研究生数学建模精品案例二1.doc

第二章 吸波材料与微波暗室问题的数学建模2011年全国研究生数学建模竞赛B题新型隐身歼击机歼-20最近试飞成功，标志着我国在隐身技术领域取得了重大进展。所谓飞机隐身，是指在飞机有关部位涂覆或粘贴吸波材料，合理设计飞机外形与布局等使敌方探测系统（如无线电雷达，红外雷达，激光雷达等）只接收到大大减弱后的飞机反射信号，从而降低被发现或跟踪的可能。隐身技术的基础研究包括探索不同频段上吸波的机理，研制高效吸波的特殊材料，将吸波材料设计成合理的形状使之发挥最大效能等，其成果不仅可以应用到飞机舰船坦克等军用装备，也可以应用到其他科技领域。例如，许多以电磁波，光波或声波的传播为信息载体的仪器设备，都需要功能与性能的测试，甚至还要对其工作过程进行尽可能真实的仿真。早期这类测试常选择在无电磁干扰的偏僻空旷山区进行。在近代各种干扰已无法全部避免，所以近三十多年来这样的测试与仿真（例如本题将要研究的导弹制导系统的仿真），放置在被称为“无回波暗室”的实验室中进行。无回波暗室能够屏蔽外界干扰信号，通过内墙（包括地面与天顶面）敷设的吸波体，吸收各类反射信号，使室内反射大为减弱，被测设备接收到的“似乎”只有测试信号源发出的实验所需信号。这样，它为测试设备提供了一个几乎没有反射信号的“自由空间”。 图1给出了二维示意。 由物理学知道，除了真空，没有一种介质对于各频段的电磁辐射波（甚至包括声波）的传播是绝对透明的，波从一种介质辐射到另一种介质时，都将发生不同程度的反射、折射乃至散射，一部分波的能量被图1 无回波暗室工作示意图 吸收转化为介质的内能。定义反射率为反射波功率与入射波功率之比：，显然。吸波材料一般制成平板形状和特殊形状两大类基本形状。平板形状吸波体的主要性能指标是电磁波从空间向材料表面垂直入射（入射角）时的反射率，其值越小，吸波性能越高。当入射角时称为斜入射，斜入射时将出现反射、折射情况，此时反射率的理论计算较复杂，与入射角、两种介质的电参数和波的极化方向等多种因素有关，本题将反射率简化为满足余弦法则，即，其中为入射角大小，其中为垂直入射反射率。为了提高无回波暗室的吸波性能，一般使用锥体（正四棱锥或正圆锥体等）或尖劈形状的吸波体，大量锥体或尖劈有规律地排列组成的整体粘贴在墙上构成吸波体。采用这些形状的主要理由是它们能使得辐射波在尖形的几何空缺间形成多次反射和透射-反射，降低反射出去的能量，实现高效率吸波。图2示意了一条想象中的辐射线（实际上是在一个微小立体角内辐射）射入尖劈吸波体后，经过多次反射以及透射过尖劈后进入相邻尖劈空间形成反射的情况。为尖劈角，为尖劈的高，为尖劈的底部宽度。理论上还应有多次透射后进入相邻空间的反射，但能量已极小，工程上可以不计。 吸波体的吸波性能计算需要考虑多次反射，微波暗室的电磁特性分析应研究各个墙面间的相互影响（即一个墙面既接受其他墙面的辐射又同时反射给其他墙面）。尽管理论上可通过求解由Maxwell 方程组和相应的边界条件构成的数学物理问题，来严格地分析与计算，但模型复杂且计算繁杂量大。工程上处理此类复杂问题的常用思路是先采用简化模型进行理论分析，再用实验测试数据修正由简化模型得出的分析 结果。若模型较合理、测试数据准确，则这样的处理图2 尖劈形吸波体吸波功能的示意 对实际研究具有较高的指导价值。本题要求采用上述工程处理的思路，用较简单直观的几何光学模型，来初步研究分析特殊吸波体和微波暗室的性能这两类问题，后续的实验测试与修正不包括在本题中。问题1：尖劈形状吸波体的性能分析设尖劈形状吸波体及其坐标系如图3所示，尖劈的长度沿方向为无限长，其他尺寸记号同图2。由射向角（轴正向与入射线负方向的夹角）和方位角（轴正向与射线在平面上投影的夹角）确定入射波线的方向，只考虑波在两种不同介质界面处的反射，不考虑边缘处的绕射。假设尖劈材料的电性能参数各处均匀，垂直入射的反射率为，斜入射时的反射率满足前述的余弦法则，设入射波线的辐射强度为1单位。