2014届扬州中学高三数学期末模拟试题.docx

2014届扬州中学高三数学期末模拟试题 2014.1.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1. 已知集合A1,1,2,3，B1,0,2，则AB_ _.2. “”是“”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）3. 设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_ _4. 一组样本数据8，12，10，11 ，9的方差为 5. 若一个长方体的长、宽、高分别为、1，则它的外接球的表面积是 .6. 如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字09中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是_ _(填 )7. 在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数 有零点的概率为 ；:ZXXK8. 公差不为零的等差数列的第二、三及第六项构成等比数列，则= 9若的值为 10. 在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作与实轴垂直的直线交双曲线于，两点， 若为直角三角形，则双曲线的离心率为 11. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为 .12.已知关于的不等式（恰好有一解，则 的最小值为 13.设函数在R上存在导数，对任意的有，且在 上，若则实数的取值范围为 ；14. 已知为的三个内角, 向量,.如果当最大时,存在动点, 使得成等差数列, 则最大值是 ；二、解答题（本大题共6道题，共计90分）15.(本小题满分14分)已知函数。（）求函数的单调递增区间；（）在中，若为锐角，且=1，求边的长。16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，PB平面ABCD，CDBD，PABCD(第16题)E PBABAD1，点E在线段PA上，且满足PE2EA（1）求三棱锥EBAD的体积；（2）求证：PC平面BDE 17.（本小题满分14分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（01，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？18.（本小题满分16分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为4。（）求椭圆C的标准方程；（），是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点。 若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；BAPQOxy18题 当A、B两点在椭圆上运动，且满足APQ=BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由。19. （本小题满分16分）已知函数（是自然对数的底数）.（1）当时，曲线在处取得极值，求实数的值；（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分16分） 已知正项数列的前项和为，且 .（1）求的值及数列的通项公式； （2）求证：；（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 命题：高三数学组理科（附加题）（总分40分，加试时间30分钟）1.（本小题满分10分）已知矩阵，其中，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点P(0,-3)，（1）求实数的值； （2）求矩阵A的特征值及特征向量2（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，tR)试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大3.（本小题满分10分）ABCC1B1A1FED如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2，BB13，D为A1C1的中点，E为B1C的中点(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦；(2)在线段AA1上取一点F，问AF为何值时，CF平面B1DF？4.（本小题满分10分）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？高三数学参考答案 1.11一、填空题1.； 2. 充分不必要； 3. 1； 4. 2； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ； 9. ；10. 2； 11. 4； 12. 2 13. 14. 二、解答题15. 解：（）（2分） （3分）令 所以函数的单调增区间为： （6分）（）因为=1，所以所以 因为A为锐角，所以 （8分） 所以，所以 （9分） 在ABC中，由正弦定理得，（12分） 解得 （14分）16、（本题满分14分）(1)过作,垂足为, 因为平面,所以平面平面.又平面平面,平面,所以平面,即为三棱锥的高3分由平面得,故因为且故5分因为所以在直角梯形中，因为所以从而8分 (2)连结交于，连结因为在直角梯形中，又因为所以从而因为所以10分因为 所以又因为，所以所以12分因为平面平面，所以平面14分17. 解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10（1+x）；出厂价为13（1+0.7x）；年销售量为5000（1+0.4x）， 2分因此本年度的利润为即： 6分由， 得 8分（2）本年度的利润为则 10分由 当是增函数；当是减函数.当时，万元， 12分因为在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， 14分所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元 15分18. 解：（）设C方程为 由已知b= 离心率 得所以，椭圆C的方程为（）由（）可求得占P、Q的坐标为 ，则，设AB(),直线AB的方程为，代人得 由0,解得，由根与系数的关系得四边形APBQ的面积故，当APQ=BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为，则PB的斜率为，PA的直线方程为与联立解得，同理PB的直线方程，可得所以所以直线AB的斜率为定值19. 解：（1），由在处取得极值得：=0，经检验是的极小值点；（2）当时，在上单调递增，且当时，故不恒成立，所以不合题意 ；6分当时，对恒成立，所以符合题意；当时令，得， 当时，当时，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，综上：. 10分(3)当时，由（2）知，设，则，假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，13分令得：，因为， 所以.令，则 ，当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，所以存在符合条件的，且仅有一个. 16分20. （1）由. 当时，解得或（舍去） 2分当时，由，则，是首项为2，公差为2的等差数列，故 4分（2）证法一：，4分当时，. 7分当时，不等式左边显然成立. 8分证法二：，. .4分当时，.7分当时，不等式左边显然成立. 8分（3）由，得，设，则不等式等价于.，9分 ，数列单调递增. 10分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 当为奇数时，得； 11分 当为偶数时，得，即. 12分综上，由是非零整数，知存在满足条件 14分附加题答案1. 解：（1）（2）特征值3对应特征向量为 ， 特征值-1对应特征向量为2. 解：曲线C的普通方程是 直线l的普通方程是 设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是因为，所以当，即Z)，即Z)时，d取得最大值 此时综上，点M的极坐标为时，该点到直线l的距离最大 注 凡给出点M的直角坐标为，不扣分3. (1)因为直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1面ABC，ABCABCC1B1A1FEDxyz以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为AC2，ABC90，所以ABBC，从而B(0，0，0)，A(，0，0)，C(0，0)，B1(0，0，3)，A1(，0，3)，C1(0，3)，D(，3)，E(0，)所以)而，所以cos；所以直线BE与A1C所成的角的余弦为(2)设AFx，则F(，0，x)，x00，所以，要使得CF平面B1DF，只需CFB1F，由2x(