从笛卡尔到庞加莱.doc

。从笛卡尔到庞加莱-法国数学的人文传统为何法国数学大师层出不穷？事实上数学逻辑性、严谨性，法国都做的很好。德国数学家高斯的一本传记中写到，“有一个异乡人在巴黎问当地人，为何贵国历史上有那么多伟大的数学家？巴黎人回答，我们最优秀的人学习数学。然后异乡人又找到一位法国数学家，说我刚刚问的是观众，那么贵国为什么有这么多伟大的数学家呢？数学家说，因为数学是我们最优秀的传统文化中的一种。”这最后一句话他说出了意思是说：它是传统文化的一部分，而且是最优秀的一部分。1、笛卡尔以前的法国笛卡尔以前的中世纪结束以前1000年，中世纪结束到文艺复兴，数学在欧洲特别是西欧没有什么发展，当时的数学成就主要是一些文明古国取得的。例如埃及、米索不达米亚、中国、印度和阿拉伯，还有希腊。可以肯定的是，如果没有希腊人的贡献，数学就不会是现在这样丰富多彩。中世纪最著名的数学家应该是意大利比萨人斐波那契，兔子问题到现在还是我们很多数学家研究的问题，每年由该问题的研究还培养了很多的硕士博士。后来发生改变，主要是发生了中世纪欧洲的一个黑死病。有时候疾病不仅仅改变历史进程，而且也可以改变世界文明的进程。那个黑死病比后来的很多疾病都严重的多，欧洲1/4的人口都会灭掉了，可想而知的可怕。但也有国家因此而得利，例如法兰西，后来他们的数学就崛起了。在此期间，法国出现了这么一名数学家，一名叫格尔松尼迪斯，他的另一个名字叫列维，他即是数学家，又是哲学家、天文学家，是圣经的注释者，还有一本书，数经，并且在另一本书数的和谐（1343）里，他证明了8和9是唯一对2和3之幂的相邻自然数。（然后过了五六百年，在19世纪中叶的时候，另外一个数学家叫做卡塔兰他就猜测这个8、9也是唯一一对任意幂数的相邻自然数。因为维列他只限制x、y是2或者3，x的a次方y的b次方=1，a，b1，2002年，罗马尼亚数学家米哈伊内斯库证明了这个猜想，他利用了分圆域和伽罗瓦模的理论。可能是继费尔马大定律证明以后算是比较引起轰动的结果。他的证明历史非常悠久，这个罗马尼亚人，他后来因为证明这个猜想了以后，他就被聘请到格廷根大学当教授。）同一个世纪的一个法国数学家，叫奥雷斯姆，他是一个天主教会的主教，这是他的职业，同时又是亚里士多德著作的法文翻译，也是中世纪最伟大经济学家（货币制度，硬币）著有货币论，至今仍有读者，他把硬币做了一下定性的描述，其中最著名的一句话，货币属于人民，不属于帝王，他在这么早的年代就提出了。他在数学方面，一共写了五部著作，文笔非常漂亮，就像他的译文一样文笔优美，为法国修辞和法国数学散文作出了贡献。在数学里面的贡献，由于时代比较早，所以他也只能是比较初等的，例如第一个使用了分数指数，第一个用坐标确定了点的位置，这预示了现代坐标几何学。这个后来影响了他的同胞笛卡尔，这是他的数学成就，因为古代人不肯呢过做出非常多的、非常大的项目。15世纪意大利已经开始文艺复兴，但是法国数学进展仍然不大，这个世纪最杰出的的数学家叫丘凯，他是个医生，业余研究数学。丘凯率先考虑了负整数的指数，他的名著算术三编讨论了这样三个问题，有理数的计算、无理数的计算和方程论。此外，他还提出了均值法则。这是初中数学课本里面有的，“如果A、B、C、D是正数，则(A+B)/(C+D)处于A/C与B/D之间。”这是一个非常容易证明的一个不等式，将其交叉相乘就能证明，但是对于那个年代还是一个发现。到了16世纪，也有一个伟大的法国数学学家，叫做韦达，因为中学里面有一个韦达定理，他出生在法国中部的小城普瓦图(笛卡尔后来在该城市上大学)。韦达是律师和议员，却像后来的费尔马一样，把绝大部分闲暇奉献给了数学。