试建立入射波线在一个尖劈几何空缺间反射过程图3 尖劈吸波体吸波示意 的数学模型，即分别刻画最终反射波线的方向，反射次数，反射波的辐射强度与已知反射率、诸几何参数之间的定量关系。 建议：可先从二维问题着手研究起。问题2：导弹导引仿真实验用的微波暗室的性能研究 自主寻的式导弹的制导系统的核心设备之一是安置在头部、能自动寻找和跟踪目标的导引头。在导弹的研制过程中需要在地面条件下模拟导引头跟踪目标的性能。设导引头的工作波段在微波段（指频率为0.3-300GHz(波长1m-1mm)）。一种已经研究成功的仿真系统主要由目标模拟器系统，作为导引头支架的三轴转台和微波暗室组成。目标模拟器用来模拟目标运动，它由天线阵列子系统及其控制子系统组成。天线阵列是安置在微波暗室靠近一面墙、有规律排列在同一球面的若干个微波天线，各天线的中心轴线对准球心，按某种规律依次发射模拟目标回波的微波信号，模拟自由空间中目标相对于导弹的运动。需要测试的导引头安装在三轴转台上，转台根据导引头跟踪目标时发出的制导指令作三自由度角度的转动，带动导引头模拟导弹在空间的三自由度运动。微波暗室提供一个微波“自由空间”。图4中只画出一面墙上的吸波材料，实际上所有6个墙面均铺设吸波材料。 本题研究一个简化问题。目标模拟器是圆弧形线阵列，而非球面阵列，它安装在靠近一面墙的中心水平面内，圆弧线对两边的墙处于对称位置，圆弧半径，各天线轴线对准圆心（即导引头位置）。设目标模拟器对导引头的总张角，每安装一个天线，共16个天线。设天线属于余弦辐射体 （见附录2），辐射强度，为天线轴线图4 导引仿真实验室示意 方向辐射强度，为与法线成角方向的辐射强度。目标模拟器的工作基于所谓“等价重心原理”：如果两个相邻天线对导引头的张角小于某个阈值（见图5），同时发射同频率同相位且相同极化方向、但功率不同的微波信号时，根据导引头的功能，它将对准中间的“重心”，它满足：， （1）图5 模拟目标运动的原理 其中分别为发射的微波功率，角度均以弧度计。就是导引头“感觉”到的目标方向，这个方向称为导引头的视在方向。这等价于不工作，代之以在点存在着一个辐射两者功率之和的“视在天线”。于是，连续地改变天线的功率之比，且两者之和为常值时，导引头就“感觉”到视在目标在之间运动，距离不变。又因为视在目标功率的大小模拟了导弹与目标之间距离的远近，故若两者功率之和变化，功率之比不变，则模拟了目标与导弹间的距离变化，但方向不变。这样，控制两相邻天线的功率比及它们的功率之和，并连续地控制相邻的两两一组的天线的开关，使之时间上前后衔接，对导引头相当于在目标阵列上有一个运动的视在天线，模拟了导弹与目标之间的相对连续的运动。（注：上述原理是产生视在目标的背景介绍，本题的重点宜放在微波暗室的性能分析上） 图6 问题2的诸参数示意图现在回到问题本身。设暗室的宽=18，高=14，长=15，线阵列的圆弧半径，单位均为米。所有墙面铺设同一规格的吸波体（上述数据均从吸波体的顶端平面算起）。图6所示暗室右端中心的的小方块面积处是安置导引头的部位，称为“静区”。静区小方块的中心点与目标模拟阵列圆弧的圆心重合。静区接收到的电磁能量直接对导弹的导引仿真有重要影响，根据导引仿真要求，静区从诸墙面得到的反射信号的功率之和与从信号源直接得到的微波功率之比，始终满足0.03。 设m。目标模拟器对导引头的视在目标运动从左端开始，以匀角速运动到右端，前后共4秒，视在天线中心轴线对准静区中心，中心轴线处的发射功率强度随时间线性增大，结束时比初始时增大了一倍。并假设：（1）视在天线发射功率强度分布满足余弦辐射体（见附录2）；（2）只考虑所有墙面对辐射的反射，不计入墙面的散射；（3）不计入模拟器的天线及其安装支架，以及导引头本身对辐射的影响；若暗室铺设平板形吸波材料，其垂直反射率0.50。试建立合适的数学模型，在上述假设下，根据提供的数据，通过对模型的分析与数值计算，判断这样的微波暗室能否能满足仿真技术要求？ 在此弹目相对运动过程中，何时的值最小？进一步，若暗室改为铺设尖劈形吸波材料，由于沿尖劈形吸波体各平面处的吸波效果不是常数，所以常用统计的方法求出其平均值，称此平均值为平均反射率。