2019-2020学年第一学期高三期末教学质量检测试数学试卷—附答案

高三数学试题卷 共四页 第 1 页 第第一一学学期期期期末末调调研研测测试试卷卷 高高三三数数学学 注注意意事事项项 1 本科目考试分试题卷和答题卷 考生须在答题纸上作答 2 本试卷分为第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 4 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第第 卷卷 选选择择题题 共共 40 分分 一一 选选择择题题 本本大大题题共共 10 小小题题 每每小小题题 4 分分 共共 40 分分 在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中 只只 有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的 1 若集合 21 xxA 集合 224 x Bx 则AB A 1 2 B 1 2 C 0 2 D 0 2 2 已知复数 i 21 i 24 z i为虚数单位 则复数z的模 z A 1B 2C 2D 4 3 已知等差数列 n a的公差为2 若 134 aaa 成等比数列 则 2 a A 4 B 6 C 8 D 10 4 实数x y满足约束条件 1 0 0 y yx yx 则目标函数 1y z x 0 x的取值范围是 A 2 2 B 2 2 C 2 2 D 2 2 5 若R x 则 1 3 x 是 1x 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6 已知双曲线 2 2 1 164 y x 的左 右焦点分别为 12 FF 过 2 F的直线l交双曲线于QP 两 点 若PQ长为5 则 1 PQF 的周长是 A 13B 18C 21D 26 高三数学试题卷 共四页 第 2 页 7 已知离散型随机变量 满足二项分布且 3 Bp 则当p在 1 0内增大时 A D 减小B D 增大 C D 先减小后增大D D 先增大后减小 8 已知函数 2 2 0 1 0 xxx f x x x 若函数 g xf xxm 恰有三个零点 则实数m 的取值范围是 A 1 2 0 4 B 1 2 0 4 C 1 2 0 4 D 1 2 0 4 9 已知实数a b c 满足 222 21abc 则2abc 的最小值是 A 3 4 B 9 8 C 1 D 4 3 10 在三棱锥ABCS 中 ABC 为正三角形 设二面角CABS ABCS BCAS 的平面角的大小分别为 2 则下面结论正确的是 A 111 tantantan 的值可能是负数B 3 2 C D 111 tantantan 的值恒为正数 第第 卷卷 非选择题部分 共非选择题部分 共 110 分分 注意事项 用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上 做在试题卷上无效 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分 分 11 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体 积为 cm3 表面积为 cm2 高三数学试题卷 共四页 第 3 页 12 二项式 6 1 x x的展开式中常数项等于 有理项共有 项 13 已知直线 R mmyx2与椭圆 1 59 22 yx 相交于BA 两点 则AB的最小 值为 若 7 30 AB 则实数m的值是 14 设ABC 的三边a b c 所对的角分别为A B C 若 222 3bac 则 tan tan C B Atan的最大值是 15 现有 5 个不同编号的小球 其中黑色球 2 个 白色球 2 个 红色球 1 个 若将其随机排 成一列 则相同颜色的球都不相邻的概率是 16 对任意 1 ex 关于x的不等式 R axaaxaxxlnln 2 恒成立 则实数a的 取值范围是 17 正方形ABCD的边长为2 E M分别为 BC AB的中点 点P是以C为圆心 CE为 半径的圆上的动点 点N在正方形ABCD的边上运动 则PNPM 的最小值是 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 5 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本小题满分 14 分 已知函数 4 1 3 sinsin xxxf R x 求 3 f的值和 xf的最小正周期 设锐角ABC 的三边a b c 所对的角分别为A B C 且 4 1 2 A f 2a 求bc 的取值范围 高三数学试题卷 共四页 第 4 页 19 本小题满分 15 分 如图 三棱锥ABCD 中 ADCD 4 2ABBC BCAB 求证 ACBD 若二面角DACB 的大小为150 且4 7BD 时 求三角形DBC中线BM与面ABC所成角的正弦值 20 本小题满分 15 分 已知 n S是数列 n a的前n项和 已知1 1 a且 1 2 nn nSnS Nn 求数列 n a的通项公式 设 Nn n a b n n n 14 4 1 2 数列 n b的前n项和为 n P 若 1 1 2020 n P 求正整数n的最小值 21 本小题满分 15 分 已知点F是抛物线C 2 4yx 的焦点 直线l与抛物线C相切于点 00 P xy 0 0y 连接PF交抛物线于另一点A 过点P作l的垂线交抛物线C于另一点B 若1 0 y 求直线l的方程 求三角形PAB面积S的最小值 22 本小题满分 15 分 已知函数 xxxxf a lnlog 2 1 a 求证 f x在 1 上单调递增 若关于x的方程 1f xt 在区间 0上有三个零点 求实数t的值 若对任意的 aaxx 1 21 1e 21 xfxf恒成立 e为自然对数的底 数 求实数a的取值范围 A B C D M 1 第一学期期末高三调研测试 数数学学参参考考答答案案及及评评分分标标准准 一一 选选择择题题 12345678910 BCBCADDABD 二二 填填空空题题 11 56 2876 12 15 413 3 10 1 14 2 2 4 15 2 5 16 117 51 三三 解解答答题题 18 本小题满分 14 分 已知函数 4 1 3 sinsin xxxf R x 求 3 f的值和 xf的最小正周期 设锐角ABC 的三边a b c 所对的角分别为A B C 且 4 1 