他的最大贡献就是把数学符号化，然后才为后来17世纪，一个天才世纪的到来开辟了道路。在初等数学里面他发现了半角公式，这个是高中里面的一个内容，符号化最突出的贡献就是他倡导：辅音字母表示已知数，元音字母表示未知数，但是比较麻烦，我们在用这个代数符号时还得先想想这个字母是不是辅音字母，后来由笛卡尔优化建议，拉丁字母a、b、c、表示已知数，x、y、z表示未知数，这样大家一看见就知道了，一看就明白。从上面四个法国当时最杰出的的数学家我们可以看出当时法国的数学水平已经比较接近于世界水平了，但是于意大利人相比尚有差距。这是笛卡尔以前的法国数学的基本情况。2、笛卡尔和天才的世纪（17世纪）笛卡尔以前，意大利人在世界文明的进程中走在最前列，他们在数学和科学领域处于领先地位，塔尔塔利亚和卡尔达诺(医生)及助手费拉里在3次和4次方程的解法研究上取得了突破，他们3人的成就无人能及。我们都知道，一次二次方程根的解法四大文明古国都自己独立推导了，但是3次方程就比较麻烦了。欧玛尔海亚姆的时候，曾经对一些特殊的3次方程用几何的方法给出解答，但是尚无能力对一般的3次4次方程都能给出解答。最后由16世纪三个意大利人共同完成，但最后为了这个结论是谁提出的相互闹了矛盾。但是从成就上来讲，还是伽利略比较伟大一点。我们都知道伽利略是一个伟大的物理学家和天文学家，但其实他的职业是一个数学教授，在意大利的两所大学：比萨大学和帕多瓦大学先后任教，就凭他的数学天分建立起了自由落体定律，并证明了哥白尼的日心说，但是因为古人，托勒密的理论是地球中心理论，教会也是以此思想为中心建立起来的，因此迫害他说你这个不对，最后他屈打成招，被迫认错，说这个理论不对。由于这个认错，导致意大利一两个世纪以来的整个数学、科学就停滞不前了。这个事情加上前面塔尔塔利亚他们相互争吵，这个时期，法国的数学成绩就赶了上去。在这个时期，法国诞生了多位杰出的数学家，比如德扎尔格、笛卡尔、费尔马、帕斯卡，法国数学就全面超越了意大利。后来19世纪的英国哲学家怀特海就称17世纪是天才世纪。这里面数学方面是以法国人的贡献最多。其中德扎尔格建立了摄影几何学(著有：德扎尔格定理，几何图案曾经在20世纪的时候在巴黎做成一场时装秀)，但是他跟比他小三岁的笛卡尔比起来就没法比了。和大多数天才人物一样，笛卡尔也出生在小地方。小时候母亲病故，身体羸弱，幸亏由人文修养的校长看出这个孩子心智和身体上的差异，要他先增强体质。校长告诉笛卡尔，除非想去教室和别的同学们在一起，否则不必离开自己的房间。否则按照这个时候的上课强度，他可能很早就不行了。这是校长给他的特权。 因为小时候在教会学校养成的习惯，笛卡尔的习惯就是睡懒觉，然后在床上沉思冥想，有的时候是数学问题，有的是哲学问题，但是他为了去看世界，后来就去当兵，参加荷兰的军队(荷兰有所大学，叫“笛卡尔学院”，每个人都要带笛卡尔的假发拍毕业照，并写上，我思故我在，很有意思的一段话，即使笛卡尔重来不相信这句话)，有一次驻扎在德国的一个叫乌尔姆的城市，有一天他在睡觉，看见一只苍蝇在天花板上爬来爬去，就在想苍蝇的位置，后来就发明了直角坐标系，进而建立了解析几何。（乌尔姆是个神奇的城市，爱因斯坦就出生在这个地方。）简单讲笛卡尔的数学成就，正多面体的欧拉-笛卡尔公式：V-E+F=2，这个后来也是拓扑学一个重要的出发点，并且笛卡尔在数论领域也花费了不少精力和时间，数论中很多美得东西吸引着他，例如毕达哥拉斯提出的完美数和亲和数问题，哥德巴赫猜想(笛卡尔提出该猜想时间比哥德巴赫早。)这些都是非常古老的问题，他都有讨论过。笛卡尔除了在数学方面，他在其他的物理学等都有贡献，其中最有名的其他方面贡献应该是哲学，他被认为近代哲学之父，这个头衔不是法国人给的，是德国哲学家黑格尔给的。