2012初中数学远程研修优秀作业.doc

第四期 2012年7月31日（星期二）总 编：王尚志编 委：刘青岩吕学江褚爱华云 鹏陈 杰姜仲平谢志平汤华财 郑立平刘金广刘同军刘建宇刘 江王军艳张延芳 主 编：吕学江 褚爱华 陈 杰 刘同军 目录专家引领：整体把握数学课程图形与几何专题解读：把握变化 引领教学热点聚焦：学员优秀作业展示智慧分享：数学基本活动经验的获取途径 研修感言每日之星优秀班级简报链接作业公告：模块四作业温馨提示：专家引领 整体把握数学课程图形与几何首都师范大学王尚志教授 北京十一学校初中部周志英如何整体地认识“图形与几何”？构架初中“图形与几何”的基本脉络是什么？ 我建议老师们可以从以下几个脉络或角度梳理初中“图形与几何”的内容。1图形与图形分类 2图形间的基本关系 3初中阶段研究图形基本思想方法 希望老师们注意以下几点，这些脉络之间并不是“两两不交的”，而是相互影响，相互补充；研究图形是数学的任务，应该站在整个数学上理解研究图形的方法，几何不等于欧氏几何。 在下面我们给出简单的分析，供老师们参考。 1图形与图形分类 学生对几何图形的认识，是学习几何学的开始，这已经从小学就开始了。在小学，学生认识了点、线（包括线段、射线和直线）；在初中，学生认识了由线构成的几何图形，有三角形、四边形以及其它多边形，还包括由曲线构成的圆形等；认识了一些简单的几何体，如正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等；在高中，学生对几何体的认识更进一步，从定性和定量两个方面研究了空间几何体的性质。 到底要研究哪些图形，我们建议老师们从这样几个角度对图形进行分类：维数： 三维图形：体。包括柱、锥、台、球等。 二维图形：面或面的一部分。三维图形的展开图即为二维图形，例如柱和锥的展开图。在初中阶段我们所研究的二维图形大都是平面图形，但并不是所有二维图形都是平面图形，例如：球面。一维图形：线。包括直线、射线、线段、曲线和一些几何图形的边界，如圆的边界、椭圆的边界等。0维图形：点。 直曲：直线型：线性的，例如：直线、平面等。曲线型：非线性的，例如：球、球面等。事实上，直和曲的问题一直是数学中最为重要的问题。例如，在“微分”中，我们常用“以直代曲”的方法，将曲面梯形的面积用过剩长方形或不足长方形的面积作为近似替代。这一思想从小学阶段开始就要不断地渗透给学生。不论是按照维数去分类，还是按照直曲去分类，大家一定要有一个看图形的办法。从基本图形展开到所有图形，一定要清楚哪些图形是基本图形。这些基本图形是进一步认识图形、进一步学习数学的基础。 正方形： 正方形是学生最早接触和认识的图形，所有涉及到面积的一类图形都可以由正方形派生出来。面积的基础就是正方形，有了正方形的面积可以把矩形、三角形、平行四边形、梯形等直线型图形的面积都说清楚，还能够帮助我们讨论曲边图形的面积。 长方形： 长方形是学生最早接触和认识的图形，小学一年级用于书写汉字方格纸可以勾勒出各式各样的长方形。到初中，学生开始学习平面直角坐标系，如果将所有的整点标出来，也给人长方形的形象。长方体： 长方体是日常生活中最为常见的几何图形，很多数学内容的学习都是在直角坐标系中进行的，特别是空间直角坐标系。而长方体是学习空间直角坐标系看得见、摸得着的具体载体，所以它为学生的后续学习奠定了非常好的基础，它将贯穿学生后续几何学习的始终。在教学中，很多教师都是这样做的：在概念学习时，用长方体帮助学生认识空间点、线、面的概念，学习线线平行、线线相交、异面直线、面面平行、面面相交、线线垂直、线面垂直等概念；学习公理时，通过长方体帮助学生直观感知、操作确认；学习性质定理和判定定理时，先通过长方体帮助学生对理解定理有一个比较直观、自然的思路，然后再用数学语言完成对性质定理的证明。 最后，在解决立体几何问题时，注重让学生先找出长方体模型，将问题中的图形嵌套在长方体中。圆、球：圆和球也是非常重要的几何图形，它们不但具有十分好的对称性，而且还是极坐标系和球坐标系建立的基础。在所有的几何图形中，长方体是最重要的几何模型，它在帮助学生认识位置关系、度量关系和几何直观上发挥着十分重要的作用。2图形间基本的关系在前面我们已经指出一些关系是值得我们关注的，例如位置关系、度量关系。位置关系包含平行与垂直（相交），除此之外还要关注图形之间的对称、重合、全等、相似、投影等位置关系。以位置关系为例，平行和垂直是几何中最基本的位置关系。在立体几何中，重点研究了线线、线面、面面的平行和垂直关系，在解析几何中，利用解析法重点研究线线的平行和垂直。平行和垂直的重要性，主要是因为直角坐标系（包括平面直角坐标系和空间直角坐标系）都是基于这两种位置关系而建立的。在物理中，矢量的合成与分解，最常见的也是正交（垂直）分解。平行：平行是几何学中一个重要的内容，平行就是两个最基本的图形（线线、线面、面面等）没有公共点。在欧氏几何里，用综合几何的方法解决两条直线平行的判定和性质；在立体几何里，同样是用综合几何的方法，不但处理线线平行，还处理线面平行和面面平行；在解析几何里，处理平行的手段更多的是用计算的方法，看两条直线斜率之间的关系。垂直（相交）： 垂直是几何学中另一个十分重要的概念，也是几何学研究的重点内容。在平面几何中；主要研究两直线垂直，即两条相交直线所成的四个角都是直角，一般总是将它们置于基本图形中（如等腰三角形的三线合一，长方形、菱形的性质等）；在立体几何中，主要是研究线面垂直和面面垂直，而对于这些垂直的研究都是将其转化为线线垂直的；解析几何中对垂直的研究更加单纯，主要是为了利用解析法看两条直线斜率之间的关系。 