理论力学9—刚体的平面运动.ppt

刚体的平面运动 第九章 此处有动画播放 在运动中 刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离 这种运动称为平面运动 此处有影片播放 此处有影片播放 9 1刚体平面运动概述和运动分解 S A 刚体上每一点都在与固定平面M平行的平面内运动 若作一平面N与平面M平行 并以此去截割刚体得一平面图形S 可知该平面图形S始终在平面N内运动 因而垂直于图形S的任一条直线A1A2必然作平动 A1A2的运动可用其与图形S的交点A的运动来替代 刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动 这就是平面图形的运动方程 S M O 9 1刚体平面运动概述和运动分解 j 平面图形S在其平面上的位置完全可由图形内任意线段O M的位置来确定 而要确定此线段的位置 只需确定线段上任一点O 的位置和线段O M与固定坐标轴Ox间的夹角j即可 点O 的坐标和j角都是时间的函数 即 平面图形的运动方程可由两部分组成 一部分是平面图形按点O 的运动方程xO f1 t yO f2 t 的平移 没有转动 另一部分是绕O 点转角为j f3 t 的转动 9 1刚体平面运动概述和运动分解 平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释 以沿直线轨道滚动的车轮为例 取车厢为动参考体 以轮心点O 为原点取动参考系O x y 则车厢的平动是牵连运动 车轮绕平动参考系原点O 的转动是相对运动 二者的合成就是车轮的平面运动 绝对运动 单独轮子作平面运动时 可在轮心O 处固连一个平动参考系O x y 同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动 y x O y x O 9 1刚体平面运动概述和运动分解 对于任意的平面运动 可在平面图形上任取一点O 称为基点 在这一点假想地安上一个平移参考系O x y 平面图形运动时 动坐标轴方向始终保持不变 可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy 于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和张基点转动这两部分运动的合成 y x O y x O O M 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和 这就是平面运动的速度合成法或称基点法 1 基点法 已知O 点的速度及平面图形转动的角速度 求M点的速度 9 2求平面图形内各点速度的基点法 例1椭圆规机构如图 已知连杆AB的长度l 20cm 滑块A的速度vA 10cm s 求连杆与水平方向夹角为30 时 滑块B和连杆中点M的速度 解 AB作平面运动 以A为基点 分析B点的速度 由图中几何关系得 方向如图所示 A vA B wAB 30 M 30 以A为基点 则M点的速度为 将各矢量投影到坐标轴上得 解之得 A vA B wAB 30 M x y 例2行星轮系机构如图 大齿轮I固定 半径为r1 行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动 半径为r2 系杆OA角速度为wO 求轮II的角速度wII及其上B C两点的速度 解 行星齿轮II作平面运动 求得A点的速度为 wO O D A C B I II 以A为基点 分析两轮接触点D的速度 由于齿轮I固定不动 接触点D不滑动 显然vD 0 因而有vDA vA wO r1 r2 方向与vA相反 vDA为点D相对基点A的速度 应有vDA wII DA 所以 wO O D A C B I II 以A为基点 分析点B的速度 vBA与vA垂直且相等 点B的速度 以A为基点 分析点C的速度 vCA与vA方向一致且相等 点C的速度 同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等 这就是速度投影定理 2 速度投影定理 由于vBA垂直于AB 因此 vBA AB 0 于是 将等式两边同时向AB方向投影 9 2求平面图形内各点速度的基点法 A B 例3用速度投影定理解例1 解 由速度投影定理得 解得 A vA B 30 定理 一般情况 在每一瞬时 平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点 9 3求平面图形内各点速度的瞬心法 设有一个平面图形S角速度为w 图形上点A的速度为vA 如图 在vA的垂线上取一点C 由vA到AC的转向与图形的转向一致 有 如果取AC vA w 则 该点称为瞬时速度中心 或简称为速度瞬心 图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比 