基础物理习题参考-07.pdf

基础物理学基础物理学基础物理学基础物理学 习题解答习题解答习题解答习题解答 配套教材 基础物理学 韩可芳主编 韩德培 熊水兵 马世豪编委 湖北教育出版社 1999 作者 华中师范大学物理学院 李安邦 杨利建 周爱芝 等 本文档中的习题解答可能存在不完善之处 请读者注意自行辨别 请请请请注意注意注意注意 保保保保护护护护作作作作者者者者版版版版权权权权 禁禁禁禁止止止止上上上上传传传传到到到到 百百百百度度度度文文文文库库库库 之之之之类类类类的的的的网网网网站站站站 第七章第七章第七章第七章 电磁感应电磁感应电磁感应电磁感应 变化电磁场变化电磁场变化电磁场变化电磁场 思考题思考题思考题思考题 7 1 感应电动势与感应电流哪一个更能反映电磁感应现象的本质 答答答答 感应电动势 7 2 直流电流表中线圈的框架是闭合的铝框架 为什么 灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中 通入电流线圈就发生偏转 切断电流后线圈在回复原来位置前总 要来回摆动好多次 这时如果用导线把线圈的两个接头短路 则摆动会马上停止 这是什么缘故 答答答答 用导线把线圈的两个接头短路 线圈中产生感应电流 因此线圈在磁场中受到一力偶矩的作用 阻碍 线圈运动 使线圈很快停下来 7 3 让一块磁铁在一根很长的铅直铜管内落下 若不计空气阻力 试描述磁铁的运动情况 并说明理由 答答答答 当磁铁在金属管中时 金属管内感应感生电流 由楞次定律可知 感生电流的方向 总是使它所激发 的磁场去阻止引起感应电流的原磁通量的变化 即 阻碍磁铁相对金属管的运动 磁铁在金属管内除重力 外 受到向上的磁力 向下的加速度减小 速度增大 相应磁力增大 当磁力等于重力时 磁铁作匀速向 下运动 达到动态平衡 7 4 用金属丝绕制的标准电阻是无自感的 怎样绕制才能达到自感系数为零的目的 答答答答 如果回路周围不存在铁磁质 自感 L 的数值将与电流无关 仅由回路的几何性质 匝数以及周围磁介 质的磁导率所决定 把一条金属丝接成双线绕制 就能得到自感系数为零的线圈 做纯电阻用的电阻器都 是这样绕制的 7 5 举例说明磁能是贮藏在磁场中的 答答答答 7 6 如果电路中通有强电流 当你突然拉开闸刀断电时 就会有火花跳过闸刀 试解释这一现象 答答答答 当突然拉开通有强电流电路中的刀闸而断电时 电路中电流迅速减小 电流的变化率很大 因而在电 路中会产生很大的自感电动势 此电动势可以把刀闸两端间的空气击穿 因而在刀闸处会有大的火花跳过 7 7 变化的电场所产生的磁场 是否一定随时间而变化 变化的磁场所产生的电场 是否也一定随时间而 变化 7 8 试比较传导电流与位移电流 答答答答 位移电流具有磁效应 与传导电流相同 两者不同之处 产生机理不同 传导电流是电荷定向运动形成的 位移电流是变化的电场产生的 存在条件不同 传导电流需要导体 位移电流不需要导体 可以存在于真 空中 导体中 介质中 位移电流没有热效应 传导电流产生焦耳热 答答答答 7 9 试由麦克斯韦方程组的积分形式 定性地说明怎样产生统一的电磁场 并说明静电场和稳恒磁场是统 的一电磁场在一定条件下的一种特殊形式 答答答答 7 10 麦克斯韦方程组积分形式中 两个高斯定理与静电场和稳恒磁场的高斯定理形式相同 其物理意义 是否相同 答答答答 12 11 静 电 场 中 的 高 斯 定 理 0 dd SV V q SE 和 真 空 中 电 磁 场 的 高 斯 定 理 0 dd SV V q SE 在形式上是相同的 但理解上述两式时有何区别 答答答答 上述两式形式上尽管相同 但在实质上却有原则区别 静电场中穿过任一闭合曲面的通量由静电荷的代数 和决定 在电磁场中 穿过闭合曲面的通量除由静电荷的电力线外 还有变化的磁场产生的涡旋电场的电 力线 而涡旋电场的电力线是闭合曲线 因而其通量总是零 习习习习 题题题题 7 1 一导线 ab 弯成如图的形状 其中 cd 是一半圆 半径 r 0 10m ac 和 db 两段的长度均为 l 0 10m 在均匀磁场 B 0 50T 绕轴线 ab 转动 转速 n 60rev s 设电路的总电阻 包括电表 M 的内阻 为 1 000 求导线中的感应电动势和感应电流 它们的最大值各是之大 解解解解 sin 2 0 2 t rB dt d VBfr rB m 7 2 2 22 2 sin 2 0 2 t R rB R I A R rB R I m m 3 2 107 2 2 7 2 如图所示 一长直导线载有 I 5 0A 的电流 旁边有一矩形线圈 ABCD 与此长直导线共面 长 l1 