他最主要的理论就是二元论。(毕达哥拉斯当时提出的一元论，就是万物皆由某一种元素组成的.)主要命题就是“我思，故我在”，原来都是我一个人，然后，我思，那么才存在，就是说，除了你，还有思想，一个思想加上肉体，这样两样东西构成了世界，故二元论。还有他的怀疑主义也非常出名，在方法论上，笛卡尔是彻头彻尾的怀疑主义者。对他来说，“怀疑是一种必要的手段，是哲学和心理学方法中的一个工具。”对他来说，不管是科学还是哲学，思维上有所突破，你首先要怀疑前人的东西。这是一个必要的阶段，而且是哲学和心理学中一个方法和一个工具，他还说：“怀疑是一门艺术，它使我们脱离感觉的影响获得解放。”牛顿的万有引力就受到了笛卡尔的“怀疑主义”的影响。另外他又认为亚里士多德的三段论已经过时了，笛卡尔认为这个三段论只能推导已知结论，不能帮助你发现一些未知的东西。笛卡尔同一个时期，比他晚那么十几岁二十几岁的有这么两个人非常伟大的数学家，费尔马和帕斯卡。费尔马是一个业余的数学家，被认为是业余数学家之王，当时这个方程没有整数解，这个大家都知道，在1995年的时候，被英国数学家怀尔斯证明了。这是非常轰动的，被认为20世纪最伟大的证明，为了证明这个理论，又发展出了代数数论理来，贡献非常大。这个定理非常有意义，把它稍微变动下，我们发现就出现了一些新的问题，A、B、C、D都是正整数，且,，这个方程式也是费尔马大定理的另一种形式。帕斯卡，它是概率论的奠基人，跟费尔马一起，通过他们的通讯，在射影几何学里面有一个非常重要的定理，叫帕斯卡定理，同时他们又发现了旋轮线，这个旋轮线在造拱桥的时候是非常有意思的。一个轮子，比如说自行车往前走，移动的时候，轮子上固定的那个点的它产生的那个轨迹就叫旋轮线，这个时候造拱桥的时候很多就模范这个旋轮线来造的，这个比较牢固。然后计算机方面他是第一个机械计算机的发明者,是为了减轻他父亲做税务员的负担，虽然只是加法，现代计算机所用的帕斯卡语言就是他发明。另外还有在流体力学里面有帕斯卡定律，也是帕斯卡发现的，在大气力学里面有个压强单位叫帕、千帕也是帕斯卡所定义使用的，还有一个贡献，帕斯卡在群众的出行上建议成立公共马车、公共马车服务公司，奠定现代公共交通的主要思想路线。在中国叫杨辉三角，国外叫做帕斯卡三角，也是他独立发现的。另外在人文和宗教领域都有很大的贡献，他的思想录被公认为所有法国文学加在一起，他也是一个珍品，在宗教里面他通过宣扬心灵，而不是理性来体验上帝的教义，他建立的直觉主义原理对于后来卢俊、实用主义和存在主义哲学家都有非常广影响。帕斯卡继承了笛卡尔文理兼备的一个精神衣钵。还有一个共同之处，他们在成名以后，他的创造力依然是旺盛的。为什么从成名开始到去世，他们的创造力依然旺盛？其中一个非常重要的原因，笛卡尔的座右铭：“隐居的越深，生活的越好。”帕斯卡在思想录里的一句话：“几乎所有的灾难的发生都是因为我们没有老老实实地待在屋子里。”所以，他们两个人都比较谦逊，一直努力工作，所以一直到晚年，他们还很有创造性。3、从帕斯卡到庞加莱17世纪天才世纪过去以后，法国数学有半个世纪的沉寂。过了一段时间，数学大师就层出不穷，几乎每隔七、八年就有一位, 依次是：克雷罗、达朗贝尔、兰伯特、拉格朗日、拉普拉斯、勒 让德、蒙日、卡诺、傅立叶、泊松、柯西、蓬斯莱、伽罗瓦这些人你随便放到其他一些国家，都可能是这个国家最伟大的数学家，非常厉害。而法国人也是以此为傲,仅巴黎以数学家命名的街道、广场、车站 等就有百余处,巴黎二十个街区也是以阿拉伯数字命名,并以平面几何学中的双曲螺线为序排列. 