现设此平均反射率已经求出，为0.05（相当于尖劈形吸波体被换成另一种吸波性能更好材料的平板形吸波体的垂直反射率），请你再次用模型进行计算，根据结果判断，这样的暗室是否能满足仿真技术要求？何时的值最小？ 【附录1】 立体角的基本概念辐射能在立体锥角范围内传播，需要一个描述立体锥角“大小”的数学量立体角。平面角的大小是用过一个顶点的两条射线所夹的范围来衡量，以弧度或度为单位，弧长等于半径的圆弧所对的平面角的大小定义为一弧度（rad）。圆的平面角为rad。三维空间里立体角定义：以立体锥角的顶点为球心，作一半径为的球面，用此锥角在球面上所截微元面积，除以半径的平方，来表示此立体角元的大小：附图1 立体角定义 。 （f1.1） 若微元面积的法向量与辐射方向单位向量成角，则， (f1.2)立体角的单位为立体弧度或球面度（），当截出的球面积等于半径平方时，该立体角的大小为1球面度。在球坐标系中立体角的计算如下。设辐射源位于球坐标的原点，在球坐标系里辐射方向由方位角和高低角给出。球面上的一微元面积 对原点构成的立体角为附图2 球坐标系中的立体角元 ，由于 ，故立体角微元为 。 （f1.3）原点周围的全部空间的立体角大小为：。 (f1.4)【附录2】 关于辐射的几个描述参量1. 辐射通量 本身发射辐射能的物体，称为一次辐射源。受到别的辐射源照射后透射或反射辐射能的物体称为二次辐射源。这两种辐射源统称为辐射体。辐射体向周围空间发出辐射能，用辐射功率来描述这些辐射能。以辐射形式发射、传播或接收的辐射功率，定义为辐射通量，记之为，单位是瓦特（W）。点源辐射在立体角内传播，故这里的辐射通量指在某一个立体角范围内传播的能量。2. 辐射强度 大多数辐射源在不同方向上的辐射通量是不相同的，有的方向强，有的弱。以光辐射为例，若对普通照明灯泡罩上灯罩，光照功率在各个方向是不同的，灯头向上方向很小，而沿灯泡轴线向下为最强，与轴线成一角度方向则随角度增大而减小。容易知道，一定大小的辐射通量，通过给定立体角内辐射时的强度，肯定比在另一个更小的立体角内通过时的强度要小。这就需要引入辐射强度的概念。辐射强度指在某个指定方向上辐射通量的大小。由于单一方向（一根线内）无法谈论传输的能量，故辐射强度定义为指定方向上的一个微小立体角内所包含的辐射通量，除以这个立体角的大小，所得的商即为辐射源在此方向上的辐射强度。它只刻画指定方向上一个很小空间范围内辐射的强弱。数学上，若在某给定方向上的一个微小立体角内的辐射通量为，则该方向上的辐射强度为 。 （f2.1）因此，辐射强度表示为辐射通量关于球面角的导数。辐射强度的单位为瓦特每球面度，（瓦/sr），定量地表示为单位立体角内的辐射通量，它是辐射的基本单位，其他概念的单位均由这个基本单位导出（如辐射通量，以及下面将要引入的辐射照度，辐射出射度等）。在球坐标系中，一个方向可由方位角和高低角两个角确定（见附图1），若已知点辐射源或微元在给定方向上的辐射强度为方位角和高低角的某个函数，那么可计算出此辐射源发出的总辐射通量：；立体角，则。当辐射强度轴对称时，只是角的函数，附图3 余弦辐射体示意 计算可以容易些 。有时，与空间方向的关系按下列较简单的规律变化： ， 。 （f2.2）其中为辐射微元，为法线方向的辐射强度，为与法线成角方向的辐射强度。若用矢径表示辐射强度，则各方向辐射强度矢径的终点轨迹在一球面上。符合这一规律的辐射体称为余弦辐射体。本题的问题2就采用这样的辐射简化模型。 3.辐射照度 当一定量的辐射通量到达一个接受面时，称此面被辐射“照明”了，辐射照明程度的大小，用辐射照度（简称照度）这个量来描述。一定辐射通量的辐射照射到两个大小不同面积的表面，两者的单位面积上接收的辐射通量显然不同。设被照平面垂直于辐射方向，则照度（）定义为落到某微元上的辐射通量与此元面积之比，刻画单位面积上所接收到的辐射通量的密度。数学上有 。 （f2.3）照度的单位为瓦特每平方米。