下面我们以平行为例，从几个角度去理解平行。平行作为初中数学课程内容的重点，我们将从公理的角度、位移的角度、基本图形的角度等去理解平行。从公理的角度：平行存在一系列等价命题。两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（同位角相等，两直线平行）；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（内错角相等，两直线平行）；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（同旁内角互补，两直线平行）；三角形内角和180等。从位移的角度：在中学阶段，所涉及到的变换主要有全等变换、相似变换和反演变换。其中初中阶段最为常见的还是全等变换中的平移变换、旋转变换和翻折变换。平移变换是指由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图形上的所有的点都向同一个方向运动，且运动相等距离的图形变换。平移变换最核心的概念就是平行，理解了平行就能够更好地理解变换和位移的概念。从掌握反映平行的基本图形的角度：由此可以看出，平行在初中数学学习阶段所学位置关系中所占的重要性，教师要帮助学生多掌握些反映平行的基本图形，比如说正方形、长方形、平行四边形和梯形等。反过来从基本图形的角度去看，所有基本图形中边的关系中都存在着平行关系。掌握与平行有关的重要结论：初中阶段有很多需要学生掌握的定理及推论都与平行相关。例如：夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线等分线段成比例等重要的结论；三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（三角形中位线定理）；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（梯形中位线定理）。从平行和度量关系的角度： 下面我们以平行为例从几个角度去理解平行，平行作为初中数学课程内容的重点，我们将从公理的角度、位移的角度、基本图形的角度等多个角度去理解平行。下面我们再以对称关系中的轴对称为例，从几个角度去理解轴对称。对称关系是反映图形性质的基本关系，是初中阶段重要的知识内容。 从一个图形的角度看：一个图形是对称图形是指图形按照给定的直线翻转180后与原来的图形是重合的，如：等腰三角形、圆形；从多个图形的角度看：两个图形关于一条直线是相互对称的；从运动的角度看：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换，也叫做反射变换。即一个图形相对一条直线翻转后得到一个新的图形。与其它知识的联系：在对称变换下图形之间是彼此全等的。当然，除了平行和垂直，在几何中还研究其它的位置关系，如两直线的相交和异面，不互相垂直两个相交平面等，要刻画这些位置关系，就需要进行度量，要么用距离，要么用角度，这就涉及到度量关系。 度量关系是中学阶段最基本的研究对象，也是高中阶段最关注的基本问题。在中学阶段涉及到的这些度量都是直线型的，它为我们精确地研究几何图形的位置关系提供了方法。在中学阶段，所涉及的基本度量有长度（距离）、角度、面积和体积等。譬如在研究两异面直线时，仅用角度或仅用距离都不能精确地刻画它们，需要这两个量同时参与才可以。随着学习的深入，所有这些度量到了大学都可以用积分进行解决，特别是对于曲线型的几何图形的周长、面积、体积等。在这里我们就不展开了。3初中阶段研究图形的基本思想方法 在中学阶段，研究几何常用的方法主要包括综合几何的方法、向量几何的方法、解析几何的方法，另外还有变换几何的方法（用旋转、对称、翻折等方法研究几何性质）和分析几何的方法（用函数及与函数有关的性质讨论图形）等。 在高中阶段，几何的呈现形式是用综合几何的方法认识几何图形，用解析几何和向量几何的方法处理平面曲线和空间图形，是研究几何的通性通法。 综合几何：通过大家都承认的定义、公理和公设等事实出发，根据推理法则得到新的结果，这样的过程我们称它为综合几何的方法。这是教师们非常熟悉的一种方法，是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。下面我先举一个例子说明综合几何的方法。证明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。要想证明这一定理，首先大家要承认以下定义：三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形内角的定义如图，线段AB，BC，CA是三角形的边，点A，B，C是三角形的顶点，A，B，C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。三角形外角的定义如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD。像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。平角的定义一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。