2 A f 2a 求bc 的取值范围 解 3311 32242 f 2 分 23331cos211111 sinsincossinsin cossin2 224224444 x f xxxxxxxx 1sin 2 26 x 5 分 所以 xf的最小正周期为 6 分 由 知 111 sinsin 226462 A fAA 因为A为ABC 的内角 所以 66 A 所 以 3 A 8 分 由 22444 sinsin sinsinsin32 333 sinsin 33 abcc bB cB ABC B 所以 32344 sinsinsincos4sin 3226 33 bcBBBBB 10 分 2 因为ABC 为锐角三角形 所以 0 2 62 2 0 32 B B CB 12 分 所以 2 633 B 所以 2 3 4 bc 14 分 19 本小题满分 15 分 如图 三棱锥ABCD 中 ADCD 4 2ABBC BCAB 求证 ACBD 若二面角DACB 的大小为150 且4 7BD 时 求三角形DBC中线BM与面ABC所成角的正弦值 证明 取AC中点O 连BO DO 因为 ADCD ABBC 所以 ACBO ACDO BO DO 平面BOD 且 BODOO 所以 AC平面BOD 又 BD平面BOD 所以 ACBD 6 分 由 知BOD 是二面角DACB 的平面角 所以150BOD 8 分 而由 AC平面BOD知平面BOD 平面ABC 故在平面BOD内作OzOB 则Oz 平面ABC 故 可如图建系 又易得4OB 故在BOD 中由余弦定理可得4 3OD 于是可得各点坐标为 04 04 0 00 4 0ABC 6 0 2 3D 所以 3 23M 所以 7 23BM 12 分 又平面ABC的一个法向量为 0 0 1n 13 分 所以BM与平面ABC所成角的正弦值 342 sin 28 56 n BM nBM 15 分 另解 由 知BOD 是二面角DACB 的平面角 所以150BOD 8 分 作DPBO 于P 则由 AC平面BOD知DP 平面ABC 且30DOP 又易得4OB 故在 BOD 中由余弦定理可得4 3OD 所以sin2 3DPDODOP 10 分 又M为DC中点 所以M到平面ABC的距离 1 3 2 dDP 11 分 因为4 784 2BDDCBC 所以 222 5 14 cos 228 BDBCCD DBC BD BC 所以 22 11 22 14 22 BMBMBDBCBDBCBD BC 13 分 所以BM与平面ABC所成角的正弦值 342 sin 28 2 14 d BM 15 分 A B C D M 3 20 本小题满分 15 分 已知 n S是数列 n a的前n项和 已知1 1 a且 1 2 nn nSnS Nn 求数列 n a的通项公式 设 Nn n a b n n n 14 4 1 2 数列 n b的前n项和为 n P 若 1 1 2020 n P 求正整数n的最小值 解 由 1 1 2 2 n nn n S n nSnS Sn 1 分 所以2 n时 12342 1 123321 nnn n nnn SSSSSS SS SSSSSS 1 11534 1 1233 2 12 n n nnn nnn 3 分 又 11 1 Sa也成立 所以 1 2 n n n S 5 分 所以2 n时 1 11 22 nnn n nn n aSSn 又 1 1 a也成立 所以 n an 7 分 由 知 2 411 11 2121 41 nn n n b nn n 10 分 所以 11111111 11111 33557212121 nnn n P nnn 12 分 所以 201911 1 2120202 n Pn n 14 分 从而n的最小值是1010 15 分 21 本小题满分 15 分 已知点F是抛物线C 2 4yx 的焦点 直线l与抛物线C相切于点 00 P xy 0 0y 连接PF交 抛物线于另一点A 过点P作l的垂线交抛物线C于另一点B 若1 0 y 求直线l的方程 求三角形PAB面积S的最小值 解 由 0 1y 得 1 1 4 P 1 分 设直线l的方程为 1 1 4 t yx 2 分 由 2 1 1 4 4 t yx yx 得 2 4410ytyt 3 分 因为直线l与抛物线C相切 故 2 164 410tt 解得 1 2 t 4 分 故所求直线l的方程 11 1 24 yx 即 1 2 2 yx 5 分 4 方法二 由 0 1y 得 1 1 4 P 故切线直线l的方程 00 2y yxx 即 1 2 4 yx 5 分 设切线l的方程为 00 t yyxx 2 1 1 4 y Ay 2 2 2 4 y By 又由 A F P三点共线 故 FAFP 而 2 1 1 1 4 y FAy 2 0 0 1 4 y FPy 化简可得 10 4y y 6 分 故 2 00 44 A yy 7 分 由 00 2 4 t yyxx yx 得 2 00 4440ytytyx 因为直线l与抛物线C相切 故 0 24yt 即 0 2 y t 8 分 故直线PB的方程为 0 00 2 y yyxx 即 3 0 00 220 4 y y xyy 因此点A到直线PB的距离为 3 0 2 2 0 0 0 22 000 4 2 4 4 444 y y y y d yyy 10 分 由 3 0 00 2 220 4 4 y y xyy yx 得 23 000 880y yyyy 02 0 8 yy y 即 20 0 8 yy y 故 200 22 000 448 112PByyy yyy 12 分 所以 2 2 0 0 2 2 00 00 4 1148 12 22 44 PAB y Sd PBy yy yy 3 2 0 0 41 4 y y 14 分 3 3 00 00 1414 216 44 yy yy 等号成立当且仅当 0 0 4 y y 即 0 2y 时等号成立 此时三角形PAB面积S的最小值为16 15 分 5 22 本小题满分 15 分 已知函数 xxxxf a lnlog 2 1 a 求证 f x在 1 上单调递增 若关于x的方程 1f xt 在区间 0上有三个零点 求实数t的值 若对任意的 aaxx 1 21 1e 21 xfxf恒成立 e为自然对数的底数 求实数a 的取值范围 解 11 1 2log ln a fxx xxa 2 分 因为1 1ax 所以 11 1 2log0 ln a fxx xxa 3 分 所以 f x在 1 上单调递增 4 分 II 因为01x 时 分别有 1 1 0 x 1 2log0 ln