若较大面积的表面被均匀照射，则平均辐射照度为。用点辐射源与假想球面的方法，容易推出照度的“距离平方反比定律”。记点源的均匀辐射强度为，它在空间发出的总通量为；半径为的球面面积为，故辐射源在距离处产生的照度为 。 （f2.4）若被照平面与辐射方向不垂直（斜交），则辐射照度计算公式要作调整。如附图4所示，点辐射源的发光强度为，被照微元面积为，距离源为，对点所张的微立体角为，其法线方向与的轴线的夹角为。由立体角的定义，；通过的辐射通量为 ；故面积上的辐射照度为。 （f2.5）附图4 斜交时的照度定律 （f2.5）称为辐射照度的距离平方反比余弦定律。 4. 辐射出射度 从一辐射表面（比如反射面）的单位面积上辐射出的辐射通量，表征其辐射能力的大小，称为辐射出射度，记为。辐射出射度与辐射照度是一对相同意义的物理量，只是前者是发出，后者是接收，两者的单位相同。对于非均匀辐射面，有 。 （f2.6）若本身不主动辐射，受外来辐照后所得照度为。入射能量中一部分被吸收，另一部分被反射，设表面反射率为，那么显然有 。主要参考文献1. 刘顺华等，电磁波屏蔽及吸波材料，化学工业出版社，2007.82. Bhag Singh Gurn, Huseyin R. Hiziroglu, Electromagnetic Field Theory Foundamentals,周克定，张肃文等译，机械工业出版社，20003. 张以漠，应用光学，机械工业出版社，1988问题的求解这是一条比较好的题目，而且是研究生竞赛中几乎完全被解决的唯一赛题，所以本书以它作为第一章。虽然题目在表述上有些不太准确的地方，如余弦法则和没有明确指出微波射到墙壁后根据惠更斯原理散射，但就总体而言解决该问题需要创造性、有难度、既体现了数学的作用、也证明了数学建模在高科技领域大有作为。在绝大多数人眼中隐身是个神秘的、专业性很强的问题，与数学几乎毫不相干。而通过题目的介绍，大家都清楚地知道飞机隐身取决于飞机表面的两个因素，一是飞机表面材料的吸波性能；二是飞机表面的几何形状，后者就是个纯数学问题，因此数学建模在隐身技术中占有举足轻重的地位。一 二维情况下尖劈形吸波体的性能分析遵循数学建模中先易后难的原则，先讨论光线的反射问题，即题目的第一问尖劈形吸波体的性能分析。开始再考虑其中最简单的情况，即入射光线垂直于尖劈顶部直线的情况。因为在入射点，尖劈的法线也垂直于尖劈顶部直线，所以尖劈顶部直线垂直于入射线和法线所决定的平面，而根据光线的反射定律，反射光线与入射线和法线共面，因此新的反射点在这个面内，其法线垂直于尖劈顶部直线，故仍然在这个面内。由此类推在这种情况下，光线在尖劈中不断反射的整个过程都一定在这个平面内。因此这种情况就是一个平面问题，相对而言简单得多。即便如此，寻找光线的变化规律还是有比较大的难度。因为尽管根据光的反射定律不断反射的光线每次变化都很有规律，但从整个过程来看，前后规律并不相同。 图1 光线在尖劈几何空缺中的下行传播过程在C处作法线BE的平行线，由内错角相等及两对边相互垂直的两个角也相等（两条法线分别垂直于尖劈的两边），可见相邻两次入射角有以下关系： +2图2光线在尖劈几何空缺间的传播上下行转化的临界状态由图2 可知临界状态时，由三角形内角之和等于180度，即两个直角之和，得相邻两次入射角有如下关系： 利用光的路线的可逆性及光线下行时结论，无非改变入射角下标的顺序，得在光线上行时相邻两次入射角有如下关系： 这还是光线从劈顶射入的情况，如果考虑光线从尖劈上方任意位置射入则光线在尖劈内的反射次数、功率损失、最终出射角等就更复杂了。通过罗列各种情况分别进行讨论，解决问题比较困难。但如果能够抓住问题本质把上述貌似不同的规律综合成为一个规律，讨论起来就会容易许多。当然这时需要讨论另一个变量，所以抓住问题本质的能力对研究生很重要。为此我们定义特征角和特征距离。特征角：尖劈底与入射点连线方向与第n次入射光线的相反方向所形成的小于180度夹角称为第n次特征角。特征距离：连接第n次入射点到尖劈的底的连线长度称为第n次入射特征距离，用表示。