2009年高考数学试题分类汇编——不等式.doc

大家网高考论坛 1 2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 不等式不等式 一 选择题 1 2009 安徽卷理 下列选项中 p 是 q 的必要不充分条件的是 A p b d q b 且 c d ac a B p a 1 b 1 q 的图像不过第二象限 01 x f xab aa 且 C p x 1 q 2 xx D p a 1 q 在上为增函数 log 01 a f xx aa 且 0 解析 由 b 且 c d b d 而由 b d b 且 c d 可举反例 选 Aa ac ac a 2 2009 山东卷理 设 x y 满足约束条件 0 0 02 063 yx yx yx 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的值是最大值为 12 则的最小值为 23 ab A B C D 4 6 25 3 8 3 11 x 2 2 y O 2 z ax by 3x y 6 0 x y 2 0 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 故选 A 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 答案 A 命题立意 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能准 确地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得目标函数的最值 对于形如已知 2a 3b 6 求 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 w w w k s 5 u c o m 23 ab 大家网高考论坛 2 3 2009 安徽卷理 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面 0 34 34 x xy xy 4 3 ykx 积相等的两部分 则的值是 k A B C D 7 3 3 7 4 3 3 4 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ABC 由得 A 1 1 又 B 0 4 C 0 34 34 xy xy 4 3 ABC 设与的S 144 4 1 233 ykx 34xy 交点为 D 则由知 12 23 BCD SS ABC 1 2 D x 5 2 D y 选 A 5147 2233 kk 4 2009 安徽卷文 不等式组所表示的平面区域的面积等于 A B C D 解析 由可得 故 阴阴 选 C 340 340 xy xy 1 1 CS 14 23 c ABx 答案 C 5 2009 安徽卷文 是 且 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 易得时必有 若时 则可能有 选abcd 且 且acbd acbd adcb 且 且 A 答案 A 6 2009 四川卷文 已知 为实数 且 则 是 abcdcdabacb 的d A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 B w w w k s 5 u c o m 解析解析 显然 充分性不成立 又 若 和 都成立 则同向不等式相加得acbdcd ab 即由 acbd ab B A x D y C O y kx 4 3 大家网高考论坛 3 7 2009 四川卷文 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万 元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原 料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案答案 D 解析解析 设生产甲产品吨 生产乙产品吨 则有关系 xy A 原 料 B 原 料 甲产品吨x 3x 2x 乙产品 吨y y 3y 则有 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 当 3 5 时可获得最大利润为 27 万元 故选 Dxy 8 2009 湖南卷文 若0 x 则 2 x x 的最小值为 2 2 解 0 x 2 2 2x x 当且仅当 2 2xx x 时取等号 9 2009 宁夏海南卷理 设 x y 满足 24 1 22 xy xyzxy xy 则 A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 解析 画出可行域可知 当过点 2 0 时 但无最大值 选 B zxy min 2z 10 2009 宁夏海南卷文 设满足则 x y 24 1 22 xy xy xy zxy A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值w w w k s 5 u c o m 答案 B 解析 画出不等式表示的平面区域 如右图 由 z x y 得 y x z 令 z 0 画出 y x 的图象 当它的平行线经过 A 2 0 时 z 取得最小值 最小值为 z 2 无最大值 故选 B 3 4 0 6 O 0 3 13 y x9 13 大家网高考论坛 4 11 2009 湖南卷理 已知 D 是由不等式组 所确定的平面区域 则圆 20 30 xy xy 在区域 D 内 22 4xy 的弧长为 B A B C D 4 2 3 4 3 2 w w w k s 5 u c o m 答案 B 解析 解析如图示 