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3 2一般形式的柯西不等式 姚攀西安高新第一中学 新课导入 回顾旧知识 1 二维形式的柯西不等式的代数形式 若 都是实数 则 2 2 2 2 2当且仅当 时 等号成立 2 二维形式的柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 当且仅当 是零向量 或存在实数 使得 时 等号成立 类比于二维形式的柯西不等式 从三维的角度思考问题 关于柯西不等式会有什么结论 结合图像 探究1 从平面向量几何背景 可以得到 从空间向量几何背景 也可以得到 将平面向量的坐标代入 可得 当且仅当 时 等号成立 将空间向量的坐标代入 可得 当且仅当 共线时 即 或存在一个实数 使得 时 等号成立 对比二维形式和三维形式的柯西不等式 你能猜想出一般形式 维形式 的柯西不等式吗 结论 若 都是实数 则 当且仅当 或存在一个实数 使得 时 等号成立 三维形式的柯西不等式的代数形式 探究2 猜想柯西不等式的一般形式 如何证明以上猜想 分析 如果设 不等式可转化为 可以构造二次函数讨论相应的判别式来证明 结论 若 都是实数 则 当且仅当 或存在一个数 使得 时 等号成立 一般形式的柯西不等式 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方 例1已知 求 的最小值 例2已知 是不全相等的正数 证明 例3已知 都是实数 求证 例4设 且 求证 课堂小结 1一般形式的柯西不等式 若 都是实数 则 当且仅当 或存在一个数 使得 时 等号成立 2一般形式的柯西不等式的应用 对于许多不等式问题 用柯西不等式解往往是简明的 掌握柯西不等式的结构特点 就可以灵活应用 3从数
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