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放缩法在数列不等式证明中的应用 放缩后能裂项相消 广州市越秀外国语学校谢燕妹 一 知识回顾 1 已知数列的通项公式 欲求数列的前n项和则需用 裂项相消法 其中通项公式可以裂项为 所以 2 已知数列的通项公式 欲求数列的前n项和则需用 裂项相消法 其中通项公式可以裂项为 所以 3 已知数列的通项公式 欲求数列的前n项和则需用 裂项相消法 其中通项公式可以裂项为 所以 二 题型讲练 例1 数列的通项公式 它的前n项和为 求证 分析 要求和 就要进行放缩 二 题型讲练 证明 例1 数列中 通项公式 它的前n项和为 求证 当时 显然成立 当时 二 题型讲练 不妨尝试一下 变式1 数列中 通项公式 它的前n项和为 求证 二 题型讲练 证明 当时 原不等式成立 当时 对一切正整数 有 小结 利用放缩可以证明数列不等式 应该根据题目的要求选取放缩的大小 变式1 数列中 通项公式 它的前n项和为 求证 二 题型讲练 证明 当时 显然成立 当时 变式1 数列中 通项公式 它的前n项和为 求证 除了调整放缩的尺度的大小之外还能如何进行调整呢 小结 利用放缩证明数列不等式时应 灵活选取开始进行放缩的项 二 题型讲练 例2 数列的通项公式 它的前n项和为 求证 可以调整放缩的尺度的大小之外和调整项数 二 题型讲练 证明 当时 原不等式成立 当时 原不等式成立 当时 对一切正整数 有 例2 数列中 通项公式 它的前n项和为 求证 变式2 数列满足 求证 数列的前n项和 二 题型讲练 二 题型讲练 变式2 数列满足 求证 数列的前n项和 证明 因为 所以 当时 小结 本节课学习利用放缩后可以通过裂项相消证明数列不等式 在放缩过程中注意两点 1 选取适当的放缩尺度 2 选取适当的开始放缩的项 附 常见的放缩有 1 4 2 3
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