2013年成人高考专升本高数(一)试题及答案.doc

2013 年成人高考专升本高数 一 模拟试题及答案解析年成人高考专升本高数 一 模拟试题及答案解析 一 选择题 每小题 2 分 共 60 分 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案 用铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 1 函数的最小正周期是 C 4 3sin xy A B C D 2 3 3 2 2 3 2 函数的反函数是 C x y8 A B 0 log3 2 xxy x y 8 C D 0 log 3 1 2 xxy 0 8 xy x 3 设则 D 10 1 7 为偶数当 为奇数 当 n n nxn A B 0lim n n x 7 10lim n n x C D 不存在 10 0 lim 7 为偶数 为奇数 n n xn n n n x lim 4 是存在的 C xf xx 0 lim xf xx 0 lim xf xx 0 lim A 充分条件但非必要条件 B 必要条件但非充分条件 C 充分必要条件 D 既不是充分条件也不是必要条件 5 若是无穷小 下面说法错误的是 C x A 是无穷小 B 是无穷小 2 xx2 C 是无穷小 D 是无穷小 0001 0 xx 6 下列极限中 值为 1 的是 C A B x x x sin 2 lim x x x sin 2 lim 0 C D x x x sin 2 lim 2 x x x sin 2 lim 7 A x xx x x sin 11 sinlim 0 A B C D 不存在1 10 解 所以0 1 sinlim 0 x x x 1sin 1 lim 0 x x x 1 10sin 11 sinlim 0 x xx x x 8 设函数具有 2012 阶导数 且 则 C xf xxf 2010 xf 2012 A B x2 1 x C D 2 4x x 2 3 3 2 x 9 设 则 D xgxf xf dx d 2 sin A B xxgsin2 xfx eef xxg2sin C D xg 2 sin xxg2sin sin 2 解 xf dx d 2 sin xxf 22 sinsin xxxfsin sin2sin 2 xxxfcos sin2sin 2 xxf2sinsin 2 xxg2sinsin 2 10 设 则 D xxysin 2 1 dy dx A B ycos21 xcos21 C D ycos2 2 xcos2 2 解 因为 所以x dx dy cos 2 1 1 dy dx cos2 2 cos 2 1 1 11 x x dx dy 11 曲线 在处的法线方程为 A cos 2sin tx ty 4 t A B C D 2 2 x1 y1 xy1 xy 12 点是曲线的拐点 则有 B 1 0cbxaxy 23 A B 1 3 1 cba1 0 cba为任意值 C D 1 cba为任意值 为任意值cba 0 1 13 函数的极值点的个数是 C 2 2x exxf A B C D 1234 14 若在点的邻域内有定义 且除去点外恒有 xfax ax 0 4 ax afxf 则以下结论正确的是 D A 在点的邻域内单调增加 B 在点的邻域内单调减少 xfa xfa C 为函数的极大值 D 为函数的极小值 af xf af xf 15 曲线与的交点个数为 D 4ln4 kkxyxxy 4 ln4 A B C D 1234 解 设 kxxxxf ln4ln4 4 0 x 则 1ln 44 ln 4 4 33 xx xx x x xf 令 得驻点 0 x f1 x 因为当时 故在单调减少 而当时 1 0 x 0 x f xf 1 0 x 1x 故在单调增加 所以为最小值 0 x f xf 1x kf 41 又 kxxxxf xx 44lnlnlimlim 3 00 故 0 11 4 4lnln 1 lim 1 lim 433 3 4 x k xxx x x x x xf xx kxxxxf xx 44lnlnlimlim 3 综合上述分析可画出的草图 易知交点个数为 2 xfy 16 设 则 A ttfcosln dt tf tf t A B Cttt sincosCttt cossin C D Cttt sincosCtt sin 17 B n n n n nn 222 1 2 1 1 1lnlim A B 2 1 2 ln xdx 2 1 ln2xdx C D 2 1 1ln2dxx 2 1 2 1lndxx 解 n n n n nn 222 1 2 1 1 1lnlim nn n nn n 1 1ln 2 1ln 1 1ln lim2 nn i n i n 1 1ln lim2 1 1 0 1ln2dxx 令 xt 1 2 1 ln2tdt 2 1 ln2xdx 18 已知 则 C 