一道高三数学调研试题的解法探究.pdf

2 0 1 4 年第6 期 中学数学研究 3 7 一道高三数学调研试题的解法探究 江苏省兴 f c q 戴南高级中学 2 2 5 7 2 1 翟爱国 l 试题再现 2 0 1 3 年江苏省兴化市高三学生寒假数学学情 调研第1 9 题 椭圆c 争 1 口 6 o 的左 右焦点 S 分别是 疋 离心率为竿 过F 1 且垂直于髫轴的直 线被椭圆c 截得的线段长为1 1 求椭圆C 的方程 2 点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点 连接P F P F 2 设乞F P F 2 的角平分线P M 交C 的长 轴于点M r r 0 求 t 的取值范围 参考答案 1 y 2 l 2m 一 笔者感觉出这是一道好题 追其源 原来这是 2 0 1 3 年山东省数学高考理科卷第2 2 题的第 1 2 小题 高考题凝聚着命题者的心血和智慧 每道试题 既体现了在知识交汇点处命题的创新原则 又格调 清新 意境幽深 因此 笔者借这道试题第 2 问蕴 含的很多可探究的素材 作如下解法探究 2 解法探究 思路1 根据两个角相等 利用向量夹角法 借 助向量的坐标运算解题 解法1 由题意可知 兰娑 f 阡lf f P M f 兰譬磐 即墨竺 兰笔竺 设m l 尹毛 fP M l P F t J I Y o 其中石0 2 4 贝J I P F l 一梅 髫o 一y o P F 2 万一锄 弛 P M r r 一善 一 所以 戈 一 n 戈o 石 2 兀i 面 i 虹粤等害孥 又因为 2 一 2 茗 一万 2 Y 0 2 叶 代入上式得m 百3 而 一2 2 所以矾 一寻 寻 思路2 根据两个翅相等 还可以考虑用正弦定理 解法2 由正弦定理得揣 l PF 2 M F 2 P s i nZ F I M p s i n 厶F 2 P M s i n 厶F z M P 由s i n F l P M s i n F 2 P M s i n F l 脚 s i n 疋艘 得篾 筹则撕M 峨尹 2 争以p 2 2 万 x 脚拦 2 辱 毒埽 得m 矿3 以下略 思路3 解法2 中得到最关键的一个式子是瓮等 景 这不正好是三角形的内角平分线定理吗 利 用这个定理可以将解析几何知识和平面几何完美结 合 解法3 由三角形的内角平分线定理可得熹 簇 下面解法同解姚过程略 思路4 根据两个角相等 还可以考虑直线的夹 角正切公式 设直线l 1 的斜率存在 分别为k k z 到2 的转向角为日 则t a 仰 Z 乏 p 为f t 沿逆 时针方向转动与1 重合的最小的角 解法4 若直线P M 斜率不存在 则浓 o 若直线P M 斜率存在 设七 七 则由题意 可得麓 瓯k 户h k 差 3 上 后 等 化简得X o Y o k 2 和5 2 4 肛粕 1 J 上 粕一 3 万方数据 3 8 中学数学研究2 0 1 4 年第6 期 0 解得k 1 2 4 一 2 I 知2 川 2 并 扎 Im s i n O 3 s i n OI m s i n O 一 3 s i n OI 化简得 l 2 c o s 日 西2 s i n 2 0 2 c o s p 一厨2 s i n 2 0 4 碱 2 0 一景 舍去 设直线P M 的方程为Y Y o k x 一粕 令Y 嘴一 一警 粕一等 又因为y 0 2 l 2 代入上式得m r 3 以下略 思路5 圆锥曲线的第一定义 P F P 疋 2 a 是本题的隐含关系 解法5 由题意可得等 丽F 1 万M 即两P F j 矬棚御l P 足 所以 雨P F l 2 箐2 j m J JJ 雨4 1 又因为2 一万 P 疋 2 万 所以7 4 石 两P F I 7 4 4 卵一4 石 瓦m T Y 4 万 解缛现 一丢 吾 因为一俗 m 3 一I c o s O 1 所以 I 害土匪 I 害二匪I 土匪 4 3 c o s O 2 3 c o s O 一24 3 c o s O 2 躁 得m 拿c s 0 故mE 一拿 寻 2 一 3 c o s O 22z 思路8 解法6 解法7 用到点到直线的距离公 式 运算量都大 在解空间立体几何题中 有时运用 体积相等转换能回避作点到面的距离过程 在解平 面解析几何题中 有时运用面积相等转换能回避作 点到直线的距离过程 解法8 在A P F M 中 边P F 上的高为 m 届 lY ol 三 r 一 在 M 中 边P B 上的高为 专N t 7 寻 万一m 1 思路6 角平分线的性质 角平分线上任一点到 角的两边距离相等 解法6 设P y o 可求得直线P F l P 疋的方 程分别为Y o x 一 国 尻 o Y o x 一 一 怕 Y 一 3 y o 0 由点M m 0 到直线P F P 足的 距离相等 得 兰兰垒兰坠 戈o 万 2 Y 0 2 老器帆2 一扣一 2 一万 m 万上式可化简为羔 2 参 等 下面解法过程略 2 一参 思路7 利用参数法设点和设直线的方程 解法7 设P 2 c o s O s i n O 依题意得 