平角的角度是180。三角形内角和定理任意一个三角形的三个内角和等于180（三角形内角和定理）。然后根据一定的推理法则进行证明即可。这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。例如，把两条线段相等问题转化为两个三角形全等关系或一个三角形内两边的相等关系，空间两直线的垂直问题转化为平面上两直线的垂直（如，三垂线定理），利用三视图研究空间几何体等。在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究综合图形性质的基本方法。变换几何：通过图像的运动发现图像的性质是解决几何问题的一种重要办法，通常称为几何变换的办法。变换几何的方法为我们研究几何图形的性质提供了一个全新的视角，它不再是单纯地认识几何图形，而是在运动、变化中认识几何图形，更能发现几何图形最核心、最本质的性质。譬如，平行四边形有很多的等价定义，但最为本质的还是对角线的交点是它的对称中心；还有我们最为熟知的图形圆，它最本质的性质是有无数条对称轴。在初中阶段我们强调的变换包括中心变换、轴对称变换等，我们在课堂上要让图形动起来。下面我们以三角形中位线定理（旋转变换）和垂径定理（轴对称变换）为例，解释说明变换几何的方法。案例1 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半（三角形中位线定理）。证明：如图，将ADE以E为旋转中心，顺时针旋转180 则可以得到CFE，则有ADE与CFE全等则对应边相等AD=FC，进而推出DB=FC对应角相等A=ECF，可推出DBFC 可推出DBCF是平行四边形，且E为DF中点（三角形全等）图1图2案例2 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧如图2，DC为直径，弦AB垂直于DC，则AE=EB，（垂径定理）证明：如图，连接OA，OB，OA，OB为圆的半径，则OA=OB从几何直观易发现，直线CD是等腰三角形的对称轴 整个图形关于对称轴CD为轴对称图形 显见AE=EB，具体证明过程省略。通过图形的运动（变换）发现图形的性质是解决几何问题的一种重要的方法。这种方法就是希望让图形动起来，形成几何直观的能力。在解决几何问题的过程中，直观是非常重要的。有了直观才有逻辑的基础，直观反映一个问题的本质。解析几何：解析几何的方法是利用代数的方法研究几何图形的性质。用解析几何方法研究图形，首先要建立坐标系，建立起“点”与“数对”之间的一一对应关系，然后是建立几何图形与方程之间的联系，再通过用代数的方法研究方程来实现研究几何图形性质的目的。值得注意的是，同一个几何图形，由于建立坐标系时坐标原点的选择不同，在不同坐标系下方程的代数表现形式是不同的，用解析几何方法研究图形时，常常需要通过代数的方法把表示几何图形的方程化成标准形式。解析几何方法很好地体现了数学中的数形结合的思想：可以用代数的方法讨论几何的问题，也可以用几何图形表示代数的性质。 案例3 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 证明：我们借助直角三角形的一个直角为原点建立直角坐标系，同时连接斜边中点（如图）则有点O坐标（0，0）、点A坐标、点B坐标 由OD为斜边中线，D为AB中点坐标为 从而可以求得， 又显然有直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 在中学阶段，还涉及恒等变换、相似变换和投影变换等。其实，无论是哪一种变换，目的都是要研究图形，所以我们不能孤立地看待和认识这些方法，而应该综合利用。虽然解析几何的方法在初中并没有要求，但是应该让学生知道除了综合几何和欧氏几何的方法外，将来还会学习处理图形的其他方法。尤其是在初中阶段研究函数图象的方法就是用解析几何的办法。专题解读专题四 把握变化 引领教学 图形与几何内容分析与教学建议研修导读 省课程专家 谢志平 刘同军 在课程标准实验稿中，把这部分内容叫做空间与图形，2011版的课程标准把它称作为图形与几何，这是因为“几何”一词，一直是被大家叫得比较熟悉的，而且教师对它的名称的来历等也有所了解。同时，图形又是这部分内容研究的主要对象。“图形与几何”的课程内容，由实验稿中的四个组成部分（图形的性质、图形与变换、图形与坐标、图形与证明）变为现在三个组成部分（图形的性质、图形的变化、图形与坐标），表现形式变化较大。话题一 图形与几何内容的结构分析“图形与几何”的课程内容，是以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开的，主要包括：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，运用坐标描述图形的位置和运动。一、图形与几何的整体结构二、课标对各部分的具体要求1图形的认识正确理解与把握课程标准对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达成是十分重要的。（1）明确认识的对象。在初中学段，更多的是对已有图形从整体到局部的认识，体现了从生活到数学、从直观到抽象的特点，且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐提高。（2）明确图形认识的要求。