达朗贝尔,他的数学主要是偏微分方程的开拓者,同时在人文领域是最早写出了动力学原理的著作,著名的百科全书,或科学、艺术和 工艺详解词典 的副主编(主编是哲学家狄德罗). 他还推崇机械工艺和体力劳动，孕育了资产阶级务实谋利的精神，位法国大革命做了舆论上的准备。拉格朗日，这是我们数学分析里面出现很多的一个人物，他对数学的贡献在于微积分、微分方程、变分法、数论、群论等等都有开创性的贡献，名字遍布各个领域，是拿破仑的亲密朋友,后者称他是“数学领域高耸的金字塔”, 并让他做上了参议员。可是中年以后,拉格朗日的经历与牛顿有着相似之处,即数学热情锐减,转向了形而上学的宗教思想史、语言学等的研究，正如他写给达朗贝尔的信中所说的,“我开始感觉到我的惰性一点点地增加,我不能说从现在起还能再干十年数学. 矿井已经挖得够深了,除非发现新的矿脉,否则就不得不抛弃它了. ”但他到晚年的时候，高斯出现了，德国人高斯完成了一部分伟大的事业,他有点后悔，原来数学还有这么多挖不尽的财宝. 拉普拉斯， 绰号叫法兰西的牛顿。在微分方程、概率论、测地学和天体力学领域都做出了杰出的贡献。与拉格朗日一样，他也是拿破仑的亲密朋友,做为一个政治上的机会主义分子, 他在法国大革命最动荡的日子里,无论哪个党派得势, 他都是不倒翁,学生拿破仑任命他为内政大臣，王朝复辟后效忠路易十八，又被封侯爵，并签署了流放拿破仑的法令，因此树起谄媚者形象。蒙日,在数学主要贡献主要在两方面，一个是画法几何的创立者(开拓了机械制图和机械工程) ,微分几何之父(最早用微积分学研究曲率,启发高斯, 进而黎曼, 发展出应用于相对论的黎曼几何学). 他又是擅长行政的，做过军事学院的教官和巴黎综合工业学校的首任校长。与拿破仑结为密友，与傅里叶一起去远征埃及，他们去大战，早上起来不谈论军事问题，而是谈一个科学问题。同事蒙日又有很高的人文修养，后者被拿破仑派往意大利接受作为“战争赔偿”的艺术品,本来他可以把所有的珍宝艺术品全部搬到法国来，但是他觉得不应该把最好的东西全部搬过来，只搬了一小部分，还有大部分留在了罗马和佛罗伦萨，要不然今天的梵蒂冈博物馆和佛罗伦萨乌菲茨美术馆里的许多价值连城的藏画都不会留在意大利了.柯西,数学分析里面绝不可少的人物，这个人也有很高的人文修养，拿破仑对他的评价也很高，称它为数学领域高耸的金字塔。他是19世纪前半个世纪最杰出的分析学家，同时又非常有文学天赋和诗才，在读书的时候曾获拉丁诗比赛的第一名，其实他小时候数学就很好，但是身体也不是太强壮.柯西一家避居乡下时和拉普拉斯做了邻居, 后来父亲出任参议院的秘书,因此小柯西又有机会 得以见到拉格朗日,他赢弱的身体和聪明使得拉格朗日给了他父亲这样的忠告,不要让他太早的研究数学，因为这个人太聪明，然后身体又不够好，可能会让他冲昏头脑。因此他的父亲就让他学了很多文科的东西，到了成年以后才让他投身于数学研究，这个路子后来证明是对的，柯西成为那个时代仅次于高斯的数学家,他在数学分析、实变和复 变函数论、微分方程、线性代数、概率论和数学物理方面都有杰出的贡献.如果一开始就拼命读数学，很可能像后来的伽罗瓦那样。伽罗瓦,他是一个非常出色的天才，他 21岁那年死于情人决斗,此前还两次作为政治犯被捕入狱,却是十九世纪最伟大的数学家之一. 在决斗前夜他以致 友人书信的方式写下自己的数学发现,包含了所谓的伽罗华理论, 这个理论奠定了群论的基础.群的概念不仅是抽象代数在20世纪兴起的重要因素，在几何学中也起到了立法分类的作用，同时推动了量子物理。伽罗瓦之所以会卷入愚蠢的决斗,跟他父亲(一个小镇镇长)含冤自杀,跟他本人两次投考巴黎综合工科学校未果有关,后来上了大学以后又因参与政治活动被学校开出学院,有创见的论文被科学院忽视等事件有关, 也应该说他从小偏科,这是主要的原因，否则的话不至于考不上这个他想去的大学。