速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线 指向图形转动的一方 9 3求平面图形内各点速度的瞬心法 w C 确定速度瞬心位置的方法有下列几种 1 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动 图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心 如车轮在地面上作无滑动的滚动时 9 3求平面图形内各点速度的瞬心法 2 已知图形内任意两点A和B的速度的方向 速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上 9 3求平面图形内各点速度的瞬心法 3 已知图形上两点A和B的速度相互平行 并且速度的方向垂直于两点的连线AB 则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上 9 3求平面图形内各点速度的瞬心法 4 某瞬时 图形上A B两点的速度相等 如图所示 图形的速度瞬心在无限远处 瞬时平动 此时物体上各点速度相同 但加速度不一定相等 9 3求平面图形内各点速度的瞬心法 另外注意 瞬心的位置是随时间在不断改变的 它只是在某瞬时的速度为零 加速度并不为零 确定瞬心的一般方法 例4用速度瞬心法解例1 解 AB作平面运动 A vA B 30 C M 瞬心在C点 例5已知轮子在地面上作纯滚动 轮心的速度为v 半径为r 求轮子上A1 A2 A3和A4点的速度 A3 w A2 A4 A1 解 很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1 各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向 转向与w相同 由此可见车轮顶点的速度最快 最下面点的速度为零 O 45 90 90 O1 O B A D 例6已知四连杆机构中O1B l AB 3l 2 AD DB OA以w绕O轴转动 求 1 AB杆的角速度 2 B和D点的速度 w 解 AB作平面运动 OA和O1B都作定轴转动 C点是AB杆作平面运动的速度瞬心 C 例7直杆AB与圆柱O相切于D点 杆的A端以匀速向前滑动 圆柱半径 圆柱与地面 圆柱与直杆之间均无滑动 如图 求时圆柱的角速度 解一 圆柱作平面运动 其瞬心在点 设其角速度为 AB圆柱作平面运动 其瞬心在点 则 即 亦即 故 例8图示小型精压机的传动机构 OA O1B r 0 1m EB BD AD l 0 4m 在图示瞬时OA AD O1B ED O1D在水平位置 OD和EF在铅直位置 已知曲柄OA的转速n 120rpm 求此时压头F的速度 O A D O1 B E F n 例9图示机构 已知曲柄OA的角速度为w OA AB BO1 O1C r 角a b 60 求滑块C的速度 解 AB和BC作平面运动 其瞬心分别为C1和C2点 则 w a b O A B O1 C C1 C2 解 连杆AB作平面运动 瞬心在C1点 则 例10曲柄肘杆式压床如图 已知曲柄OA长r以匀角速度w转动 AB BC BD l 当曲柄与水平线成30 角时 连杆AB处于水平位置 而肘杆DB与铅垂线也成30 角 试求图示位置时 杆AB BC的角速度以及冲头C的速度 A O B D C 30 30 w C1 C2 连杆BC作平面运动 瞬心在C2点 则 例11曲柄连杆机构中 在连杆AB上固连一块三角板ABD 如图所示 机构由曲柄O1A带动 已知曲柄的角速度为w 2rad s 曲柄O1A 0 1m 水平距离O1O2 0 05m AD 0 05m 当O1A O1O2时 AB O1O2 且AD与AO1在同一直线上 j 30 试求三角板ABD的角速度和点D的速度 解 运动分析 O1A和O2B作定轴转动 ABD作平面运动 其速度瞬心在点C O1 O2 A B D j C w2 wABD w 例12图示蒸汽机传动机构中 已知 活塞的速度为v O1A1 a1 O2A2 a2 CB1 b1 CB2 b2 齿轮半径分别为r1和r2 且有a1b2r2 a2b1r1 当杆EC水平 杆B1B2铅直 A1 A2和O1 O2都在一条铅直线上时 求齿轮O1的角速度 vA1 vA2 w1 w2 解 设齿轮O1转动方向为逆时针 则齿轮O2的转动方向为顺时针 因A1 A2和O1 O2在一条铅直线上 所以A1 A2点的速度均为水平方向 如图所示 因B1B2作平面运动 vC B1B2 由速度投影定理知vB1 vB1也应垂直于B1B2而沿水平方向 A1B1作平面运动 vA1和vB1都沿水平方向 所以A1B1作瞬时平动 同理A2B2也作瞬时平动 所以 vB1 vB2 vC vA1 vB1 vB2 vA2 vC w1 w2 B1B2杆的速度分布如图所示 速度瞬心在O点 设OC长度为x 则 O w 因齿轮O1 O2相互啮合 w1r1 w2r2 所以 