它山之石可以攻玉——经典面试题中的数学思维.pdf

2 0 1 0 年第4 9 卷笫4 期数学通报 它山之石可以攻玉 一经典面试题中的数学思维 彭 刚 广西师范大学5 4 1 0 0 1 近年来 面对日益激烈的全球化竞争 如何选 拔出优秀的面试者是世界著名公司共同关注的问 题 这些视人才如生命的公司通过各种方式考察 面试者 因而涌现出很多优秀的面试题 并常有数 学思维蕴涵其中 折射出当今社会对公民数学应 用意识以及数学素养的要求 值得数学教育工作 者借鉴与思考 1 快速估算 面试题 M i c r o s o f t 请估算一下上海东方明 珠电视塔的质量 微软公司在复旦大学举行的一场校园招聘 第一轮笔试题目中就有这道令应试者困惑的 东 方明珠 题 难倒了众多学子 这类题目有不同的 版本 比如 估算一下长江里的水的质量 或者 美 国有多少辆车 这是大的 宏观方面的问题 小的 方面比如 估算一下一个行进在小雨中的人5 分 钟内身上淋到的雨的质量 等等 据上海微软软件有限公司负责招聘考试的软 件研发部经理蔡先生说 就东方明珠这道题来 说 它和一般的谜语或智力题还是有区别的 这类 题为快速估算题 主要考的是快速估算的能力 这 是开发软件必备的能力之一 重要的是对考生得 出这个结果的过程也就是方法的考察 蔡经理说了一种比较合理的答法 他首先在 纸上画出东方明珠的草图 然后快速估算支架和 各个支柱的高度 以及球的半径 算出各部分体 积 然后进行各部分密度运算 最后相加得出一个 结果 蔡经理认为 像这样的题目 包括一些推理 题 考的都是人解决问题的能力 不是哪道题你记 住了答案就可以的 启示近年来 新的课程标准十分重视学生 估算能力的培养 像上述蕴涵建立数学模型思想 的估算 较好地综合考查了学生的数学素养 链接P I S A O 关于估算能力的试题 一次摇滚音乐会上 听众们都被集中在一个 长1 0 0 米 宽5 0 米的长方形区域里 由于歌迷非 常多 他们必须很紧密地站在一起 请你估计一下 大概有多少人参加了这场音乐会 2 逻辑推理 面试题 M i c r o s o f t 小明和小强都是张老师的学生 张老师的生 日是M 月N 日 二人都知道张老师的生日是下 列1 0 组中的一天 张老师把M 值告诉了小明 把 N 值告诉了小强 张老师问他们是否知道他的生 日是哪一天 3 月4 日 3 月5 日 3 月8E l 6 月4 日 6 月7 日 9 月1 日 9 月5 日 1 2 月1 日 1 2 月2 日 1 2 月8 日 小明说 如果我不知道的话 小强肯定也不知 道 i 小强说 本来我也不知道的 但是现在我知道 了 小明说 哦 那我也知道了 请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一 天 分析由于小明肯定 如果自己不知道的话 P I S A P r o g r a mf o rI n t e r n a t i o n a lS t u d e n tA s s e s s m e n t 是由经济合作与发展组织 O E C D 发起的一项以1 5 岁中学生为考察对象 的国际性学生评价项目 主要了解他们所掌握的知识与技能为将来成人生活的准备情况 万方数据 2数学通报2 0 1 0 年第4 9 卷第4 期 小强也不知道 因而排除6 月和1 2 月的可能 否 则在N 等于2 或7 的情况下 即使在小明不知道 张老师生日的情况下 小强也知道 于是只考虑 下面5 种可能 3 月4 日 3 月5 日 3 月8 日 9 月1 日 9 月5 日 由于小强说 本来我也不知道的 但是现在我 知道了 因而排除N 等于5 的情况 只考虑下面 3 种可能 3 月4 日 3 月8 日 9 月1 日 由于小明最后说也知道了张老师的生日 因 而M 等于9 答案是9 月1 日 启示此题考查了观察和推断能力 其中还 蕴涵了逆向思维 目前 我国高中数学新课程中 简易逻辑 主要内在是四种命题及其相互关系 充要条件等等 上述福尔摩斯式题目可以成为有 益的补充 它既具有趣味性 又具有挑战性 链接有三筐水果 第一筐装的全是苹果 第 二筐装的全是橘子 第三筐是橘子与苹果混在一 起 筐上的标签都是骗人的 比如 如果标签写的 是橘子 那么可以肯定筐里不会只有橘子 可能还 有苹果 你的任务是拿出其中一筐 从里面只拿 一只水果 然后正确写出三筐水果的标签 3 递推归纳 1 面试题 I B M 村子里有5 0 个人 每个人有 一条狗 这5 0 条狗中有病狗 这种病不会传染 每个人都可以观察其他的4 9 条狗以判断他们是 否生病 但不能看自己的狗 观察后的结果不能交 流 也不能通知病狗的主人 主人一旦推算出自己 的狗是病狗 就要枪毙自己的狗 而且每个人只有 权力枪毙自己的狗 没有权力处理别人的狗 已知 第一天 第二天都没有枪响 到了第三天传来一阵 枪声 问共有几条病狗 分析假设只有1 条病狗 病狗的主人会看 到其他狗都没有病 便可推算出自己的狗有病 所 以第一天就会有枪响 因为没有枪响 说明病狗数 