2013年全国各地高考试题分类导数部分---文科部分.doc

2013年全国各地高考试题分类汇编(导数)1 (2013广东文)设函数 (1) 当时,求函数的单调区间；(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值【解析】：(1)当时 ,在上单调递增.（2）当时，其开口向上，对称轴 ，且过 -kk k（i）当，即时，在上单调递增，从而当时， 取得最小值 ,当时， 取得最大值.（ii）当，即时，令解得：,注意到,(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断) 的最小值,的最大值综上所述，当时，的最小值,最大值解法2（2）当时，对，都有，故故，而 ，所以 ，2（2013北京.文）已知函数(1)若曲线在点处与直线相切，求与的值；(2)若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围解：(1),因为曲线在点处与直线相切，所以故(2)于是当时，故单调递增当时，故单调递减所以当时，取得最小值，故当时，曲线与直线有两个不同交点故的取值范围是3(2013大纲版.文)（12分）已知函数(1)求当时,讨论的单调性;(1)若时,求的取值范围.解：(1)求当时, ，令或当时， ,单调递增，当时， ,单调递减，当时， ,单调递增；(2)由，可解得，当时，所以函数在单调递增，于是当时，综上可得，的取值范围是.4（13分）（2013福建）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值解：函数的定义域为，（1）当时，因而，所以曲线在点处的切线方程为（2）由知：当时，函数为上的增函数，函数无极值；当时，由，解得又当时，当时，从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值5（14分）（2013福建）已知函数(为自然对数的底数)(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；(2)求函数的极值；(3)当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值解：(1)由，得，又曲线在点处的切线平行于轴, (2) ，当时，函数为上的增函数，函数无极值；当时，由，解得又当时，当时，在上单调递减,在上单调递增,从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值 (3)当时，令则直线与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解假设，此时，又函数的图象连续不断，由零点存在定理可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故又时，知方程在上没有实数解，所以的最大值为.6. (本小题满分14分) (2013陕西.文)已知函数. () 求的反函数的图象上图象上点处的切线方程; () 证明: 曲线与曲线有唯一公共点. () 设, 比较与的大小, 并说明理由. 解().() 证明曲线与曲线有唯一公共点，过程如下。令则的导数且因此，当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以 在上单调递增,最多有一个零点所以，曲线与曲线只有唯一公共点.(证毕）() 设令则的导函数所以在上单调递增,且,因此在上单调递增,而所以在。因为当时,且所以7（本小题满分13分）(2013湖北.文)设，已知函数.（）当时，讨论函数的单调性；（）当时，称为、关于的加权平均数.（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为. 称为、的调和平均数，记为. 若，求的取值范围. 解：（）函数的定义域为，所以当时，函数在,上单调递增；当时，函数在,上单调递减（）（i）计算得，成等比数列,（ii）由（i）知,故由，得当时，函数在上单调递增这时，即的取值范围为；当时，函数在上单调递减.所以的取值范围为8. (2013江苏卷)（本小题满分16分）设函数，其中为实数.(1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；(2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.解：（1）, 由题意：对恒成立 即对恒成立在上有最小值时，恒成立，在无最值时，由题意,综上：的范围是：（2）在上是单调增函数 对恒成立即对恒成立令，则则有的零点个数即为与图像交点的个数令则易知在上单调递增，在上单调递减在时取到最大值当时，当时，图像如下 所以由图可知：时，有1个零点时，有2个零点时，有1个零点综上所述：或时，有1个零点时，有2个零点9（13分）（2013湖南.文）已知函数.（）求的单调区间；（）证明：当时，解：（I）易知函数的定义域为当时，；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（II）当时，由于;同理，当时，;当时，不妨设由（I）可知：下面证明：，即证此不等式等价于.令，则.当时，单调递减，即,而从而，.由于在上单调递增，10 (山东.文)(本小题满分12分)已知函数()设，求的单调区间() 设，且对于任意，。试比较与的大小解：（）由知又，故当时，若时，由得，恒成立，故函数的单调递减区间是；若，令可得，即函数在上是减函数，在上是增函数.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是当时，令由于，故有显然有，故在区间上，导数小于0，函数是减函数；在区间上，导数大于0，函数是增函数综上，当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是当，函数的单调递减区间是，单调递增区间是（II）由题意，函数在处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故整理得令，则由当时，函数单调递增；当时，函数单调递减因为故,即,即11（13分）（2013安徽）设函数，区间（）求的长度（注：区间的长度定义为）；（）给定常数，当时，求长度的最小值解：（）因为方程有两个实根,故的解集为因此区间，区间长度为；（）设，则令,由于，故当时，单调递增；当时，单调递减，因此当时，的最小值必定在,或处取得.而，故.因此当时，在区间上取得最小值，即长度的最小值为12.(2013全国卷.文)已知，函数 （）若，求曲线在点处的切线方程； （)若，求在闭区间上的最小值.解(略)13（本小题满分14分）(2013江西.文)设函数常数且.（1） 当时，求；（2） 若满足但，则称为的二阶有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点;（3） 对于（2）中，设,，记的面积为，求在区间上的最大值和最小值。 解：（1）当时，求，故（2） 当时，由，解得，因为，故不是函数的二阶周期点；当时，由，解得因为故是函数的二阶周期点；当时，由，解得，因为，故得不是函数的二阶周期点；当时，由，解得，因为，故是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，,（3）由（2）得,则，所以因为，有，所以（或令利用导数证明其符号为正亦可）在区间上是增函数，故在区间，上的最小值为，最大值为.14(2013大纲版.文)（本小题满分12分）已知函数（I）求时,讨论的单调性; （II）若时,求的取值范围.【解析】()当时， .令，得.当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（）由得. 当，时，所以在是增函数，于是当时，.综上，的取值范围是15 (本小题满分14分) (2013天津.文)设, 已知函数 () 证明在区间内单调递减, 在区间内单调递增; () 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. 解：（I）令，由于，从而当时，所以函数在区间内单调递减，由于，所以时；当时，即函数在区间内单调递减，在区间上单调递增综合及，可知：在区间内单调递减，在区间内单调递增；（II）证明：由（I）可知：在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增因为曲线在点处的切线相互平行，从而互不相等，且不妨，由可得，从而设，则由，所以，设，则，故故16（新课标.文）（12分）已知函数，曲线在点处切线方程为（）求的值（）讨论的单调性，并求的极大值解：（），因为曲线在点处切线方程为所以,（）由（）知，,令或时，,时，所以的单调增区间是，单调减区间是当时，函数取得极大值，极大值为17（新课标.文）（12分）己知函数（）求的极小值和极大值；（）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围解：（）令或令；令或;故函数在区间与上是减函数，在区间上是增函数所以是极小值点，极大值点，又故的极小值和极大值分别为.（II）设切点为，则切线方程为，令因为曲线的切线的斜率为负数，或,当时，当且仅当时取等号，当时，当且仅当时取等号，但是