图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识，这是进一步研究图形的基础；二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。（3）明确认识图形的方式与途径。“通过观察、操作，认识”“结合实例（生活情境）了解”“通过实物和具体模型，了解”等，都是认识图形的过程和方式。2图形的变化 在初中学段“图形的变化”中除图形的平移、旋转和轴对称外，还包括图形的相似、位似，以及投影。要求学生了解轴对称、旋转、平移的概念，探索它们的性质，并利用它们探索线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正多边形、圆的一些性质。 图形的相似尤其是三角形的相似是初中学段“图形的变化”中的主要内容之一。利用相似可以解决日常生活中的大量实际问题。投影与视图是二维图形与三维图形转化中体现着图形的变化，这个过程是培养学生空间观念的极好途径。3图形的性质及其证明 (1)图形的性质。课程标准在“图形的性质”中，比较多地使用了“探索并证明”的表述。在一定的情境中，引导学生借助已有的知识和经验，借助图形的直观，通过操作、度量，运用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的性质。(2)图形性质的证明。课程标准列出9个基本事实，作为义务教育阶段图形性质证明的出发点。从这九个基本事实出发，可以证明有关线段、角、直线、三角形、四边形的约40个定理；探索圆、相似形的一些性质，并了解有关圆、相似形的一些定理的证明。4图形的位置初中学段，要求在直角坐标系中确定图形的位置，进而在直角坐标系中进行图形的运动，并描述运动后图形的位置及其对应顶点坐标之间的关系；能在直角坐标系中把一个多边形放大或缩小等。话题二 图形性质内容的分析与教学 图形的性质是对图形中各种元素之间的关系，以及图形之间关系的认识。一、图形性质研究的内容1.点、线、面、角；2.相交线与平行线；3.三角形；4.四边形；5.圆；6.尺规作图；7.定义、命题、定理。二、图形性质的研究方法与途径图形的性质，可以分成两大类：一类我们就把它叫做基本事实，即“地基”如两点确定一条直线；另一类是从基于基本事实，探究证明出来的性质，我们把它叫做定理，即“承重墙”，如等腰三角形的性质等。我们可以用这两类推出其他的数学结论，即“普通墙体”。研究图形性质的一般方法与途径如下：合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。三、图形性质的教学建议1关于“点、线、面、角” 点、线、面、角是研究图形性质的基础。其中有两点应当予以注意：一是“比较线段的大小”“比较角的大小”在运用图形运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差”，课程标准不要求进行角的倍、分的计算。 2关于“相交线与平行线” 相交线和平行线具有几何图形最基本的性质。教学中要注意以下几点：(1)两条直线的位置关系有相交、平行两种，没有把两条直线重合作为第三种位置关系。(2)两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊位置关系。这里有特殊与一般的关系，还有数量变化与位置关系变化的内在联系。(3)没有把“两条直线相交，只有一个交点”作为基本事实(若作为基本事实，它与基本事实(1)不独立），也没有要求根据基本事实(1)用反证法加以证明。(4)只要求学生了解“两直线平行，同位角相等”这一平行线的性质定理。这个定理的证明要运用反证法完成。(5)同位角、内错角、同旁内角是研究平行线的基础。要注重引导学生感受同位角、内错角、同旁内角的大小关系（数量关系）与两直线是否平行（位置关系）的内在联系。3关于“三角形”三角形是最简单最基本的一个封闭图形。在研究三角形时，把三角形中边的关系、角的一些特征转化成前面的线的位置、角的数量关系来研究。(1)初中学段应注重用演绎推理的方法证明三角形内角和定理。(2)判定三角形全等的三个基本事实的课程标准表述，使用了对应边或角“分别”相等（不用“对应”相等）。(3)利用图形的轴对称，得到线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质定理的猜想，然后再运用三角形全等证明。这种获得猜想的过程有助于学生找到证明的思路。(4)探索并掌握“直角三角形的两个锐角互余”“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这两个定理，没有把“直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半”作为定理。掌握“两个角互余的三角形是直角三角形”和勾股定理的逆定理判定直角三角形。 (5)“了解”三角形的重心，“知道”三角形的内心、外心，会“作三角形的外接圆、内切圆”，不要求介绍三角形的“垂心”的概念。 4关于“四边形”四边形和三角形都是直线型里比较简单的图形。具体教学内容及教学注意如下： (1)归纳得到多边形的外角和公式。由三角形内角和定理，可以推导出多边形内角和公式，进而推导出多边形的外角和等于360。 (2)理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的特殊与一般的关系，对于研究平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定有着重要的作用。