直线P F P 疋的方程分别为x s i n O 一 2 c o s O 园y 届i n O 0 x s i n O 一 2 c o s O 一万 二唇i n O 0 由点舾 m o 到直线P E P 疋的距离相等 得 争F 1 由题意可得三1 再 下 m 厕I 寻 万一m I 知F Z 等 解得m 丢 下面解法过程略 2 一争 思路9 椭圆 双曲线 抛物线都有光学性质 利 用光学性质 经过焦点F 的光线经过椭圆上的点P 镜面反射后经过另一个焦点R 椭圆在点P 处的法 线即为 F P 疋平分线所在直线 如图1 椭圆在点 P 处的切线l 上P M 肜添 乡i 形界 M 二 图1 图2 解法9 设P x o y o 则椭圆上过点P x o y o 的切线z 的方程为r g o Y o Y 1 因为 1 P 膨 易朋 由椭圆的光学性质得P M 是反射面的法 线 所以l 上P M 当P M 的斜率不存在时 点P 的坐 监知 旦n 簪喾 万方数据 2 0 1 4 年第6 期 中学数学研究 3 9 标为 0 1 得点肘的坐标为 0 O 当P M 的斜 率存在时 由Z 上P M 得玉蹦 k f 一1 即 卫一 景 l 从而m2 由一2 2 且 粕 0 得m 一 o u o 综上可得mE 一 思路1 0 思路2 根据两个角相等 用正弦定理 要是尝试用余弦定理 能行吗 解法1 0 设P x o Y o 当P O I 时 m 0 当算 0 时 由椭圆的对称性 不妨设0 b o 的左 右焦点分别是F R 点P x Y o 是椭圆上除 长轴端点外任意一点 连接P F P 疋 设 F P F 2 的 角平分线P M 交椭圆E 的长轴于点M m 0 求证 1 1 1 e 2 a 戈n 证明 由题意可得 旦 二 业 化简得 CC m n 一7 0 m 下co e 2 戈o 本题得证 思考2 若延长P M 到P 使得P M M P 由 P 菇 戈 2 肘 矿3 o 得P 一y o 令I 量1 即鬈 譬w 扎甜 y 2 1 戈 1 所以点P 在以o o 0 为圆心 半径为1 的圆上 除去与茗轴两交点 这也是一个 很好的问题 发现点P 的轨迹方程中r 2 1 b 2 是 巧合还是必然呢 探究二 已知椭圆E 争 告 1 口 6 o 的左 右焦点分别是 疋 点P x Y o 是椭圆上除 长轴端点外任意一点 连接P F P 疋 设 矾的 角平分线P M 交椭圆E 的长轴于点M m 0 延长 P M 到P 使得P M k i p 求动点P 的轨迹 解 由探究一的结论知P 2 e 2 茗 一 一 令 x j 2 e 2 J X o l 砥 若e 2 i 1 即b c 时 动点P 的轨迹是两 条线段菇 0 一1 Y 1 且Y O 彬 虿1 即6 c 时 由卜2 芝玎 代 t y o 一Y 入孚 菩乩得 铸 予2 叫叭 口2 因为掣w 堡型掣 垃尘也生蝉苦鱼浊生型 所以 i 若口 2 6 时 生三 二i 垒 b 2 木 式可 化为茗2 Y 2 b 2 茗 b 动点P 的轨迹是以 o o 0 为圆心 半径为b 的圆 除去与石轴两交 点 i i 若口 2 6 时 垒掣 6 z 动点P 的 轨迹是以o o 0 为中心 坐标轴为对称轴 长轴长 为垒2 丑 短轴长为2 6 焦点在戈轴上的椭圆 除 万方数据 4 0 中学数学研究 2 0 1 4 年第6 期 i i i 若口 2 b 时 垒掣 0 b 0 展开式 系数最大项的流行解法探究 安徽省临泉县第一中学 2 3 6 4 0 0 王峰 一 解法展示 在学习 二项式定理 这部分内容时 不少同步 1 辅导资料都会遇到形如 I 茗 8 最大系数项的求 二 解问题 在处理此类问题时 资料中给出的解答几乎 都是这样解答的 设第r 项的系数最大 则有 11 f c f 者 G 寺 1 由 1 得r 3 由 2 c r 者 C 8 击 2 得r 4 3 r 4 又r N jr 3 或r 4 第3 项 第4 项的系数最大 分别为7 菇2 7 石3 注 本文所说的第 项 是以 n b 展开式的 c r 10 t n r lb 1 二 解法困惑 受此影响 一线教师在教学中也大都是采用这 种列不等式组的方法求解 不过 这种方法虽然更为 简洁 但师生不易弄明白整个解法的思维流程的依 据是什么 大家都有一种 见树不见抹 的难言之 状 这样做就给人的感觉是事先好像潜意识默认了 系数就是呈现先增后减的趋势 可是在未解答出来 之前 谁知道呢 怎么突然想到系数就是呈现先增后 减的趋势 是巧合 还是具有这种 先增后减 的一 般性规律 是否还有其它的增减趋势 这些疑惑不仅 我们教师会不由自主地提出 而且学生也会能很容 易想到 遗憾的是 对于这些疑惑 教辅资料及中数 期刊上很少作介绍 此时此景 教师如果不坐下来静 心地研究一番 以发现问题的真相 则教学中是很难 把上述列不等式组解答的原理说清楚 这样一来 思 维的缺失 教学的不爽 直接导致了教师教后总有一 种意犹未尽之感 自然地也会产生一种内疚感 但又 是无奈 对此 笔者曾经也有过同感 不过随着教学 经验的提升及科研意识的增强 最近笔者在