大于1 假设只有2 条病狗 病狗的主人都会看到只 有一条病狗 因为第一天没有听到枪响 所以病狗 数大于1 因而病狗的主人会知道自已的狗是病 狗 第二天便会有枪响 既然第二天也没有枪响 说明病狗数大于2 同理可知 如果第三天枪响 则有3 条病狗 实际上 我们还可以证明如果有h 条病狗 则 在第志天枪响 启示蕴涵了递推归纳以及逆向思维 集知识 性 趣味性于一体 是数学课堂教学的良好素材 链接华罗庚先生的 帽子问题 有位老师想辨别他的3 个学生谁更聪明 他 采用如下的方法 事先让他们看到3 顶白帽子和 2 顶黑帽子 然后叫他们闭上眼睛 分别给戴上帽 子并藏起剩下的2 顶帽子 最后叫他们睁开眼睛 通过看别人的帽子说出自己所戴帽子的颜色 3 个学生互相看了看 都踌躇了一会 异口同声地说 出自己戴的是白帽子 问他们如何猜出的 4 优化设计 面试题 G o o g l e 有一个1 0 0 层高的大厦 从 这个大厦的某一层扔下玻璃围棋子恰好就会碎 称这一层为临界层 请你用手中的两枚玻璃围 棋子 找出一个最优的策略 来得知那个临界层 分析题目要求策略最优 因而要使得在最 坏的情况下投掷的总次数k 最少 首先考虑只 有一个棋子的情况 条件若为多枚棋子则均可转 化为一枚棋子的情况 1 一枚棋子 棋子必须在临界层扔下的时候 碎 所以唯一的策略是从第1 层开始往上逐层投 掷 此时L 9 9 临界层为第9 9 层或第1 0 0 层 2 两枚棋子 利用多的这枚棋子缩小查找的 范围 因而把1 0 0 层分成若干段 先用一枚棋子来 确定临界层所在的段 称为临界段 再利用另一 枚棋子确定临界层 总的投掷次数等于确定临界 段的次数挖 与确定临界层的次数咒z 的和 现把1 0 0 层平均分成卵段 竹是1 0 0 的正因 数 有 T l 以一 1 i 1 0 0 1 行 等一2 由均值不等式可知矗 1 0 时 T 眦 1 8 为最 小值 此时临界段为第8 0 9 0 层 临界层为第8 9 由题可知棋子在第1 0 0 层一定会碎 所以如果从第9 9 层扔下不碎的话 便可知道临界层即为第1 0 0 层 此外 我们还假 定存在临界层为第1 层 即棋子从第1 层扔下便碎的情况 万方数据 2 0 1 0 年第4 9 卷第4 期数学通报 新课改 高师数学教育专业学生终身 数学素质的自组织生成 基于超循环理论的模型构建 李艳琴1熊世桓1 项昭2 1 贵州师范学院数计学院5 5 0 0 1 82 贵州师范大学数计学院5 5 0 0 0 1 2 0 世纪6 0 年代 法国著名教育家保尔 郎 格朗在其代表作 终身教育引论 中提出了 终身 教育 的思想和理论 这种 终身教育 的教育理 念 对世界各国的教育实践和研究产生了深远的 层 如果把1 0 0 层分成1 2 段 1 0 0 9 1 1 1 1 9 1 0 1 8 9 1 9 9 1 0 0 与上述 l 1 0 的情 况相比 虽然每段的层数在减少 从而咒 有所减 少 但所分的段数有所增加 从而咒 有所增加 因而L 并没有减少 如果把1 0 0 层分成其他段 比如9 段 1 0 0 1 2 8 4 情况也如此 根据上面的讨论 如何把1 0 0 层合理 分段 是解决问题的关键 上述对大楼1 0 0 层所分段数 的调整并没有使得T m 1 8 减少的原因在于每 段包含的层数比较均匀 图1 因而出现砌与行 此消彼长的情况 鉴此 我们作以下方式的调整 临界 界层 L m a X N 刀2 k 订 m a x i a 一1 图1圈2 把1 0 0 层分成若干段 从下往上每段的层数 逐渐少1 图2 这样就使得在最坏的情况下 l 增加1 的同时挖 减少1 因而以 与行z 的总和不 变 等于第一段的层数挖 为了确定咒的值 只需 解不等式n 挖 1 十 1 1 0 0 得到7 l 1 4 从而有如下最优策略 从第1 4 层开始扔第一枚棋子 如果没有碎则 从第1 4 1 3 2 7 层开始扔 如果还没有碎则从 1 4 1 3 1 2 3 9 层开始扔 依此类推 此时T m 1 4 临界层可为第2 7 层 第3 9 层 第9 9 层 启示优化设计是提高程序运行效率的关 键 这在高中新课程算法初步内容中有较好的体 现 特别地 此题还蕴涵了化归以及逐步调整的数 学思想方法 融合了不等式与数列的有关知识 的 确是一道值得借鉴的经典面试题 推广从上面的讨论可以发现此题的关键是 高阶 等差数列 一枚棋子 1 l 1 l1 a 1 0 0 互 两枚棋子 2 345 a 1 0 0 f 1 三枚棋子 1 361 01 5 c 1 0 0 i t l 因而我们还可以探讨大楼有伪层 棋子有志 个的情况 解不等式 c m 即可 考文t 1 美 布莱尔 沃森 世界5 0 0 强面试题 朱丽等译 北京 中 国青年出版社 2 0 0 4 2 林革 微软面试题中的数学思维 时代散学学习 八年级 t 2 0 0 6 4 万方数据 它山之石可以攻玉 经典面试题中的数学思维它山之石可以攻玉 经典面试题中的数学思维 作者 彭刚 作者单位 广西师范大学 5410