图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求 易知图中两直线的斜率 分别是 所以圆心角即为两直线的所成夹角 所以 所 1 2 1 3 11 23 tan1 11 1 23 以 而圆的半径是 2 所以弧长是 故选 B 现 4 2 12 2009 天津卷理 设变量 x y 满足约束条件 则目标函数 z 2x 3y 的最小值 3 1 23 xy xy xy 为 A 6 B 7 C 8 D 23 考点定位 本小考查简单的线性规划 基础题 解析 画出不等式表示的可行域 如右图 w w w k s 5 u c o m 3 1 23 xy xy xy 大家网高考论坛 5 让目标函数表示直线在可行域上平移 知在点 B 自目标函数取到最小值 33 2zx y 解方程组得 所以 故选择 B w w w k s 5 u c o m 32 3 yx yx 1 2 734 min z 8 6 4 2 2 4 15 10 551015 2x y 3 x y 1 x y 3 q x 2 x 3 7 h x 2 x 3 g x x 1 f x x 3 A B 13 2009 天津卷理 设若的最小值为0 0 ab 11 333 ab ab 是与的等比中项 则 A 8 B 4 C 1 D 1 4 考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化 以及均值不等式求最值的运用 考查了 变通能力 解析 因为 所以 333 ba 1 ba 当且仅当即时4222 11 11 b a a b b a a b ba ba bab a a b 2 1 ba 成立 故选择 C 14 2009 天津卷理 若关于 x 的不等式 的解集中的整数恰ab 10 2 xb 2 ax 有 3 个 则 A B C D 01 a10 a31 a63 a 考点定位 本小题考查解一元二次不等式 解析 由题得不等式 即 它的解应在两根之 2 xb 2 ax02 1 222 bbxxa 间 故有 不等式的解集为或04 1 44 22222 baabb 11 a b x a b 若不等式的解集为 又由得 11 0 a b x a b 11 a b x a b ab 10 故 即 w w w k s 5 u c o m 1 1 0 a b 2 1 3 a b 3 1 2 a b 15 2009 四川卷理 已知为实数 且 则 是 的 a b c dcd ab acbd 大家网高考论坛 6 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件w w w k s 5 u c o m 考点定位 本小题考查不等式的性质 简单逻辑 基础题 同文 7 解析 推不出 但 故选择 B ba acbd bdcbadbca 解析 2 令 则 由2 1 3 5abcd 13 5 8acbd 可得 因为 则 所以 故 是acbd abcd cd 0cd ab ab 的必要而不充分条件 acbd 16 2009 四川卷理 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 w w w k s 5 u c o m 考点定位 本小题考查简单的线性规划 基础题 同文 10 解析 设甲 乙种两种产品各需生产 吨 可使利润最大 故本题即xyz 已知约束条件 求目标函数的最大 0 0 1832 133 y x yx yx yxz35 值 可求出最优解为 故 故选择 4 3 y x 271215 max z D 17 2009 福建卷文 在平面直角坐标系中 若不等式组 为常数 所表 10 10 10 xy x axy 示的平面区域内的面积等于 2 则的值为a A 5 B 1 C 2 D 3 解析解析解析 如图可得黄色即为满足 的直线恒过 0 1 故看作直线绕点010101 yaxyxx的可行域 而与 0 1 旋转 当 a 5 时 则可行域不是一个封闭区域 当 a 1 时 面积是 1 a 2 时 面 积是 当 a 3 时 面积恰好为 2 故选 D 2 3 大家网高考论坛 7 18 2009 重庆卷理 不等式对任意实数恒成立 则实数的取值 2 313xxaa xa 范围为 A B w w w k s 5 u c o m 1 4 2 5 C D 1 2 1 2 答案 A 解析 因为对任意 x 恒成立 所以 2 4314313xxxxaa 对 22 343041aaaaaa 即 解得或 19 2009 重庆卷文 已知 则的最小值是 0 0ab 11 2 ab ab A 2B C 4D 52 2 答案 C 解析因为当且仅当 且 1111 2222 4ababab ababab 11 ab 即时 取 号 w w w k s 5 u c o m 1 ab ab ab 二 填空题 1 2009 浙江理 若实数满足不等式组则的最小值是 x y 2 24 0 xy xy xy 23xy w w w k s 5 u c o m 答案 4 解析 通过画出其线性规划 可知直线过点时 2 3 yxZ 2 0 min234xy 2 2009 浙江卷文 若实数满足不等式组则的最小值是 x y 2 24 0 xy xy xy 23xy 大家网高考论坛 8 w w w k s 5 u c o m 命题意图 此题主要是考查了线性规划中的最值问题 此题的考查既体现了正确画线性区 域的要求 也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划 可知直线过点时 2 3 yxZ 2 0 min234xy 3 2009 北京文 若实数满足则的最大值为 x y 20 4 5 xy x x sxy 答案答案 9 解析解析 s 5 u本题主要考查线性规划方面的 基础知 属于基础知识 