0 20m 宽 l2 0 10m 长边与长导线平行 AD 边与导线相距 a 0 10m 线圈共 1 000 匝 令线圈在速度 v 垂直于长导线向右运动 v 3 0m s 求线圈中的感应电动势 解解解解 此题可以用法拉第电磁感应定律来求此题可以用法拉第电磁感应定律来求此题可以用法拉第电磁感应定律来求此题可以用法拉第电磁感应定律来求 根据动生电动势的公式 沿着回路 ABCDA 进行积分 感应电流的方向为顺时针 l dBv L i vv v A D D C B A C B l dBvl dBv l dBvl dBv vv v vv v vv v vv v 穿过线圈的磁场方向垂直纸面向里 当线圈运动时 AB 和 CD 不切割磁力线 产生的电动势为零 只有 BC 和 DA 两段产生感应电动势 1112 lvBlvBl dBvl dBvl dBv A D C B L i vv v vv v vv v 其中 1 B为通电直导线在 AD 处产生的磁感强度 2 B为通电直导线在 BC 处产生的磁感强度 已知无限 长载流直导线周围各点的磁感强度为 0 2 I B a 则 0 1 2 I B avt t 为时间 0 2 2 2 I B alvt 所以 线圈中的总感应电动势为 01 2 11 2 NIvl avtalvt 0 t时 3 0101 2 22 11 3 0 10 V 22 NIvlNIvl l aala al 7 3 如果上题中的线圈保持不动 而在长直导线中通有交变电流 A 100sin 10tI t 以秒计 则线 圈中的感应电动势如何 解解解解 drl r I SdBd m1 0 2 vv 2 01012 ln 22 a l m Sa I lI laldr B dS ra vv 7 0 12 2 4100 20 1 0 1 ln1000ln10 100 cos 100 220 1 0 04 ln2cos 100 V 8 7 10cos 100 V m i dlal dI NNt dtadt tt 7 4 如图所示 质量为 M 长度约为 l 的金属棒 ab 从静止开始沿段斜的绝缘框架下滑 设磁场B r 竖直 向上 求棒内的动生电动势与时间的函数关系 假定摩擦可以忽略不计 如果棒 ab 是沿光滑的金属斜框 架下滑 结果有何不同 提示 回路 abCB 中将产生感应电流 并设回路电阻 R 为常量考虑 解解解解 1 金属棒所受重力加速度沿斜面方向的分量为 sin gg 棒的速度tgv sin 磁场沿垂直于棒运动方向 垂直于斜面 的分量为 cosBB 故棒的动生电动势为 lvB i 2sin 2 1 sinlgcosBltgtB 2 若框架为光滑金属 电阻恒为 R 当棒以速度 V 沿斜面下滑时 回路感生电动势为 cosBlvlvB i 感生电流 R Blv R I i cos 金属棒受到安培力沿斜面的分量L R lvB BIlBf cos cos 由牛顿定律 dt dv v MR lB g dt dv Mvl R B BMgIlBMgF 222 2 cos sin cos cossinsin 分离变量 MR vlB g dv dt 222 cos sin 由初始条件 t 0 v 0 两边积分 得 7 5 如图所示 金属杆 AB 以匀速 v 平行于一长直导线移动 此导线通 有电流I r 问 此杆中的感应电动势为多大 杆的哪一端电势较高 解解解解 在AB上距长直导线为r处任取一微元dr 沿 A B 根据动生电动势 的定义式 可得 rdBvd v v r r Ivdr dr r I v O 2 0 cos 2 00 a ba r Iv r Ivdr d ba a ln 22 00 7 6 有一均匀磁场 磁感强度为B r B r 的量值以恒定的变化率 dt Bd r 在变化 把一块质量为 m 的铜 拉成 截面半径为 r 的导线 并用它做成一个圆形回路 半径为 R 圆形回路的平面与B r 垂直 试证 这回路 中的感应电流为 dt dB d m i 4 式中 为铜的电阻率 d 为铜的密度 证明证明证明证明 磁感强度以恒定的变化率 dt Bd r 在变化 在周围产生感生电场 半径为 R 的圆形回路上感生电场的大小为 dt BdR E r 2 感应电动势大小为 dt Bd RREl dE r vv 2 2 感应电流的大小为R dt Bd RRi 2 r 其中 R 是圆形回路的电阻 2 2 2 2 r R rRSlR r是导线截面的半径 与质量的关系为RrddVm 2 2 2 2 2 Rd m r m RdR r R R 2 2 222 dt dB d m RdR m dt Bd Ri 422 2 2 r 证毕 