1 62 6 1 一口2 1 下 容易看到口 6 o 1 解法一 三角代换 设口一s i m 6 一s i 叩 口 9 lo 吾I 则厢一c o s 口 瓜一 L J c o 印 于是 s i mc o 印 c o s 口s i 邵 1 即 广 一1 s i n 口 卢 一1 注意到口 卢 lo 等l 故口 卢一 L 一 冬 这样 口2 62 一s i n 2 口 s i n 2 卢 s i n 2 口 c o s 2 口一 厶 l 充分性成立 赏析本解法充分挖掘问题的三角函数背 景 在问题隐含条件 口 6 o 1 下作三角代 换并约束角口 卢的范围 结合诱导公式及同角三 角函数的基本关系式使得问题在三角背景下轻 松获解 解法二 利用均值不等式的取等条件 因 为口以 矿 生j 二笠 6 以 7 厶 笠 芸 两式相加得口 f 了 6 r i 尹 厶 1 而等号成立当且仅当n 一 1 62 且6 一 1 一口2 即口2 62 1 于是 充分性成立 赏析本解法从条件中 两非负实数的乘 积 这一基本结构出发 并注意到表达式的对称 性 创造性地联想二元均值不等式 利用其取等 条件 整体地 解决问题 解法三 利用柯西不等式的取等条件 因 为 口v 厂F j 厂 6 厂F 孑 2 1 62 6 2 口2 1 一口2 1 等号成立当且仅当口6 一 r i 7v 厂F 矿 即n2 62 1 于是 充分性 成立 赏析本解法从条件中看到了两组实数的 乘积和 这一基本结构 自然地联想到了二元的 柯西不等式 利用其取等条件 创造性地解决了 问题 与解法二结合来看 我们不仅清楚地看到 均值不等式和柯西不等式取等条件往往可以提 示我们的解题思路 而且从解题过程中可以体会 到柯西不等式与均值不等式的等价性 解法四 直接利用柯西不等式 1 口厂而 6 r 孑 2 1 6 2 1 一口2 口2 62 于是 口2 62 一1 2 o 故n2 62 l 充分性成立 赏析本解法在解法三的基础上重新匹配 两组实数 使得运用柯西不等式后直接得到关 于 口2 62 整体的不等式 并借助完全平方的非 负性取等 从而顺利解决问题 解法五 利用平面向量数量积的几何意 义 记A 口 r i 7 BU 丁刁 6 于是 A B 两点均在单位圆上 如图所示 0 A o B 一 口 1 6 2 6 1 口2 l0 A 1O Bc o 眨A o B c o s 么A O B 一1 于是 A B 两点重合 这样 口2 万方数据 6 0 中学数学教学2 0 1 4 年第4 期 62 1 充分性成立 赏析本解法数形结 合 构造单位圆 考虑两个 单位向量的数量积 联用数 量积的定义式及坐标表示 进而形象直观地解决问题 y 厂 凌一 解法六 反证归谬 由对称性 记 以刁一c 饥 矿一d 则n 祈可 6 1 一口2 1 等价转化为d 1 一c2 c 1 一d 2 1 两式结构相同 假设n2 62 1 则d2 f2 1 于是 n2 62 1 也不成立 于是 n2 62 1 充分性成立 赏析 本解法注意到题设条件结构的对称 性 并实数口 6 的非负性 先反设结论不成立 借 助不等式的基本性质和反证归谬的基本方法得 到自相矛盾的结果 从而说明原命题本身的正 确性 2 复习启示 2 1 冲破教辅藩篱 按需确立专题 毋庸讳言 目前绝大多数学校高三复习备考 的做法都是集体征订一套现成的复习资料 基本 上完全按复习资料的编排开展复习工作 这些商 业运作的复习资料鱼龙混杂 质量良莠不齐 抛 开知识内容的整合程度和编排顺序等不考虑 单 就例习题的选择与配备来看 虽然它们都标榜了 是 课标版 大纲版 某省专版 等等 但是书 中的很多内容都大同小异 全国各地的真题和模 拟题充斥其中 根本不符合各省的考情以及考题 特色 更谈不上符合具体学校的学情了 鉴于这些现状 我们认为编撰适合本省高考 实际的 适合自己学生的资料 是高效和针对性 复习的关键 确立专题内容的依据主要有两个 一是一轮复习中学生没有掌握好的知识板块 可 以细化到问题的具体类型 涉及的一般方法等 二是本省高考试题一直秉持的风格 考查的重点 与难点等 由于数学内容的繁杂 加上教师教学任务的 繁重 可以尝试把确定的专题具体内容分配到备 课组每个人 形成初稿 再集体合议 进行多次修 改和打磨 实际教学时 授课教师可根据所带班 级的具体情况 在内容上进行增减 笔者所在学 校的实践 已经多次证明复习效果远远超过直接 使用其他资料 同时 此举对教师的专业化发展 大有裨益 自编复习资料 每年要进行修改和更 新 以期更适合自己学生的实际 并且具有时 效性 2 2 精心遴选问题 高效开展教学 讨论确定好二轮复习专题内容后 接下来的 重要工作就是教师个人就自己所负责的专题教 学内容精选例题和训练题了 笔者认为 题不在 多 不在杂 而在于遴选和把玩 就二轮复习而 言 我们可以选择一些在知识交汇处设计的典型 问题 努力将题目的作用发挥到极致 