这样光线在尖劈中的多次反射的规律就很容易描述了：第n次特征角。其中是竖直向上的方向到入射光线的相反方向的夹角，如图1.因此。由图1，ACB是COB的外角，等于与它不相邻的两个内角之和，再利用入射角与反射角相等，即得，依此类推有，即使对图2也仍然成立。这样多次反射的规律就综合成一种情况。由上面两个图很容易发现，因此得到了，就立即得到了入射角。在尖劈中多次反射时入射角的变化规律就找到了。再利用第n次入射的特征距离来判断光线是否离开尖劈，这样讨论反射的次数也很方便。图3相邻两次反射的特征距离间的关系图3中Sn 为P1B,Sn+1为P2B,利用三角形的正弦定理得如下关系： 利用反射角与入射角相等，即得 即 利用上述结果，类似推导可得： ，若光线从劈尖射入，则S0即尖劈的长度，若超过则n+1次反射不会发生。故，则第n+1次反射不会发生。下面分两种情况讨论：（一），只发生n次反射，且第n次反射线与尖劈延长线相交，则根据，得及必须同时成立，又因为是单调上升的，肯定会超过90度，为利用正弦函数在90度之内是单调上升的性质，角度都转化到90度之内进行比较 与 同时成立即,故n所以关于n的不等式组与上面相同，综合上面两种情况都有反射次数公式为。关于这个问题也可以用代数方法求解，问题的代数方法Householder 反射变换 先从二维问题引出基于投影概念的反射变换Householder变换。图4示意了入射线反射3次后的过程，分别表示为尖劈吸波体的两个相邻斜平面，在二维情况下为两直线，分别是它们的单位法向量，为尖劈角。（1） 第1次反射设为入射线所在的单位向量，与交于；图5表示入射向量射向在处反射为单位向量的情况。现在用代数方法求反射向量。 记，又设关于直线的镜面反射向量为。从的矢终端作到的矢终端的连线，得向量。由几何关系知，向量的方向与相反，长度则是在上的投影的2倍，即 因此。 图4 三次反射过程 注意到是一个矩阵，不妨记为 ， 于是有 。 图5 在右斜面上的反射 图6 在左斜面上的反射实际上，当坐标系建立后，的法向量是确定的向量，矩阵是由唯一确定的，它刻画的是向量关于直线的镜面反射变换后得到向量，建立了如何由输入量计算反射向量的数学模型。求出后，就容易由入射向量计算反射向量。 由于，则有。 上式建立了入射向量与要求的反射向量之间的定量关系。只要已知入射向量和反射面（线），由此立即可写出反射向量来。这是个线性变换，称此反射变换为Householder变换，矩阵是反映这个反射变换本质的二阶张量，称为Householder矩阵。在图5的坐标系中，尖劈角为，故 ，所以 不难证明，反射矩阵是其行列式的值等于1的正交矩阵。又 ，这里即前面的，故得 反射的结果，是将入射向量旋转一个尖劈角，再关于竖轴取对称，若，则第1次反射后反射向量指向下方（取决于反射向量的第2个分量的正负号）。由此看出，用代数方法的好处除了计算程序化外，还容易判别后续反射的趋向。我们还可以求出第1次反射的反射角，由图5，这可从与的数积值计算，因为内积是反射角的余弦， ，所以， 。这与前面几何方法求得的一致。（2）第2次反射 （见图6） 将第2次反射的入射向量记为 ，作，关于反射面（线）的反射向量为。同理，我们通过关于的镜面反射向量来求。为此，作向量，显然有故有 。所以 ， 其中的反射变化矩阵为 。 由于 ，所以 ， 显然，是其行列式值等于1的正交矩阵。由，得第2次反射向量 。 相比，又增加了尖劈角，再取关于竖轴对称。可以再次判断，若，仍然指向下方，否则反射将往空缺上方返回。 同样运用向量的点积，不难求出第2次反射角。这里从略。（3）第3次反射记第3次入射线向量，此时是反射面，则反射向量为 。 同样依靠的第2分量判别其指向，并决定后续反射的方向。（4）第4次反射记第4次入射线向量，此时是反射面，则反射向量为。 可以用归纳法证明：若存在第次反射，则反射向量为 。 因为反射向量落在尖劈内,光线方向向上，与竖直线夹角小于等于，则无法再反射（不考虑由于尖劈高度不够所造出的无法反射） 即 等价于 即 ，又因为，所以是只发生n次反射的充分条件。