(3)研究四边形性质常常借助三角形的有关知识。但是，四边形与三角形有一个本质的差异：四边形不具有稳定性，三角形具有稳定性。(4)平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，除课程标准列出的条目外，不要求增加其他的判定定理。(5)三角形的中位线定理的探索和证明，完整地展示了“合情推理提出猜想演绎推理”的过程，引导学生经历这样的过程，有利于他们体会两种推理功能不同。5关于“圆” 圆是曲线型的一个代表，在初中知识里比较简单，除了介绍圆自身的一些结构特征，还介绍了在圆的背景下怎么认识直线型，如弦、半径、直径、圆心角、圆周角，体现出研究圆和直线型它们之间的关系。主要教学内容及教学注意如下：(1)“探索并证明垂径定理”“探索并证明切线长定理”是选学内容，目的是控制教学和考试的难度，同时又为学有余力的学生提供进一步学习的空间。在这两个定理的探索和证明过程中展示出合情推理和演绎推理是相辅相成。圆周角定理及其推论的证明需要对图形的位置关系进行分类，这在几何定理的证明中并不多见。 (2)点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，比较典型地体现了“形”与“数”的内在联系图形的位置关系确定了相应的数量关系，反之亦然。理解其中蕴涵的数形结合的思想。 (3)关于“探索切线与过切点的半径的关系”，课程标准只要求知道这种关系，并“会用三角尺过圆上一点画圆的切线”，没有把圆的切线的性质和判定作为定理。(4)对于“正多边形与圆的关系”，课程标准只要求知道通过等分圆周可以作正多边形，并且只要求“作圆的内接正方形和正六边形”，不要求进行有关半径、（半）边长、弦心距三者之间的有关计算。 6关于“尺规作图” 尺规作图实际上和前面研究这些图形的性质是密不可分的。具体教学内容及教学注意如下： (1)用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，是完成其他尺规作图（如作三角形、作圆）的基础。 (2)课程标准要求“在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹”，即作图要做到有根有据。7关于“定义、命题、定理”定义、命题、定理是建立在研究图形性质、在证明的过程中、在演绎推理里面，必须要具备的一些知识。本部分具体教学内容及教学注意如下：(1)课程标准对于命题的条件和结论、互逆命题等有关内容的要求是：“结合具体事例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。”(2)课程标准要求学生“知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑”、“知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式”。(3)课程标准对于“反例”的要求是“了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的”。课程标准不要求学生自己构造反例。(4)课程标准对于“反证法”的要求是“通过实例体会反证法的含义”，不要求学生独立运用反证法证明命题。反证法是一种间接证法，它在思维方式上与直接证法有所不同。话题三 图形的变化内容分析与教学 图形的变化，原来叫图形与变换。图形的变化在解决几何问题时，往往起着非常重要的作用。一、学习图形变换的意义几何变换使得分散的条件集中、使得复杂的问题变得简单、使得抽象的问题变得更具体，而且几何变换是所学图形属性的体现，提供了认识图形的另一个角度，还是今后继续学习的需要，是几何课程发展的趋势。几何变换往往能为我们提供解决问题的思路，达到一种“山穷水尽无疑路，柳暗花明又一村” 的效果。二、图形的变化的内容与基本要求1图形的轴对称、旋转、平移强调：通过学生对图形的变化过程来认识图形，来探索这些图形变化的一些基本性质。(1)对于轴对称、旋转、平移的概念，课程标准的要求是“了解”或“认识”，这种要求借助图形直观不难达到。(2)对于轴对称、旋转、平移的基本性质，课程标准要求通过探索活动和图形的运动变化去发现这些性质，让学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，为运用图形运动的方法研究图形性质奠定基础。(3)课程标准要求“探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质”“探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质”的含义。(4)轴对称与轴对称图形（中心对称与中心对称图形）是两个有联系又易混淆的概念。(5)课程标准要求：能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称图形，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。2图形的相似相似，是不同于轴对称、旋转、平移的另一种图形变化，相似变化改变图形的大小，不改变图形的形状（改变两点间距离的大小，不改变角的大小），也称为“保角变化”。(1)相似图形的性质。