7 7 长度为 L 的铜棒 以距端点 a 处为支点 并以角速率 绕通过支点垂直于铜棒的轴转动 设磁感 强度为B r 的均匀磁场与轴平行 求棒两端的电势差 解解解解 以支点 O 作为坐标原点 在距 O 点为l处取一线元dl v 其方向指向 A 则该线元相对磁场的运动速度v v 垂 直于dl v 和B v 其大小为vl 故在dl v 内产生的动生电动势为 i dvBdllBdl vv v 所以 2 11 2 22 L a L a i a a lBdlB lB L La 7 8 在如本题图所示的平面内 无限长直导线通有稳恒电流 I 一长为 L 的 金属棒 绕其一端 O 在此平面内按顺时钟方向匀速转动 角速度为 1 当金属棒转至与长直导线平行 OM 位置时 棒内感应电动势的大小和方向 2 当金属棒转至与长直导线垂直 ON 位置时 棒内感应电动势的大小 和方向 解解解解 1 因为 0 0 2 r I B vBdll dBvd i vv v 所以 0 2 0 0 0 0 42r LI dl r I l L i 方向 O M 2 建立坐标系 在 ON 上取线元 dx 则 x I B 2 0 vBdxl dBvd i vv v 0 rxv 1ln 2 22 0 0 0000 0 0 0 0 0 0 0r L rL I dx x r dx I dx x I rx Lr r Lr r Lr r i 方向 O N 7 9 一电阻为R 2 0 的闭合回路 处于变化的磁场中 见题 7 9 图 若 通 过 回 路 的 磁 通 量 与 时 间 的 关 系 为 m 5t2 8t 2 10 3 Wb 求 t 2s 时回路中的感应电动势及感应电 流 解解解解 由法拉第电磁 感应定律 dt d m i 23 582 10 Wb m tt 3 108 10 V i t st2 时 V i 2 108 2 电流大小为 2 1 4 10 A i IR 方向为顺时针方向 7 10 两线圈的自感分别为 L1和 L2 它们之间的互感为 M 1 将两线圈顺串联 如图 a 所示 求 1 和 4 之间的自感 2 将两线圈反串联 如图 b 所示 求 1 和 3 之间的自感 题题题题 7 10 图图图图 解解解解 1 将导线顺着串联 设通有电流 I 线圈内的磁通量为 m 总磁通链数为 N 其中由两线圈自感 L1 L2 产生的磁通链数为ILN 111 ILN 222 由两线圈之间互感产生的磁通链数为MIN 12 1 MIN 21 2 所以 总磁通链数 MIMIILILNNNNN 212121212211 由LIN 则MLLL2 21 2 将两导线反串联 设通有电流 I 线圈总磁通链数为 N 其中由两线圈自感 L1 L2 和它们之间互感产生的磁通链数分别为 ILN 111 ILN 222 MIN 12 1 MIN 21 2 所以 MIMIILILNNNNN 212121212211 由LIN 则MLLL2 21 7 11 已知两共轴螺线管 外管线圈半径为 r 1 内管半径为 r 2 线圈匝数分别为 N1 及 N2 试证它们的 互感系数为 21L LkM 式中 L1和 L2分别为两螺线管的自感系数 1 1 2 r r k 称为两螺线管的耦合 题题题题 7 9 图图图图 系数 证明证明证明证明 设管长为l 内管通有电流 1 I 可知管内磁感强度及磁通链数分别为 1 1 10 N I B l 22 2 01 1011 1 111111 N II N r N B SNr ll 由 111 IL 得内管的自感系数为 22 01 11 1 1 N r L Il 同理得外管的自感系数为 22 02 2 2 N r L l 由 211 MI 可得 22 01 1012 22121222 111 N IN N rN B SNr M IIIll 1 又因为 2222222 02 21 1012 22 12 2 1 N r N rN N rr kL L rll 2 1 2 两式右边相同 故 21L LkM 7 12 一螺绕环 横截面的半径为 a 中心线的半径为 R R a 其上由表面绝缘的导线均匀地密绕两 个线圈 一个 N1 匝 另一个 N2 匝 试求 1 两线圈的自感 L1和 L2 2 两线圈的互感 M 3 M 与 L1和 L2的关系 解解解解 1 设线圈 1 中通有电流 I 因为 R a 故螺线管内的磁场近似为匀强磁场 磁感应强度为 1 1 0110 2 I R N InB 通过某个横截面的磁通量为 2 1 11 01111 2 aI R NN SBN 自感系数为 R aN I L 2 22 10 1 1 1 同理可得 R aN I L 2 22 