这样，可得出最大反射次数 ， 其中是射向角。这个结果与前面的几何方法是一致的（不考虑劈高无法准确求出反射次数）。 还可以有简单的方法，利用反射定律，入射线的延长线和反射线关于反射面对称，可以将光线在尖劈内多次反射的过程等价为直线在一个被分割为若干个相同扇形的半圆中前进的情况。图7光线在尖劈空间多次反射延拓图如图7所示，假设光线在一个尖劈内发生多次反射后离开尖劈，入设点为P0,第一次反射点是P1,第二次反射点是P2，扇形P0OP1表示尖劈。则可以将扇形P0OP1 如图7所示作延拓，将尖劈绕原点O顺时针旋转，使得扇形P0OP1旋转后的左边界与原来的右边界重合，重复这个过程可以延拓成半圆。则入射光线在尖劈中的反射过程P0-P1-P2 等价于入射光线在半圆内沿直线P0-P1-P2传播，我们称直线P0-P1-P2 为“虚像传播直线”。P2是对应第二次反射点的虚像，P3是对应第三次反射点的虚像，Pn是对应第n次反射点的虚像，P0P1与半圆相交于P点，PnP是出射线的虚像。该直线跑出半圆就等价于入射光线反射出尖劈。所以反射次数就可以由“虚像传播直线”与多少个扇形的右边界相交来決定，而且出射綫的方向也可以由入射线方向及“虚像传播直线”和真实出射线的关系决定。虚像和原像的关系可以概括如下：记扇形P0OP1 为第0块扇形区域，扇形P1OP2为第1块扇形区域，以下类推。当P点所在的扇形是偶数2k块时，将该区域逆时针旋转4k，则与第0块扇形区域重合，PnP将与出射线重合，真实光线经OP0反射出尖劈。当P点所在的扇形是奇数2k-1块时，将该区域逆时针旋转(4k-4) 与第1块扇形区域重合，则PnP将与出射线关于OP1对称, 真实光线经OP1反射出尖劈。图8扇形延拓法示意图根据图8，由反射定律，=,而由对顶角相等，故又因为， 是公共边。因此 ，故，因为即前面提到的，而也等于，加之，所以有，因此，类似由三角形两边夹一角相等，三角形全等，又有，因此，由,k=1,2,3, ，其中是真实的反射点，是“虚像传播直线”与半径的交点，据此可推出“虚像传播直线”经过旋转或与真实光线完全重合或与真实光线关于对称。由上述关系，光线在尖劈内反射的次数（过劈顶的不计）等于“虚像传播直线”与半圆间隔角为的半径相交的次数。各次反射的入射角等于“虚像传播直线”与半圆上述半径所生成夹角（等于特征角）与之差的绝对值，即，出射线的方向，当n是偶数时为，因为入射时向下为正，出射时向上为正，所以要减去，加是因为旋转后重合。当n是奇数时为 。减去，加的理由同上，先用减去，然后再是关于竖轴做对称，是因为应该关于对称，而前面做法是关于竖轴对称。上面讨论的光线从尖劈的顶点射入的情况，如果从高于尖劈顶点位置射入又是什么结果？用几何的方法或者半圆延拓的方法都是容易解决的。先讨论几何的方法。设从尖劈顶点B射入的光线反射的次数为N,由公式，知过点A的光线AC的反射次数不会多于与之平行经过尖劈顶点B的光线BD的反射次数，即小于等于n。设CG是光线AC的反射线，过尖劈的另一顶点E作光线EF平行于CG，根据相同的理由过点E的光线EF的反射次数不会多于与之平行经过C的光线CG的反射次数。前已证明CG的特征角比AC的特征角大，根据反射次数的公式，当入射角增加时EF的反射次数为n-2,但光线AC在C点已经反射一次，故光线AC的反射次数至少为n-1。若用半圆延拓方法讨论，由图8一族平行光线进入尖劈，显然相差最大的两条光线分别从，的左边射入（射向无法产生反射），两交点间弦长小于，由于平行线截同一圆的两条弦长相等，所以两条“虚像传播直线”与半圆另外两个交点之间距离小于，即小于圆心角所对应的弦长，因此最多与半圆内顶角为的扇形的边相交的次数少一个，与几何方法的结论相同。由此可知，尖劈的吸波效果与顶角有关，而与尖劈的高度几乎没有什么关系，可以选择最容易制作的尖劈高度以节省表面的制作费用。我们就是要让数学建模发挥这样的作用。