为了降低探索相似三角形性质和判定的难度，课程标准把“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实，且只要求“了解”相似三角形的判定定理和性质定理的证明，不要求运用这些定理证明其他命题。(2)“比例的基本性质、线段的比、成比例的线段”是研究相似形的基础。课程标准除“比例的基本性质”外，不要求研究比例的其他性质（如合比定理、分比定理等）。对于“黄金分割”，课程标准要求“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”，感悟数学的美。(3)图形的相似，课程标准要求“通过具体实例认识图形的相似”，“了解相似多边形和相似比”。图形的位似，课程标准只要求“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小”。(4)课程标准要求“会利用图形的相似解决一些简单的实际问题”，应当予以足够的重视。利用图形的相似解决一些简单的实际问题，必然经历“把实际问题抽象成为数学问题，解决数学问题对解得的结果作出符合实际意义的解释”的过程，学生经历这样的过程，有助于他们感悟模型思想，感受数学的价值。(5)课程标准要求“利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数( sin A，cos A，tan A)。(6)对于课程标准“能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题”的要求，注重引导学生在全面掌握直角三角形边角关系的基础上，根据实际情况选择恰当的方法求解。课程标准中，“会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角”的要求，应当认真加以落实。3图形的投影结合日常生活中关于中心投影、平行投影的丰富实例，引导学生“了解中心投影和平行投影的概念”。(1)平行投影是学习三视图的基础。课程标准要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体”。(2)课程标准要求会画直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作出实物模型，让学生感受三维空间与二维平面的相互转换，有效地发展学生的空间观念。话题四 图形与坐标内容的分析与教学 课程标准中图形与坐标内容较课程标准实验稿有一些变化，即把平面直角坐标系的有关内容安排在“图形与几何”的课程内容里，把几何图形用代数的方式表达出来，这为用代数的办法去研究图形提供了一个广阔的研究空间。一、图形与坐标在内容和要求上的变化坐标系在描述点及物体位置，以及在描述函数图象方面与老课标的要求是一样的。要能借助坐标来描述一些简单几何图形的位置，这是老课标中没有的。要能借助坐标来描述一些简单几何图形的位置，这是老课标中没有的。要能借助坐标描述简单图形的一些变化，比如说平移变化，轴对称变化，和一些特殊的放缩变化，这也是老课标中没有的。坐标系是可以选择的，根据需要选择不同的坐标系描述物体的位置。平面直角坐标系作为桥梁和纽带，把代数和几何紧密的联系起来。这一点也是将来我们到高中要学习的解析几何最重要的内容。二、图形与坐标内容的教学建议下面从坐标与图形位置和坐标与图形运动两方面进行分析。1坐标与图形位置 (1)平面直角坐标系在初中数学支撑着两个重要的内容：一个是函数性质的研究，另一个就是几何图形性质的研究。课程标准把平面直角坐标系的有关内容安排在“图形与几何”的课程内容里，体现了数与形的紧密联系，而且要求更高了。(2)注重引导学生感悟“有序数对”与“点的位置”的对应关系，“数量关系”与“图形位置关系”的内在联系，这对于“数与代数”中相关内容（如函数的图像）的学习有着重要的作用。(3)课程标准要求“在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置”。在教学中，对建立坐标系的难度应当控制。(4)课程标准要求“在平面上，能用方位角和距离刻面两个物体的相对位置”，这蕴涵了极坐标的思想。2坐标与图形运动 (1)“在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”，这实际上是图形的轴对称（反射）变化，有助于学生学习“数与代数”中函数（如二次函数）图象的画法，以及判断函数图象是否具有轴对称性。 (2)“在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”，这实际上是图形的平移变换。有助于学生掌握一次函数y=kx+b与正比例函数ykx图像之间的关系，二次函数yax2与yax2+c图像之间的关系。(3)“在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化”。这说明一个图形依次沿两个坐标轴方向平移，可以把它看成它沿某个方向的一次平移（课程标准不要求沿非坐标轴方向的平移），让学生体会经过这样的两次平移后“图形顶点坐标的变化”，这有助于学生掌握二次函数yax2与图像之间的关系。(4)“在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的”，这实际上是图形的位似变化，有助于学生体会如何在坐标系中画一个图形的位似图形。