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函数的单调性与曲线的凹凸性 一 函数单调性的判别法 二 曲线的凹凸与拐点 主要内容 一 函数单调性的判定法 o o a b a b 从导数的几何意义考察函数的单调性 严格单调 2 区间内个别点导数为零 不影响区间的严格单调性 例如 注意 1 定理条件中的闭区间换成一般区间 定理的结论仍然成立 例1 解 注意 函数的单调性是一个区间上的性质 要用 一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 导数在这一区间上的符号来判定 而不能用 令 得 把分成两个区间 例2 解 单调区间的分界点除驻点外 也可能是导数不存在的点 说明 把函数的定义域区间分成若干个区间 总结求单调区间的步骤 1 写出函数的定义域 并求出函数的导数 2 求出导函数的零点 和导数不存在的点 不可导点 3 以导数等于零的点 不可导点为分点 并确定导函数在各个区间内的符号 从而确定函数在每个区间内的单调性 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 练习 解 5 21 例4 证 注利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式 练习 证明 时 成立不等式 证 令 从而 因此 且 二 曲线的凹凸与拐点 图形上任意弧段位于所张弦的上方 图形上任意弧段位于所张弦的下方 问题 如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向 定义1设函数 在区间I上连续 1 若恒有 则称 图形是凹的 2 若恒有 则称 图形是凸的 18 曲线凹凸的判定 定理2 定理2 凹凸判定法 1 在I内 则在I内图形是凹的 2 在I内 则在I内图形是凸的 证 设函数 在区间I上有二阶导数 只证 2 由定义只须证 只须证 只须证 记作 只须证 定理2 凹凸判定法 1 在I内 则在I内图形是凹的 2 在I内 则在I内图形是凸的 证 设函数 在区间I上有二阶导数 只证 2 由定义只须证 只须证 分别在区间 上应用拉格朗日中值定理 得 这说明在I内单调递减 21 例5判断曲线 的凹凸性 解 上是凸的 22 例6 解 注意到 定义2若连续曲线在其上一点的两侧凹凸性相反 则称此点为曲线的拐点 x y o y f x 注 拐点是凹弧与凸弧的分界点 证 注意 例如 例如 1 写出函数的定义域 并求出函数的导数及二阶导数 2 求出二阶导函数的零点 和不存在的点 3 检查这些点左右两侧符号 从而判定曲线的凹凸性 注意 判断曲线的凹凸性和拐点的步骤 例7 求曲线 的凹凸区间及拐点 解 1 求 2 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹 向上凸 点 0 1 及 均为拐点 凹 凹 凸 例8讨论的凹凸性及拐点 解 x y o 1 曲线的凹凸性反映的是不等式关系 1 若曲线的图形是凹的 即 则有 2 若曲线的图形是凸的 即 则有 注 利用凹凸性也可以证明一些不等式 例9 解 31 例10 2 曲线凹凸与拐点的判别 拐点 连续曲线上凹凸弧的分界点 小结 1 可导函数单调性判别 在
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