20 2 2 2 2 设线圈 1 中通有电流 I1 则螺绕环中的磁感应强度 1 1 0110 2 I R N InB 在线圈 2 中的全磁通 2 1 1 02212 2 aI R N NBSN R aNN I M 2 2 210 1 12 3 由它们的表达式可见 21L LM 7 13 两根平行长直导线 横截面的半径都是 a 中心相距为 d 属于同一回路 设两导线内部的磁通 量都可略去不计 证明 这样一对导线 其长为 l 的一段的自感为 a adl L ln 0 解解解解 两根长直导线在它们之间所产生的磁场沿 y 轴正方向 该磁场的大小为 忽略导线内部磁通量 一对导线长为 l的一段的自感为 在R d 的情况下 尽管在计算磁通量时可以忽略导线内部的贡献 导线半径的有限性 但是在计算导线之 间的磁通量时却必须考虑到导线半径的有限性 其原因是 在导线内部 rB 而在导线外部 rB 1 其中 r 是场点到导线中心线的垂直距离 7 14 一螺线管的自感系数为 0 010H 通过它的电流为 4A 试求它贮藏的磁场能量 解解解解 222 11 0 01 48 10 22 B wLIJ 7 15 一无限长直导线 截面各处的电流密度相等 总电流为 I 试证 每单位长度导线内所贮藏的磁能 为 2 16 解解解解 分析分析分析分析 导体本身也是磁介质 不过除了铁磁质外 无论抗磁质还是顺磁质导 体的相对磁导率大都十分接近于 1 因此 如无特别说明 可以将导体内的 磁导率取为真空中的磁导率 0 长直导线截面上电流均匀分布 但由于穿 过磁场线 以对称轴为圆心的一系列同心圆 所围面积电流不等 根据安培 环路定理 沿直导线半径方向的 H 大小不同 因而磁能密度分布不均匀 下面给出的解法是在长直导线内取一半径为r 厚度为dr 高为单位长的 薄 壁 圆 筒 为 体 积 元 dr范 围 内视 为 相 等 于 是 dVwdw m 进而积分求出单位长导线储藏的磁能 载流长直导线内磁场线是以对称轴为圆心的一系列同心圆 取半径为 r 的圆 为安培环路 L 有 2 2 2r R I IrHl dH L vv 2 2R Ir H 在长直导线内取半径为 r 厚度为 dr 高为单位长的薄壁圆筒体积元rdrdV 2 如图所示 体积元内 磁能密度为 42 22 02 0 82 1 R rI Hwm 直导线内总磁能为 164 2 8 2 0 0 3 42 2 0 0 42 22 0 I drr R I rdr R rI dVwW RR V m 7 16 在真空中 若一均匀电场中的电场能量密度与一个 0 50T 的均匀磁场中的磁场能量密度相等 该电 场的电场强度为多少 解解解解 真空中 电场能量密度 2 0 2 1 Ewe 磁场能量密度 0 2 2 1 B wm 两者相等 2 0 0 2 E B 8 712 00 0 05 1 5 10 V m 4 108 85 10 B E 7 17 试证 平行板电容器中的位移电流可写为 dt dU CId 式中 C 是电容器的电容 U 是两板板间的 电势差 证明证明证明证明 对任意形状的电容器 t 时刻极板带电量CUq 当C不变时 I dt dU C dt dq dt dU CIID 7 18 半径为 R 0 10m 的两块圆板 构成平行板电容器 放在真空中 今对电容器匀速充电 使两板间电 场的变化率为S V m100 1 13 dt dE 求两板间的位移电流 并计算电容器内离两板中心连线 r R 处的磁感强度 B r 以及 r R 处的 BR 下面的解答需要检查下面的解答需要检查下面的解答需要检查下面的解答需要检查 解解解解 通常假定平板电容器极板间距很小 可以忽略边缘效应 认为电场局限在两极板间 1 电容器的极板面积为 2 RS 穿过以 L 为边界的圆平面的电位移通量为ERSD D0 2 位 移电流为 A dt dE R dt d I D D 779 2100 11085 81 0 1 014 3 1312 0 2 2 在两极板间取半径为 r 的磁场线为安培回路 L 当Rr 时 电位移通量为ERSD D0 2 位移电流为 dt dE R dt d I D D0 2 由于磁场的对称性 H 的方向在圆周回路 L 的切线方向 大小处处相等 根据全电流定理 得 D L IIrHl dH 2 vv 则 dt dEr I r HB D 22 00 0 0 解解解解 1 t E t D jD 0 8 2 2 RjSjI DDD A 2 SjIlH S D l vvvv dd 0 取平行于极板 以两板中心联线为圆心的圆周rl 2 则 2 0 2 d d 2r t E rjrH D t Er H d d 2