热点聚焦 作业分享之一数学运算培养学生良好的品质习惯 广饶县英才学校 张景春 省课程专家刘建宇推荐：在数学课堂中如何落实对学生情感、态度、价值观的培养，如何让学生感到学习是社会生活的前奏，情感生活的体验场。张景春老师的这篇精悍的短文，将给老师带来不尽的思考！ 指导教师倪宏推荐：张老师从（1）数学运算可培养学生认真、严谨的品质；（2）数学运算知识的有序性，可以启发和锻炼学生做事有计划性和前瞻性；（3）数学运算还可以锻炼学生的意志品质三个方面简单阐述了自己的观点，非常赞同张老师的观点。数学中的运算要求学生必须具备细心，认真，严谨的品质，每次的加减乘除运算，每一个符号，每一个小数点每一个细小的疏忽都会导致错误的发生，因此必须严谨细心，稍有不慎就会出错，数学运算就这样训练学生严格认真，一丝不苟的品质。特别对于学生列方程解应用题时，学生只有耐心细致的观察，认真分析各个条件与问题的关系，准确的找出等量关系，才能正确的解答。从中培养了他们认真，仔细，踏实的科学态度和严谨的品质。 数学运算知识的有序性，可以启发和锻炼学生做事有计划性和前瞻性，克服随意性，避免一些冲动行为的发生。数学运算的抽象性和简洁性可以锻炼学生更理性的处理问题，会使他们选择最简单，最有效的方法来处理问题。 数学运算还可以锻炼学生的意志品质，在对数学题目的探索中，锻炼他们坚定的意志和顽强毅力。在日常学生学习中经常遇到困难，我就引导学生正确的面对困难，让学生在解决困难问题中增强信心，周而复始的训练，就使很多学生养成了坚定、顽强的性格和做人品质。 点滴皆学问，细节可育人 谈如何发挥运算的育人功能 临淄区蜂山中学 张玉芳 省课程专家姜仲平推荐：运算的工具功能人人重视，而其育人功能常常被淡化，请看张老师的这篇短文，由法则到规则、多方法到优选、由演绎到严谨、寻规律集大美，让学生经历过程、加强体验、积累经验，我们看到育人皆在细节处。指导教师徐杰推荐：张老师独辟蹊径，从四个角度阐述数学运算的育人功能，崇尚数学教育要抓住契机，点滴皆学问，细节可育人。她以她的实际行动践行：数学老师不要做教书匠而要做教育家。 （片段摘录） 运算是数与代数的组成部分，对学生进行运算能力的培养不仅仅是教给学生运算的方法和技巧，提高做题的准确性，还可以起到育人的功能。一、遵循运算规则其实就是遵守人生规则 不按规则出牌，有时候带来的不是惊喜而是失败！解题如此，做人亦如此。“我明白我错在哪里了！”七年级的小唐同学在弄懂下面这道题目时，欢呼起来。计算：-4836（-1/9）。“我忘记了乘除法是同级运算，应该按着从左到右的顺序来进行了！我先计算了后面的乘法，等于是人为的加了括号，改变了原题！”二、避繁就简，巧妙解决问题，是人生的一种智慧 “这道题要做多久呀！”面对下面这道题，小李同学犯了愁。计算1-2+3-4+5-6+2003-2004。通过良久的冥思苦想，小李终于用正负结合的办法得出了这道题的答案。三、数学是严谨的艺术，它拒绝一切浮躁和不真 小苏是班里的数学尖子，数学考试还曾得过满分，可这一次他“栽了”，栽倒了一道不起眼的小题上，合并同类项：。因为弄错了符号，惨丢5分呀！四、感受数学之美可以提升学生的审美能力，让学生学会发现美、创造美 看下面一组等式：11=1，1111=121，111111=12321，11111111=1234321，111111111111111111=12345678987654321这组等式所表现出来的自然的和谐性、规律性之美令人赞叹！通过学习运算，学生们懂得了遵循规则，体会了寻找捷径，明白了细心认真，感受了和谐之美点滴皆学问，细节可育人，我们要善于抓住点点滴滴的教育契机，不但要教书，而且要育人，这才是教育之根本。 怎样更好的发挥运算的育人功能？ 博兴县店子镇第二中学 刘化园 省课程团队专家陈杰推荐：刘老师对发挥运算育人功能的认识比较到位，值得借鉴。代数运算不仅能够训练学生思维水平，培养思维品质、意志品质，还能够帮助学生形成一些重要的数学观点。 指导教师程爱民推荐：了解运算历史，感受中华文明；运用运算规律，简化运算过程；灵活解决问题，生活学会拐弯；风靡云计算，合作求共赢。指导教师李景东推荐：刘老师从历史文化、灵活运算、规律运算、锻炼思维、培养习惯、合作共赢等方面阐述了运算的育人功能，出古入今，深入浅出，全面详尽，突出了运算在数学中不可替代的人文价值，非常有借鉴价值！ 一、了解运算历史，感受中华文明，促进数学发展 从“结绳记事”开始的古人类至计算机频繁更新换代的今天，我国在计算方面有着辉煌的计算成就，祖冲之的“”，杨辉的“三角”，以及我国后汉时代的的“十四种算法”，在我们中华民族几千年的历史中，如夺目的明珠，照亮了人们计算过程的坎坷道路，从“鸡兔同笼”“借马分马”到“韩信点兵”这些灵活运用数学运算的小故事仍然脍炙人口。数学计算方法的研究与更新、数学运算在我国人民的灵活运用下促进了中国数学的不断发展。 二、灵活运用运算规律，提高学生学习兴趣 12578（1258）7=10007=7000， 10425（100+4）2510025+42525001002600。 我们曾学习了一些运算定律，并运用这些定律进行了简便计算，这些运算律的灵活运用提高了我们的运算能力的同时，让我们到感受数学运算的魅力，更让我们懂得了在人生的道路上要“学会转弯”。 我们曾经熟知这么一个小故事：在茫茫天际的非洲大草原上，猎豹最喜欢的食物是羚羊。猎豹身体矫健，速度非凡，每小时可达100公里，而羚羊每小时的速度只有70公里。按照这样的速度，没有一只羚羊能逃脱猎豹的追捕。