对一道高考三角试题的研究.pdf

对一道高考三角试题的研究 童益民 宁波效实中学 原题呈现 在锐角 中 内角 的对边分别为 且 槡 求角 的大小 若 求 的面积 解析 由 槡 及正弦定理 得 槡 因为 是锐角 所以 由余弦定理 得 又 所以 由三角形面积公式 得 的面积为 槡 考题分析 本题是 年浙江高考文科卷第 题 主 要考查正 余弦定理 三角形面积公式及三角运算 等基础知识 同时考查运算求解能力 本题在难度 上属于中低档题 学生很容易得到题目的答案 但 对三角形的结构缺少整体的认识 如果仔细考虑 一下 会发现根据题目的条件 可以求出边 的 大小 也就是三角形是确定的 题目延伸 在 中 求边 的大小 并判断 的形状 解析 当 时 可求出 所以 槡 槡 或 槡 槡 当 槡 槡 时 槡 所以 所以 是钝角 即 为钝角三角形 原题的命制中出现了科学性的缺陷 出现了 命题的条件与条件的相斥 如果不仔细研究的话 可能很难发现 因此在编制数学命题时 必须关注 题设的科学性 不能随心所欲的给出已知条件 应 当防止题设各条件之间产生矛盾 见参考文献 接下来本文从多个角度对原题进行研究 变式研究 变式 去掉锐角 这个条件 在 中 内角 的对边分别为 且 槡 求角 的大小 若 求 的面积 解析 由原题解析可得 或 当 时 可得 所以 槡 槡 当 时 可得 所以 无解 变式 保留锐角 这个条件 改变其 它条件 去掉 这个条件 锐角 中 求 的取值 数学通报 年 第 卷 第 期 范围 解析 由正弦定理 得 槡 槡 所以 槡 槡 槡 因为 所以 槡 去掉 这个条件 锐角 中 求 的取值 范围 解析 由正弦定理 得 槡 槡 所以 槡 槡 所以 槡 槡 因为 槡 又 所以 槡 所以 槡 去掉 这个条件 锐角 中 求 的取 值范围 解析 根据椭圆的定义 建立直角坐标系 如 图 可得点 的轨迹方程为 设 根据焦半径公式 得 所以 因为 又 且 所以 所以 所以 拓展研究 变式 中 求 的取 值范围 解析 由正弦定理 得 槡 因为 所以 槡 题 浙江理 已知平面向量 满 足 且 与 的 夹 角 为 则 的取值范围是 解析 令 如下图 则 类比变式 由正弦定理 得 槡 因为 可求出 槡 变式 中 求 的取值范围 年 第 卷 第 期 数学通报 解析 由正弦定理 得 槡 因为 所以 槡 题 浙江理 设 为单位向量 非 零向量 若 的夹角为 则 的最大值等于 解析 令 因为 所以 不妨令 当 时 如图 图 当 时 如图 图 因为 又 类比变式 可得 综合图 和图 当 时 的最 大值等于 总结 根据数学认识理解的三个层次 见参考文献 操作性理解 关系性理解与迁移性理解 那 么对这道三角试题的研究很好体现了数学理解的 三个层次 三角形的元素为三个角 及它们的 对边 已知其中的几个元素可求其他的元 素 一般是知三求三 同时也可求三角形的面积 对该知识的掌握表现为对数学的操作性理解 即 学生懂得了数学的基本概念 原理和方法 能够运 用所学知识解决一些简单的问题 当已知的三角形元素少于三个时 三角形 是不确定的 但可求其他元素的取值范围 同时也 可求三角形面积的取值范围 对该知识的掌握表 现为对数学的关系性理解 即学生对数学知识的 本质有比较深刻的认识 能够掌握数学知识之间 的内在联系和规律 能够用所学知识解决一些综 合性的问题 可以把某些三角形的模型迁移到其他章 节内容中 比如是平面向量 可加深对解三角形的 理解 做到灵活运用 对该知识的掌握表现为对数 学的迁移性理解 即学生深刻理解数学知识 能够 将数学思想 方法以及所学数学知识迁移到别的 内容中 能够灵活运用数学知识解决问题 参考文献 曾英义 例说数学命题的科学性缺陷 中学数学教学参考 陈柏良 数学认知理解的三个层次 数学通报 上接第 页 正余弦定理与日常生活有着密切联系 是让 学生体验数学应用价值的好素材 但在教学中由 于受到客观条件制约 有时需要对教材中某些内 容作灵活处理 甚至重新设计 这样才能真正达成 教学目标 如不同版本的教材几乎都安排了与测 量有关的实习作业 但考虑到高中数学课时普遍 紧张这一现实 许多学校很难划出时间让学生真 正走出课堂 这时 对例题改造 让学生解决一些 与真实情境相近的问题 不失为一种补救措施 此 外 教学中也可以采取课内与课外相结合的方法 比如 课内学生设计了若干个方案 教师与学生一 起