二 三维情况下尖劈形吸波体的性能分析尖劈实际上是三维的立体，前面因为光线垂直于尖劈的顶部直线而简化为二维平面问题，所以前面讨论的只是三维情况的特例。当入射光线与尖劈的顶部直线不垂直时，每条反射线与尖劈的两个面的交点处的法线既不平行也不相交，因此光线在尖劈内多次反射的过程不在同一个平面内。不仅如此，反射角和出射线方向都与二维情况有很大的不同。首先还是采用几何方法。如果能够将三维情况转化为前已研究过的平面问题就容易求解了。当然从三维向二维简化最简单的方法就是投影。考虑向垂直于尖劈顶部直线的平面做投影。先证明投影后情况与前面讨论的光线在垂直于尖劈顶部直线的平面内的情况相似，相邻投影之间符合反射定律，而且二维的投影反射点与真实反射点一一对应，所以投影前后光线在尖劈内的反射次数相同。进而可以证明各段反射光线与尖劈顶部直线即X轴夹角保持为常数，根据在垂直于尖劈顶部直线的平面内的反射线的投影可以求出真实反射线的方向和功率大小。这样三维问题就用几何方法完全解决了。因为反射线与入射线关于过入射点的反射面法线对称，过入射点的平行于尖劈顶部直线即X轴的直线关于过入射点的反射面法线也对称，所以各段反射光线与尖劈顶部直线即X轴形成对称图形，夹角始终相等，因此是常数。因为反射面的法线垂直于尖劈顶部即X轴，投影后保持不变，反射线与入射线向垂直于尖劈顶部直线的平面做投影后仍然关于反射面的法线对称，所有相邻投影之间符合反射定律，投影后情况与前面讨论的光线在垂直于尖劈顶部直线的平面内的情况相似。因为真实的反射点x坐标不同，所以真实的反射点投影后点数不会增加，又因为投影后y、z坐标没有变化，如果投影之间重合，由于光线总在尖劈两个面之间来回地反射，尖劈不是黑洞，一定是原路返回，因此仍然可以区分。所以投影前后光线在尖劈内的反射次数相同。具体的计算公式见下面代数方法。其次利用“虚像传播直线”方法，推广到三维空间，我们将反射模型延拓为“虚像传播直线”在无限长的半圆柱体内传播的问题。如图9、图10所示，入射光线以射向角和方位角射入尖劈空间，可以延拓为以射向角和方位角射入一个以尖劈面为基础延拓生成的半圆柱体中按直线前进的情况来讨论。图9三维空间延拓 图10三维延拓的无限长半圆柱类似于二维的模型，入射光线在尖劈空间中的多次反射过程P0-P1-P2等价于入射光线在半圆柱体内沿着直线传播，即传播过程为 我们仍然称之为“虚像传播直线”，入射光线发生多次反射的尖劈空间是个底面为圆心角为2的扇形柱体，扇形柱体的高的方向是x轴，扇形柱体的半径就是尖劈底面等腰三角形的腰。关于等价的含义也类似于二维情况，即记“虚像传播直线”与半圆柱体的圆柱面的交点为P，扇形柱块P0OP1 为第0块扇形柱块，扇形柱块P1OP2为第1块扇形柱块，以下类推。当点所在的扇形柱块是偶数2k块时，将该柱块绕x轴逆时针旋转4k，则与第0块扇形柱块重合，与重合，当点所在的扇形柱块是奇数2k-1块时，将该柱块绕x轴逆时针旋转(4k-4) ，则与第0块扇形柱块关于OP1面对称，与关于OP1面对称。当P点所在的扇形柱块是偶数2k块时，将该柱块绕x轴逆时针旋转4k，则与第0块扇形区域重合，PnP将与出射线重合，真实光线经OP0面反射出尖劈。当P点所在的扇形柱块是奇数2k-1块时，将该柱块绕x轴逆时针旋转(4k-4) ，则与第0块扇形柱块关于OP1面对称， PnP也与出射线关于OP1面对称, 真实光线经OP1面反射出尖劈。因此“虚像传播直线”到达半圆柱体外就对应入射光线运动出尖劈空间，光线在尖劈空间内反射多少次就等于“虚像传播直线”与多少个由圆柱体轴与圆心角为2 的扇形半径生成的平面Mk相交。而反射角、出射方向、功率衰减等也可以根据旋转与对称关系求出来。下面对上述结论给出证明。根据二维情况的证明，要证明上述结论，只要证明光线的真实反射点与“虚像传播直线”与半圆柱体的圆柱面的对应的交点的x坐标对应相等，因为y、z坐标已经证明是相同的。