在伽罗瓦去世二十多年以后,法国才诞生了一位大数学家,他就是庞加莱,他的才华和成就横跨了科学与人文两大领域。庞加莱被认为是通晓全部数学与应用数学知识的最后一个人,他涉足的研究领域惊人地广泛, 并不断使之丰富。他还是数学的天才普及者,其平装本的通俗读物被人们争相抢购,并被译成多种文字,在不同的国度和阶层广泛传播,就如同后来的英国理论物理学家、时间简史 的作者斯蒂芬霍金那样。庞加莱出生在法国东北部小城南锡,父亲是一位著名的医生. 庞加莱从小接受知识极为迅速，不幸5岁那年患白喉症，从此体弱多病，不能顺畅地用口语表达思想。但他依然喜欢游戏和跳舞，读书的速度十分惊人，并且能准确持久地记住读过的内容。庞加莱擅长的科目包括文学、历史、地理、自然史 和博物学,他对数学的兴趣来得比较晚,大约开始于15岁,不过很快显露出非凡的才华.后来因为数学竞赛考得比较好，两次获得了法国的第一名，就被保送到巴黎综合工科学校(就是伽罗瓦两次报考未被录取的大学) ,开始了他的数学生涯。庞加莱他从未在一个领域作过久的逗留, 一位朋友称他是“征服者,而不是殖民者”。整个数学都是庞加莱的领域,但他对拓扑学的贡献无疑最为重要。现在我们知道千禧年的“七大难题”里面其中之一就是庞加莱猜想(拓扑学的一个贡献)：任意三维的单连通闭流行必与三维球面同胚。而这是第一个被证明的那个。为了这个证明，颁发了三枚菲尔兹奖，这是非常少见的。在数学以外,庞加莱的贡献也难以胜数: 相对论、光 学、电学、电报、弹性力学、热力学、量子论、势论、毛细现象、宇宙起源,等等. 庞加莱的哲学著作包括科学与假设、科学的价值 和科学方法论, 他是唯心主义约定论哲学的代表人物,认为公理可以在一切可能的约定中进行选择,但需以实验事实为依据, 避开一切矛盾。 同 时,他反对无穷集合的概念,反对把自然数归结为集合论,认为数学最基本的直观是自然数,这使他成为直觉主义的先驱者之一。 正是由于这些成就的取得才使他既当选为法兰西科学院的院士(后成为院长) ,又当选为法兰西学院的院士,他同时处身于科学和人文两座金字塔的塔尖。 庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性,相信“只有通过科学与艺术,文明才体现出价值”。总结法国人喜欢幻想并善于幻想，除了涌现出无数杰出的诗人、画家和音乐家之外，他们在数学方面提出了许多伟大的猜想，如费尔马定理、庞加莱猜想，均出自法国人的头脑，还有一个中国人熟知的哥德巴赫猜想。如果说工业革命的需要促使牛顿在英国发明了微积分，那么流血的法国大革命尤其是拿破仑的好战也使得法国成就了一批精通理论和应用的数学家。如上所述，那个时代的法国数学家几乎都与拿破仑交上了朋友，他们中的许多位曾在军事学院和准军事学院就读或任教。即便 年出生的柯西，也在离拿破仑滑铁卢之战尚由五年时，到英吉利海峡的港口瑟堡担任一名军事工程师，当时他身上只带四本书，拉普拉斯的天体力学、拉格朗日的解析函数论，一本天主教的教义和一册维吉尔的诗集。从笛卡尔、帕斯卡尔、柯西等人的成才例子和伽罗瓦的早夭也可以看出，身体和智力上的平衡、科学与人文素养的兼备是何等重要。或许是法兰西的面积狭小，数学家们抬头不见低头见，加上邻国之间的相互竞争，使得多数对数学感兴趣的人有着高起点，他们相互影响和勉励，形成了合理的良性循环，不仅如此，法国人研究数学的形式也别出心裁，例如著名的布尔巴基学派，几位在大学教授微积分的青年人觉得现行使用的教材已经过时，尤其是对多重积分等的处理不尽人意，几番探讨之后，他