基本运算的考查 w w w k s 5 u c o m 如图 当时 4 5xy 为最大值 w w w k s 5 u c o m 459sxy 故应填 9 4 2009 北京卷理 若实数满足则的最小值为 x y 20 4 5 xy x y syx 答案答案 6 w w w k s 5 u c o m 大家网高考论坛 9 解析解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知 属于基础知识 基本运算 的考查 如图 当时 w w w k s 5 u c o m 4 2xy 为最小值 246syx 故应填 6 5 2009 山东卷理 不等式的解集为 w w w k s 5 u c o m 0212 xx 解析 原不等式等价于不等式组 或 2 21 2 0 x xx 1 2 2 21 2 0 x xx 或 不等式组 无解 由 得 由 得 综上得 1 2 21 2 0 x xx 1 1 2 x 1 1 2 x 所以原不等式的解集为 11x 11 xx 答案 11 xx 命题立意 本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法 需要根据绝对值的定义分段去 掉绝对值号 最后把各种情况综合得出答案 本题涉及到分类讨论的数学思想 6 2009 山东卷文 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能生产 A 类产 品 5 件和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件 已知设备甲每 天的租赁费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 B 类 产品 140 件 所需租赁费最少为 元 w w w k s 5 u c o m 解析 设甲种设备需要生产天 乙种设备需要生产天 该公司所需租赁费为元 则xyz 甲 乙两种设备生产 A B 两类产品的情况为下表所示 200300zxy 产品 设备 A 类产品 件 50 B 类产品 件 140 租赁费 元 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即 w w w k s 5 u c o m 5650 1020140 0 0 xy xy xy 6 10 5 214 0 0 xy xy xy 大家网高考论坛 10 作出不等式表示的平面区域 当对应的直线过两直线的交点200300zxy 6 10 5 214 xy xy 4 5 时 目标函数取得最低为 2300 元 w w w k s 5 u c o m 200300zxy 答案 2300 命题立意 本题是线性规划的实际应用问题 需要通过审题理解题意 找出各量之间的关系 最好是列成表格 找出线性约束条件 写出所研究的目标函数 通过数形结合解答问题 7 2009 年上海卷理 若行列式中 元素 4 的代数余子式大于 0 4 1 7 5 x x 3 8 9 则 x 满足的条件是 答案 8 3 x 解析 依题意 得 1 2 9x 24 0 解得 w w w k s 5 u c o m 8 3 x 8 2009 上海卷文 已知实数 x y 满足 则目标函数 z x 2y 的最小值是 2 2 3 yx yx x 答案 9 解析 画出满足不等式组的可行域如右图 目标函数化为 z 画直线xy 2 1 及其平行线 当此直线经过点 A 时 z 的值最大 z 的值最小 A 点坐标为 3 6 xy 2 1 所以 z 的最小值为 3 2 6 9 大家网高考论坛 11 三 解答题 1 2009 江苏卷 本小题满分 16 分 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单价 为m元 则他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度为 n na 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交易的综合满意 度为 1 2 hh w w w k s 5 u c o m 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h且 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h且 1 求h且和h且关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h且 h且 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最大的综 合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 解析 本小题主要考查函数的概念 基本不等式等基础知识 考查数学建模能力 抽象 概括能力以及数学阅读能力 满分 16 分 1 当时 3 5 AB mm 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 h且 h且 w w w k s 5 u c o m 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 2 当时 3 5 AB mm 大家网高考论坛 12 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故当即时 w w w k s 5 u c o m 11 20 B m 20 12 BA mm 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 3 方法一