3 1 2 xdttf x dxxf 1 0 2 A B C D 1234 19 设 则 C dxea x 1 0 2 dxeb x 1 0 1 2 A B C D 无法比较 ba ba ba 20 已知 则 B 2 sin 0 dx x x 0 2sin dx x x A B C D 0 2 4 解 xtdx x x 2 2sin 0 0 2 1 2 sin dt t t 0 sin dt t t 2 2sin 0 dx x x 21 则 B ln 3yxez xy 2 1 dz A B dydxe 1 2 dyedxe112 22 C D dxe2 2 e 22 设为一阶线性非齐次微分方程的的两个特解 若 21 y y xQyxPy 使为该方程的解 为该方程对应齐次方程的解 则 21 yy 21 yy 通解为 A A B 2 1 2 1 2 1 2 1 C D 3 1 3 2 3 2 3 2 解 因为为方程 的解 故有 21 y y xQyxPy xQyxPy 11 及 xQyxPy 22 由于为 的解 所以将代入 得 21 yy 21 yy 11 yxPy xQyxPy 22 再将 代如 立得 于是有 xQxQ 1 又因为齐次方程的解 同理可得 21 yy 0 yxPy 0 联立可解得 2 1 2 1 23 平面和直线的位置关系是 C 0623 zyx tz ty tx 21 33 1 A 平行 B 直线在平面内 C 垂直 D 相交不垂直 24 设函数的全微分为则点 D yxfz ydyxdxdz 0 0 A 不是的连续点 B 不是的极值点 yxf yxf C 是的极大值点 D 是的极小值点 yxf yxf 解 由 可得 ydyxdxdz y y z x x z 令可得唯一驻点 0 0 y y z x x z 0 0 又 则1 2 2 x z A0 2 yx z B1 2 2 y z C 且 所以是的极小值点 0 2 BAC0 A 0 0 yxf 25 设区域 为上的正值连续函数 0 0 4 22 yxyxyxD xfD 为常数 则 D ba dxdy yfxf yfbxfa D A B C D ab ab 2 1 ba ba 2 1 解 对于题设条件中含有抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及 数值型 结果的选者题 用赋值法求解往往能收到奇效 其思想是 一般情况下正确 那么特殊情况下也必然正确 重积分或曲线积分中含抽象函数时 通常利用对称 性 轮换对称性等综合手段加以解决 本题中 取 立得 1 xf dxdy yfxf yfbxfa D 4 1 22 ba dxdy ba D ba 2 1 26 二元函数 则 A 22 4 yxyxyxf 2 2 A 是极大值点 B 是极小值点 C 是驻点但非极值点 D 不是驻点 27 设为连续函数 二次积分写成另外一种次序的二 yxf dyyxfdx x 2 0 2 0 次积分是 B A B dxyxfdy x x 2 0 2 dxyxfdy y y 2 0 2 2 C D dxyxfdy y 2 00 dxyxfdy y y 0 2 2 2 28 设 在上连续 则 yyxyxD2 22 yxf D dxdyxyf D dyyxfdxA x x 1 1 1 1 2 2 dyyxfdyB yy 1 0 2 0 2 2 drrfdC 0 sin2 0 2 cossin drrrfdD 0 sin2 0 2 cossin 解 选 D 29 下列级数条件收敛的是 B A 是常数 B 1 4 sin n n n 1 3 1 1 n n n C D 1 3 1 1 n n n n 11 1 nnn 30 已知的三个特解 则该方 xfyxQyxPy xx eyeyxy 2 321 程的通解为 xx exCexCA 2 21 xx eeCxCB 2 21 xexCxeCC xx 2 21 xx eCeCxD 2 21 解 根据二阶常系数线性微分方程解的性质知 及均是对应的齐次 x ex x ex 2 方程的解 故齐次通解为 所以原非齐次方程的通解 xx exCxeCY 2 21 是选 2 21 xexCxeCy xx C 二 填空题 每空 2 分 共 20 分 31 极限 x x x 1 sin2lim 22 2 解 x x x 1 sin2lim 22 2 1 1 sin2 lim 2 2 x x x 32 4 0 sinsinsinsin lim x xxx x 6 1 解 4 0 sinsinsinsin lim x xxx x 4 0 sinsinsin lim x xxx x 3 0 sinsinsin lim x xx x 2 0 3 cos sincoscos lim x xxx x 2 0 3 sincos1 coslim x x x x 2 0 3 sincos1 lim x x x 6 1 3 sin 2 1 lim 2 2 0 x