当a1b2r2 a2b1r1时 齿轮O1的角速度为逆时针方向 例13图示放大机构中 杆I和II分别以速度v1和v2沿箭头方向运动 其位移分别以x和y表示 如杆II与杆III平行 其间距离为a 求杆III的速度和滑道 的角速度 I II III IV B C y v1 a x A v2 解 I II III杆作平动 IV杆作平面运动 滑块B和滑块C与滑道之间有相对运动 如果取滑道IV作为动参考体分析滑块B和滑块C的运动 则牵连运动均为平面运动 vB ve1 vA vA vBA va1 vr1 a h B点的运动分析 取滑块B为动点 滑道 作为动参考体 绝对运动是滑块B随I杆的运动 速度为va1 v1 相对运动是滑块B在 杆滑道中的运动 速度为vr1 牵连运动是 杆的平面运动 其速度可用基点法分析得到 取A为基点 分析 杆上B点的速度 随基点平动的速度是 杆的运动速度v2 相对于基点转动的速度方向垂直于 杆 大小未知 由这两个速度合成得到 杆上B点的速度vB 此速度即是前面复合运动中的牵连速度ve1 如图所示 向h方向投影得 vC ve2 vA vA vCA va2 vr2 a I II III B C y v1 a x A v2 C点运动分析 取滑块C为动点 滑道 作为动参考体 绝对运动是滑块C随 杆的运动 速度为va2 vIII 大小待求 相对运动是滑块C在 杆滑道中的运动 速度为vr2 牵连运动是 杆的平面运动 其速度可用基点法分析得到 取A为基点 分析 杆上C点的速度 随基点平动的速度是 杆的运动速度v2 相对于基点转动的速度vCA方向垂直于 杆 大小为vCA w AC 由这两个速度合成得到 杆上C点的速度vC 此速度即是前面复合运动中的牵连速度ve2 如图所示 h vC ve2 A vA vA vCA va2 vIII vr2 C a 向h方向投影得 因为 所以 h 如图所示 由牵连运动为平动的加速度合成定理 有 而 其中 故 由于牵连运动为平动 所以ae aA 于是有 9 4用基点法求平面图形内各点的加速度 B A 即 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 这就是平面运动的加速度合成法 称为基点法 B A aA aB aA aBA w a 9 4用基点法求平面图形内各点的加速度 解 如图所示 由于此式对任意时间都成立 故两边对时间求导有 由此可得 再对时间求导有 由此可得 例14求圆轮在地面上作纯滚动时的角速度w和角加速度a w j O O r M M s vO vO a 例15车轮在地面上作纯滚动 已知轮心O在图示瞬时的速度为vO 加速度为aO 车轮半径为r 如图 试求轮缘与地面接触点C的加速度 解 车轮作平面运动 取O点为基点 则C点的加速度为 取如图的投影轴 将各矢量投影到投影轴上得 方向由C点指向O点 a w aO C O vO aO 例16平面四连杆机构中 曲柄OA长r 连杆AB长l 4r 当曲柄和连杆成一直线时 此时曲柄的角速度为w 角加速度为a 试求摇杆O1B的角速度和角加速度的大小及方向 解 AB作平面运动 由题设条件知 AB的速度瞬心在B点 也就是说 vB 0 故 O O1 A B w a 30 30 vA 取A为基点分析B点的加速度如图所示 其中 O O1 A B 将加速度向h轴投影得 O O1 A B h 30 A B C D O 100 100 vC vB 45 45 例17平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示 如果杆AB以等角速度w 1rad s绕A轴转动 求C点的加速度 解 AB和CD作定轴转动 BC作平面运动 其B C两点的运动轨迹已知为圆周 由此可知vB和vC的方向 分别作vB和vC两个速度矢量的垂线得交点O即为该瞬时BC的速度瞬心 由几何关系知 wBC w A B C D aB 45 aB 80 54 取B为基点分析C点的加速度 有 将C点的加速度向BC方向投影得 aC 负值表明实际方向与假设方向相反 例18图示曲柄连杆机构中 已知曲柄OA长0 2m 连杆AB长1m OA以匀角速度w 10rad s绕O轴转动 求图示位置滑块B的加速度和AB杆的角加速度 解 AB作平面运动 瞬心在C点 则 O w wAB 45 A 45 B C AB作平面运动 以A点为基点 则B点的加速度为 其中 O 45 A B x 将B点加速度投影到h轴上得 h 将B点加速度投影到x轴上得 解 薄板作平面运动 取B为基点分析A点的加速度如图所示 例19图示正方形薄板边长20mm 在其平面内运动 某瞬时顶点A和B的加速度分别为和 方向如图 求薄板的角速度和角加速度 D C B A 其中 将等式两边分别向x和y方向投影得 D C B A 再取B为基点分析C点的加速度如图所示 将加速度分别向x和y方向投影得 其中 方向与CD成45 夹角指向右下方 D C B A 例20半径r 1m的轮子 沿水平直线轨道纯滚动 轮心具有匀