在复习教 学中要竭力做到 解一题 带一片 的效果 比如 本文所述的问题 问题表现形式是充要条件的判 断 事实上 问题可以广泛联系三角函数的定义 同角三角函数基本关系式 诱导公式以及两角和 与差的公式 平面向量数量积及其几何意义 均 值不等式 柯西不等式等等知识内容 涉及数形 结合 函数与方程 化归与转化等数学思想和反 证法等逻辑方法 只要我们做一个有B 心人 愿意找寻 善于发 现 这样的知识交汇的典 型问题有很多 例如 2 0 0 9 年安徽高考理科数学第1 4 题就是一个绝佳 的例子 给定两个长度为1 的平面向量0 A 和 0 B 它们的夹角为1 2 0 如图所示 点C 在以0 为 圆心的圆弧A B 上变动 若0 C z0 A y0 B 其 中z y R 则z y 的最大值是 已有很多文献对该题的解法做出了详实的 阐述 通过精讲这一道试题 可以将平面向量以 及三角形中的三角函数问题中的所有知识与方 法 一网打尽 一道题 一两节课就可以高效地 讲完两个专题的复习内容 课后再布置少量的配 套练习 就能有很好的复习效果 我们在复习中 可以依据问题背景 从一道 题出发 或一题多解 或变式拓展 有效地培养学 生的归纳总结能力 模式识别能力和变式迁移能 力 使学生从整体上把握知识的内在规律 通过 多层次多角度地思考问题 带领同学把单薄的知 识的线性关系系统化 网络化 真正提高学生分 析问题和解决问题的能力 帮助学生摆脱 题海 万方数据 2 0 1 4 年第4 期中学数学教学 6 1 之苦 促进学生知识能力的高效正迁移 大大提 高复习的有效性 以达到减负增效的目的 2 3 鼓励学生说题 重视能力培养 经过系统扎实的一轮复习 到二轮复习阶 段 学生有了完整的知识储备和基本的数学素 养 教师在课堂复习教学中更没有必要满堂灌 可以让学生来说题 让他们来说题设与结论之间 的联系 说解题思路的形成 说他们是怎么想的 为什么要这么想 说可能有哪些不同的方法 如 此等等 充分发动学生 及时鼓励 提高他们参与 的积极性 在老师的引导下 让同学们自由讨论 相互借鉴 实践证明 我们不必担心学生不会做 只要给他们时间 总有人能给出想法 哪怕是支 离破碎的 不全面不准确的 教师因势利导 师生 合作 课堂教学的顺利展开是水到渠成的事 当 然 这对教师本身提出了更高的要求 波利亚指出 数学教学的首要原则是主动学 习原则 弗赖登塔尔也认为学校的教学必须使学 生由被动地听发展到主动地获取知识 说题关注 学生数学的表达与交流 重视学生自主探索和合 作交流有机的结合 学生说题也是学生学习主体 地位的充分体现 前面我们谈到了一题多解 在实际教学中 一题多解往往是课堂教学中 生生之间 师生之 间思维碰撞的结果 一方面 让学生说题 不同的 学生谈不同的方法 提不同的观点 通过一题多 解可以充分调动学生思维的积极性 培养学生思 维的准确性 提高学生思维的灵活性 增强学生 思维的深刻性 另一方面 让学生说题 鼓励一题 多解也生动体现了因材施教的教学原则 我们可 以有意识地让数学成绩落后的同学先说 说简单 的题 及时赞美他们 鼓励他们 让他们不自觉地 欣赏自己 悦纳自己 重拾学好数学信心 同时也 保证了全员参与的可能 融洽了师生关系 值得 注意的是 一题多解并不要求所有同学掌握所有 解法 那不科学也不现实 一题多解可以让不同 层次的学生感受获得不同的体验 获得不同的 发展 事实上 说题其实就是 说思维 是思维活 动用语言表达的有效载体 是元认知开发的有力 抓手 说题 逼迫 学生去追溯自己的思维过程 并要求学生表述解题的思维轨迹 将内隐的思维 转化为外显的言语行为 通过说题能提高学生的 思维素质 通过说题能纠正学生的思维偏差 暴 露学生的知识和方法上的缺陷 并及时补救 使 学生的知识结构日趋完整 2 4 提倡适度延伸 力求高屋建瓴 我们知道 近年来 高考试题的命制一直坚 持有两个 有利于 第一个就是有利于高校选拔 人才 高考命题专家大多是高校教授 作为大学教 师当然希望考生具有较为宽广的数学知识基础 初步具备一定的高等数学的启蒙 从全国大部分 高考试题中发现 许多考题具有一定的高等数学 背景或数学文化背景 当然 此类题的解答 原则 上是不需要高等数学的知识的 如果考生具有高 等数学的简单知识 高观点下的初等解法就更简 单 即使是用高等数学的解法 高考中也是允许 的 在学生基础好的学校或班级或少数优生 在 学生能够接受的前提下 高三的复习尤其是二轮 复习中 可以适度地延伸 也符合 不同的人在数 学上得到不同的发展 的课程基本理念 我们认 为 延伸的内容主要可以考虑高中数学与高等数 学联系非常密切的内容 如复数方法 三角中的 和积互化公式 万能公式 不等式中的三元均值 不等式 柯西不等式 部分地区的高考本身就作 要求 数列中的单调有界数列的极限存在性定 理 微积分中的洛必达法则 中值定理 概率中的 全概率公式 以及圆锥曲线中的切线与法线 极 点与极线