但事实上猎豹在面对成群的羚羊时，往往是十扑九空。聪明的羚羊化险为夷的办法就是它并不是一直在奔跑，而是在危险关头，突然来几个灵活机动的拐弯，正是学会了拐弯才让羚羊逃脱豹口。有时我们在生活中过于执着就是一种负担，甚至是一种苦楚，是通往成功之路的一种羁绊。而会拐弯，既是一种胸怀，又是一种成熟，也是对自我内心的一种自信和把握。 三、锻炼学生思维，养成细心认真的好习惯 数学运算在对学生思维的锻炼和学习习惯的养成过程中发挥着不可替代的作用，在进行运算教学的过程中也要时刻重视好这两点。特别是初中阶段，比如：七年级有理数的混合运算的教学中，不仅有对运算顺序的要求，更重要的是引入负数后，能对符号正确的理解与认识的，更需处理好符号的问题，在计算过程中学生时刻注意这两点才能提高运算能力，进行此类习题的练习过程中，可以很好的锻炼学生的逻辑思维，锻炼学生学习的耐心和计算能力。 四、理解“云计算”，学会合作交流，感受集体力量 在云计算风靡世界的同时，我们更应该感受到合作的力量，云计算好比是从古老的单台发电机模式转向了电厂集中供电的模式。它意味着计算能力也可以作为一种商品进行流通，就像煤气、水电一样，取用方便，费用低廉。在高速发展的当今社会，通过对云计算的认识让学生体会到“合作才能共赢”。 手脑的体操 -数学运算与育人 山东省潍坊新华中学孙岩省课程专家刘江推荐：孙老师从个性心理品质和学习习惯的培养、数学能力的培养以及数学应用等方面，向我们阐述了他是怎样发挥运算的育人功能的，观点鲜明，论述深刻，突出了运算的育人本质，对我们的运算教学有一定的指导借鉴作用，可以看出孙老师是一个善于反思的教师，值得我们学习。指导教师刘兰春推荐：孙老师从三个方面谈了自己对运算的育人功能的认识，全面深刻。数学作为一门重要的基础学科，不仅在实际生活和其它学科中有着广泛应用，而且能够是训练大脑思维的体操，是完善人的个性品格的工具。开展好数学运算的教学对学生的品格、能力等方面的发展有重要的价值。一、对个性心理品质和学习习惯的培养数学运算有助于学生形成良好的个性心理品质以及养成良好的学习习惯。（一）细心、专心、耐心，避免眼高手低。教师要让学生意识到会用运算法则和准确计算之间有很大差别，鼓励学生以足够的细心和耐心对待每一个问题，不要三心二意，应重视手脑结合，口算与笔算相结合，避免眼高手低。（二）克服困难，持之以恒。学生见到复杂的运算往往出现畏难情绪，不愿仔细读题，感觉无从下手，担心出错等情况，教师应鼓励学生迎难而上，积极面对可能出现的问题，主动寻找解决的办法。（三）学会反思，及时纠正学习中出现的问题。教师在数学运算的教学中，不仅要引导学生学会分析问题，探求方法，更要培养学生主动反思的意识，养成及时总结归纳的习惯。（四）提高自信心。要求学生通过对运算法则熟练的掌握，借助于逆运算等关系进行检验，严密思考解题过程的合理性，提高准确率，从而帮助学生树立学好数学的信心。（五）培养严谨的做事态度。严谨与抽象是数学的特征，教学中要求学生严格的遵循法则进行推理计算，通过对题目的分析、错误做法的反思、过程的检验，培养学生严谨的做事态度。二、对数学能力的培养数学运算有助于对学生数学能力的培养。（一）运算、推理的能力，注重思考的顺序性、条理性。比如有理数的混合运算，既要求对运算顺序的掌握，又要注意正负号问题。（二）灵活处理问题，探求最优方案的能力。对数学运算来说，仅仅掌握法则熟练计算是不够的，还要引导学生通过分析对比，找到灵活多样的解题方法，掌握各种解题方法探寻最优策略。（三）创新意识和能力。教学中鼓励学生通过一题多解、难题巧解，发展学生的创新意识和能力。三、应用能力的发展数学来源于生活，服务于生活。教学中加强数学知识与生活实际的联系，发展学生应用数学的能力。比如学习运算法则时，选择生活中的实际问题为背景，让学生感受实际问题如何通过数学知识得到解决。通过教师的引导和具体问题的解决过程，以及与其它学科的联系，让学生体会到数学来自于现实生活，又应用于现实生活，培养学生主动用数学知识解决现实问题的意识。在数学运算教学中培养学生非智力因素的几点做法古邵镇曹庄中学 陈超 省课程专家谢志平推荐：运算能力的培养是中学阶段数学教学的一项重要任务，挖掘运算背后的育人功能，对培养学生良好的意志品质、良好的学习习惯、树立我能成功的自信心等都是很有价值的。指导教师王厚涛推荐：文章诙谐幽默，对学生计算能力的培养提出很好的办法，对学生情商的开发很有作用。 背景资料一：【伦敦奥运】中国举重举不起的“失利之重”。 本该续写奥运辉煌的中国举重，却在近两天连遭重创、爆出超级大冷门。男举夺金大热门张杰比赛失利，会后说“这块金牌丢得冤！”小将周俊折戟， 主力队员吴景彪失手。吴景彪失利总结“我真的不懂这样的比赛”，让人匪夷所思。 吴景彪在赛后接受记者采访时，情绪激动，对着摄像机连鞠三个躬，并发出悔恨的哭吼。满含泪水的吴景彪连吼数声发泄了胸中的郁闷。 【伦敦奥运】“最悲情射手”未等到最后一枪。 男子10米气步枪决赛在皇家炮团兵营结束，中国名将朱启南在资格赛中发挥失常，无缘决赛。朱启南受到心理因素影响，在资格赛中仅打出595环，排名第10无缘决赛。“我败在了自己的思想上”，“太渴望金牌，太想要去追寻这枚金牌，”朱启南赛后声音哽咽，再度流下泪水。背景资料二：某次区领导来校指导，徐世龙老师当着领导的面拿出试卷一张，某生解答如下：2+5+4+3=21。此生为我校第一名。某日九年级老师拿出张试卷，两生解答如下：29=19；36=19。此二人已被重点高中录取。写在前面：许多老师同学都有过这种经验，考试试