x x 33 设 则 232 3 2 xx x y 1 8 y 2 3 1 8 8 9 解 11 2 122 12 1 2 1 122 3 232 3 xx xxxx x xx x y 11 122xxy 2 12121 22 xx 2 12121 22 xxy 2 33 2 1221221 xx 归纳可得 8 89 8 2 128212821 xxy 所以 2 3 1 8 2 821 3 8211 8 9 898 y 34 设是由 所确定的函数 则 xyy 0 1 2 dtex yx t 0 x dx dy 1 e 解 关于求导并注意到 得x xyy 011 2 dx dy e yx 当时 由 式求得 将 代入 可算得 0 x1 y0 x1 y1 0 e dx dy x 35 设 如果 且当时 xyy 1 1 dx y dxy 10 y x0 y 则 y x e 解 由 式得 ydx dx y 11 关于求导并注意到 得x xyy y ydx y 11 2 即 2 2 ydxy 故 即 ydxy dx dy y 分离变量 且两边积分得 或 x Cey x Cey 又根据条件及时 得 10 y x0 y x ey 36 dxxx 8 1 0 15 31 270 29 解 令 dxxx 8 1 0 15 31 dxxdxx 88 1 0 8 31 8 1 8 xt 令 即 dttt31 8 1 1 0 tu31 1 3 1 2 ut 270 29 3536 1 1 36 1 2 1 35 2 2 1 2 uu duuu 37 设是由方程 所确定的隐函数 则 yxzz 2 222 zyxzxy 1 0 1 y z2 解法一 令 2 222 zyxzxyzyxF 则 222 zyx x yzFx 222 zyx y xzFy 222 zyx z xyFz 故 所以 222 222 zyx z xy zyx y xz F F z z y y 2 1 0 1 y z 解法二 两边全微分 得 0222 2 1 222 zdzydyxdx zyx xydzxzdyyzdx 即 0 222 zdzydyxdxxydzxzdyyzdxzyx 将代入 得 1 0 1 0 2 dzdxdy 即 2dydxdz 所以 1 1 0 1 x z 2 1 0 1 y z 38 设为从点到点再到点的折线 则L 0 0O 0 1A 1 1B ydxyxxdy L 22 1 解 ydxyxxdy L 22 ydxyxxdy OA 22 ydxyxxdy AB 22 1 0 1 0 22 1 1 0 0dydxx 39 微分方程的通解为0 yyy 2 3 sin 2 3 cos 21 2 xCxCey x 解 一 对应的特征方程为 0 yyy 其特征根为 01 2 rrir 2 3 2 1 二 通解为 2 3 sin 2 3 cos 21 2 xCxCey x 40 幂级数 的收敛域为 n n n x n 12 4 2 0 2 2 2 解 一 记 则级数 化为12 xt n n n t n 0 2 4 2 记 4 2 2 n a n n 2 1 n 2 2 4 41 2 limlim 2 2 1 1 n n n n n n n na a 所以 级数 的收敛半径是 2 11 R 又当时 级数 化为收敛 又当时 级数 化为 2 1 t 0 2 4 1 n n n2 1 t 也收敛 所以级数 的收敛域是 0 2 4 1 n n 2 1 2 1 t 二 由 解得 故原级数的收敛域为 2 1 2 1 12x 4 3 4 1 x 4 3 4 1 1 如果 即时 则收敛 1 2 2 x x 2 x 1 12 2 n n n x 2 1 如果 即时 则发散 1 2 2 x x 2 x 1 12 2 n n n x 所以 2 R 3 又在端点处发散 2 x 1 1 2 1 n 所以 收敛域为 2 2 三 计算题 每小题 5 分 共 45 分 41 已知 求 5 13 2sin 1ln lim 0 x x x xf 2 0 lim x xf x 解 由 式得 13 2sin 1ln lim5 0 x x x xf 1 2sin lim 3ln 0 x x e x xf 3ln 2 lim 0 x x xf x lim 3ln2 1 2 0 x xf x 由 式即可算得 3 ln10lim 2 0 x xf x 42 设函数由参数方程确定 其中是微分方 xyy 2 0 1ln t duuy txx txx 程 在初始条件下的特解 求 02 x te dt dx 0 0 t x 2 2 dx yd 解 一 微分方程为可分离变量型 可转化为02 x te dt dx tdtdxe x 2 两边积分得 Ctetdtdxe xx 2 2 又将初始条件代入 得 因此0 0 t x1 C 2 1lnttx 二 22 2 2 1ln1 1 2 2 1ln tt t t tt dt dx dt dy dx dy 三 dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx yd1 2 2 2 22 1 2 1 1ln1 t t dt ttd 1ln 11 22 tt 43 设函数 其中具有二阶连续偏导数 求 2 sin 2 22 xxyyxfxzf 2 2 y z x z 解 一 xfxyffxxf x z 2cos2 2 321 2 二 所以 xffx y z sin 21 2 xffxxffx y z sin1sinsin1 22211211 2 2 2 44 计算反常积分 0 32 1 dx xx 解 111112 ln 2323233 x dxdxdxdxc xxxxxxx 所以 00 2 1 12222 lnlim lnlnlim lnln 3 233333 1 xx xx x dx xxxx x 23 ln1 lnln 32 45 求曲线在点的切线 0 6 222 zyx zyx 1 2 1 解 方程组两边关于求导 得 x 0 1 0222 dx dz dx dy dx dz z dx dy yx 将点代入 1 得 1 2 1 解之 有 0 1 0242 11 11 xx xx dx dz dx dy dx dz dx dy 1 0 11 xx dx dz dx dy 所以 切线向量为 1 0 1 s 故曲线在点的切线为 1 2 1 1 1 0 2 1 1 zyx 46 设函数在正半轴上有连续导数且若 xf 0 x x f 2 1 f 在右半平面内沿任意闭合光滑曲线 都有l 04 3 dyxxfydxx l 求函数 xf 解 都是右半平面上的连续函数 由于在右半平 yxyxP 3 4 xxfyxQ 面内沿任意闭合光滑曲线 都有l 04 3 dyxxfydxx l 故有 x Q y P 即 xf xxfx 3 4 化简 得 2 4 1 xxf x xf 1 1 为一阶线性微分方程 其通解为 cexexf dx x dx x 1 2 1 4 cdxx x cexe xx 3ln2ln 4 1 4 11 34 x cxcx x 2 代入条件 得 21 f 1 c 故 1 3 x xxf 47 求幂级数的和函数 1 1 1 n n x n n 解 一 记 则 1 n n an 2 1 n 故收敛半径为 收敛域为0 2 1 limlim 2 1 nn n a a n n n n R 二 记 1 1 1 n n x n n xs x 则 1 1 1 n n x n n xs 1 1 1 11 n n x n n 1 1 1 n n x n 1 1 1 1 n n x n n n x nx 1 11 1 1 2 1 11 n n x nx n n x nx 1 11 n n x nx 2 2 11 1 11 0 n n x nx xx nx n n 1 11 0 2 1 1 x e x 0 1 1 1 22 x x exe xe x xx x 又 2 00 1 limlim0 x exe xss xx xx 2 1 2 lim 0 x x e 所以 0 2 1 0 1 2 x x x xxe xS x 解法二 记 1 1 1 n n x n n xs x n n x x n dxxs 1 0 1 1 1 1 1 11 n n x nx 2 1 n n n x x xe x x 1 1 所以 2 111 x xeex x xe xs xxx 2 1 x exe xx 48 计算二重积分是第一象限中由直线和曲线所围DdxdyeI D x 2 xy 3 xy 成封闭区域 解 因为二重积分的被积函数 它适宜于 先对 后对 2 x eyxf yx 故可用不等式表示为于是D 1 0 3 x xyx D dxexxdyedxdxdyeI x x x x D x 2 3 221 0 3 1 0 dxex x2 1 0 dxex x2 1 0 3 2 1 0 2 2 1 xde x 21 0 2 2 1 x edx 2 1 0 1 0 2 1 0 222 2 1 2 1 xdeexe xxx 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 0 2 e eeeeee x 49 求方程 的积分曲线 使其在点处与直线相切 0 yy 0 0 xy 解 方程 的特征方程为 解之得 故方程 的通解01 2 r1 1 21 rr 为 xx eCeCy 21 xx eCeCy 21 由题意知有 将条件分别代入 有 10 00 yy 10 00 yy 解得 1 0 21 21 CC CC 2 1 2 1 2 1 C C 所以 2 xx ee y 四 应用题 每小题 8 分 共 16 分 50 设三角形的边长分别为 其面积为 试求该三角形内一点到三边距cba S 离之乘积的最大值 解 任取三角形内一点 设其距三边的距离分别为 则有Pzyx 2 2 1 2 1 2 1 SczbyaxSczbyax 问题转化成