高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件.pptx

2 2绝对值不等式的解法 1 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x a x b c x a x b c 2 明确绝对值不等式解题的关键及方法步骤 学习目标 1 以选择题的形式考查绝对值不等式的解法 同时常与集合相结合 在集合的交 并 补运算中考查解法 重点 2 考查含参数的绝对值不等式的解法中分类讨论 等价转化的数学思想 重点 难点 学法指要 预习学案 1 绝对值不等式表示为 2 在绝对值不等式定理2中 有 a b b c a b a b a c 1 a 0时 x a x a 2 c 0时 ax b c ax b c 3 一般地说 解含绝对值不等式的基本思想是 就是采用正确的方法 化去绝对值符号 方法有公式法 同解原理法 如 f x g x g x f x g x 不必讨论g x 的正负 平方法 分段讨论法等 a x a xa c ax b c ax b c或ax b c 等价 转化 4 运用分段讨论法解绝对值符号里是一次式的不等式 特别是含两个或两个以上绝对值符号的 其一般步骤是 1 令每个绝对值里的代数式 并求出相应的根 又叫零点 2 把这些根由 把不等式的存在域 未知数的取值范围 分成若干段 为零 小到大排列 3 在每一段上去掉 组成若干个不等式 组 解这些不等式 组 求出交集 4 取这些不等式 组 的解集的 就是原不等式的解集 在变形的过程中要特别注意保证同解 还要注意步骤的简捷与表达的明晰 区别 并 还是 交 的关键是 或 还是 且 同时还要分清端点是否包括在内 绝对值符号 并集 解析 A x 1 x 3 B x x 2 或x 0 A B x 1 x 0 或2 x 3 答案 C 2 不等式1 x 1 3的解集为 A x 4 x 2或0 x 2 B x 4 x 2 C x 0 x 2 D x 4 x 2 解析 1 x 1 3 1 x 1 3或 3 x 1 1 0 x 2或 4 x 2 答案 A 3 如果关于x的不等式 x 3 x 4 a的解集是全体实数 则a的取值范围是 解析 由绝对值的几何意义可知 x 3 x 4 1 故a 1 答案 1 4 解不等式 1 2x 5 解析 1 2x 5 2x 1 5 2x 1 5或2x 1 5 2x 6或2x 4 x 3 或x 2 所以原不等式的解集为 x x 3 或x 2 即 2 3 课堂讲义 解不等式3 8 x 思路点拨 在 ax b c与 ax b c c 0 型的不等式中 如果a是负数 为了方便 可以先把a化成正数 并写成标准形式后再求解 ax b c ax b c型不等式的解法 解题过程 8 x x 8 原不等式即为 x 8 3 化简 得x 8 3 或x 8 3 解得x 11 或x 5 原不等式的解集是 x x 11 或x 5 1 解不等式 4x 1 2 10 思路点拨 含有一个绝对值的不等式 可以把绝对值内的部分作为一个整体 应用 x a或 x a a 0 即可解决问题 解不等式 x 3 x 3 8 思路点拨 这是一个含有两个绝对值符号的不等式 为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式 可以进行分类讨论 也可以借助数轴利用绝对值的几何意义 还可以画出左 右两边相应函数的图象 利用图象法直观求解 含多个绝对值的不等式的解法 解题过程 方法一 由代数式 x 3 x 3 知 3和3把实数集分为三个区间 x 3 3 x 3 x 3当x 3时 x 3 x 3 8 即x 4 此时不等式的解集为 x x 4 当 3 x 3时 x 3 x 3 8 此时不等式无解 当x 3时 x 3 x 3 8 即x 4 此时不等式的解集为 x x 4 取 式的并集得原不等式的解集为 x x 4 或x 4 方法二 不等式 x 3 x 3 8表示数轴上与A 3 B 3 两点距离之和大于8的点 而A B两点距离为6 因此线段AB上每一点到A B的距离之和都等于6 如图所示 要找到与A B距离之和为8的点 只需由点B向右移1个单位 这时距离之和增加2个单位 即移到点B1 4 或由点A向左移1个单位 即移到点A1 4 可以看出 数轴上点B1 4 向右的点或者点A1 4 向左的点到A B两点的距离之和均大于8 原不等式的解集为 x x 4 或x 4 2 已知函数f x x 8 x 4 1 作出函数y f x 的图象 2 解不等式 x 8 x 4 2 思路点拨 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的三种解法 分区间 分类 讨论法 图象法和几何法 分区间讨论的方法具有普遍性 但较麻烦 几何法和图象法直观 但只适用于数据较简单的情况 图象如图所示 2 不等式 x 8 x 4 2即f x 2 由 2x 12 2得x 5 由函数f x 图象可知 原不等式的解集为 5 已知不等式 x 2 x 3 m 1 若不等式有解 2 若不等式解集为R 3 若不等式解集为 分别求出m的范围 思路点拨 解答本题可以先根据绝对值 x a 的意义或绝对值不等式的性质求出 x 2 x 3 的最大值和最小值 再分别写出三种情况下m的范围 含绝对值不等式的恒成立问题 1 若不等式有解 m只要比 x 2 x 3 的最大值小即可 即m 1 2 若不等式的解集为R 即不等式恒成立 m只要比 x 2 x 3 的最小值还小 即m 1 3 若不等式的解集为 m只要不小于 x 2 x 3 的最大值即可 即m 1 方法二 由 x 2 x 3 x 2 x 3 1 x 3 x 2 x 3 x 2 1 可得 1 x 2 x 3 1 1 若不等式有解 即m 1 2 若不等式解集为R 即m 1 3 若不等式解集为 即m 1 3 把本例中的 改成 即 x 2 x 3 m时 分别求出m的范围 思路点拨 问题 1 是存在性问题 只要求存在满足条件的x即可 不等式解集为R或为空集时 不等式为绝对值不等式或矛盾不等式 都属于恒成立问题 问题 2 3 则属于恒成立问题 要对任意实数x 结论都成立或都不成立 都不成立也就是结论的矛盾方面都成立 都可转化为最值问题 即f x a恒成立 f x max a f x a恒成立 f x min a 解析 x 2 x 3 x 2 x 3 1 即 x 2 x 3 1 1 若不等式有解 m为任何实数均可 即m R 2 若不等式解集为R 即m 1 3 若不等式解集为 这样的m不存在 即m 1 不等式 x a a 0 的解集是 x a x a 即 a a 不等式 x a a 0 的解集为 x x a 或x a 即 a a 这里应注意向学生说明集合运算符号 与逻辑联结词 或 的关系和意义 对 ax b c ax b c型不等式的理解 对于这个结论 仍应根据绝对值的几何意义 结合数轴进行讲解 即 x a a 0 表示和原点距离不大于a的点的全体 即位于数轴上的点 a与a之间 包括 a与a 的点的全体 即 a a 而 x a表示数轴上和原点距离不小于a的点的全体 即数轴上位于 a左侧 包括 a 及a右侧 包括a 的点的全体 即 a a 2 当a 0时 x a的解集为 x a的解集为R 可以用具体例子来说明 例如 x 1的解集为 x 1的解集为R 3 ax b c与 ax b c c 0 型的不等式 在具体求解时 可以直接在 x a与 x a a 0 型不等式上进行替换 这时原不等式化成了一元一次不等式 或组 然后就可以根据不等式的基本性质求解了 对 x a x b c x a x b c型不等式的理解 2 几何解法的关键是对绝对值几何意义的理