根据二维情况的结论，各段反射线与对应的入射线及其延长线在垂直于尖劈顶部直线的平面上的投影长度对应相等，加之各段反射光线与尖劈顶部直线即X轴夹角保持为常数，因此相同的投影长度乘上相同的夹角的余切，得到各段反射线与相应入射线及其延长线各部分端点的x坐标总对应相等。由投影图，P2k与绕x轴旋转4k后重合，现在P2k与的x坐标也相同，因此在三维空间P2k与绕x轴旋转4k后也是重合的。由投影图，P2k+1与绕x轴旋转4k后关于OP1对称，现在P2k+1与的x坐标也相同，因此在三维空间P2k+1与绕x轴旋转4k后关于OP1面对称。三维情况也可以用代数方法求解。图11三维空间的几个角度设入射光线的负方向与z轴正向夹角，x轴正向与入射光线在xoy平面上投影的夹角为方位角。入射光线的方向向量为在yoz平面上的投影向量为则 则入射光线投影关于z轴的方位角因此反射次数由二维情况结论是。当n=2k时，前已讨论应逆时针旋转4K，对应的旋转矩阵是前面推导的k个与k个矩阵的间隔相乘，根据x方向没有变化，再转化成三维矩阵。设为出射线与z轴正方向的夹角，则可以计算为： 设为出射线在xOy平面上的投影与x轴正方向的夹角，则可以计算为：在平面投影为计算为：，将逆时针旋转角度，得到，再将关于和x轴组成的平面做对称，即可得出射波线向量，计算过程如下：同上可计算为：和x轴组成的平面的法向量可计算为：将关于和x轴组成的平面做对称：其中第一个分量立得，第二个分量由以下计算得到：2(cos)2第三个分量由以下计算得到：2sin2射向角的计算方法同n=2k时，方位角可计算如下：在平面投影为结论：综合反射次数n为奇数和偶数的情况，反射波出射角分为射向角和方位角，射向角可以一般地表示为方位角可以一般地表示为。其中： ， 出射波线功率入射光线的方向用向量表示为，OPk与x轴生成平面的法向量可以表示为：入射光线的相反向量与该反射面的法向量之间夹角即为第k次反射的入射角。第k次反射时斜反射率为出射光线的功率为结论：出射光线功率可以一般地表示为三 关于功率的衰减光线在尖劈多次反射会造出功率衰减，题目中指出了垂直反射率为，当光线不与反射面垂直时即斜入射时的反射率满足余弦法则，即其中为入射角。现在看这个近似表述是不严格的，甚至从字面理解有误导。实际上在余弦法则中，其核心思想是将光线分解为分别垂直、平行于反射面的两部分，其中垂直于反射面的部分按垂直反射率衰减，而平行于反射面的部分可以视为未进入反射面，因此保持不变。否则会产生入射角越大，光线越接近平行于反射面，则光线能量衰减得越厉害，甚至当900时0，光线并没有进入反射面，却能量衰减为零，与事实严重不符。在竞赛中虽然曾经有研究生队答疑时在网上提出过这个问题，然而在获奖的研究生队中却几乎没有发现，说明在研究生中大胆质疑的精神还远远不够。四 评价微波暗室效果的简单模型题目的第二问是个困难的、但又是非常实际而且重要的课题。因为是微波暗室，波长比光波长得多，因此微波经过墙壁反射后不再是简单地反射，而是按照惠更斯原理，在接触点沿各个方向都产生射线 ，形成一个余弦辐射体。这样一条微波射线碰到障碍物后就变成无穷多条微波射线，每条射线长度取每条射线的强度就形成一个球。不仅如此，由于暗室表面不可能吸收全部的微波能量，总会有部分微波再次辐射出来，这个过程不是一次、两次、有限次就结束的，理论上可以进行无穷多次辐射，仅仅是射线的能量迅速趋向于零。由此看来这是一个有无穷多个余弦辐射体的、经过无穷多次辐射的、无穷多点、无穷多射线、无穷多项迭加的问题。猛一看是太难了，但越是困难的问题就越可能蕴含着丰富的创造性。这次竞赛的情况反映研究生中有少数研究生创造性不差，但是这批人在研究生中的比例不大，需要通过深入开展研究生的数学建模活动让更多的研究生培养出创造性。其实对于这个表面上看似非常困难的问题，就有一些具有一定的创造性的解决方法。为了解决在两种垂直反射率分别是0.5和0.05之下，判断微波暗室能否符合技术要求，本质上并不要求彻底解决微波传输的全过程。研究生们受解决书本上的问题和纯理论问题的影响，习惯于彻底解决问题的思维模式。殊不知这一思维模式如果能够解决问题自然是既有价值，又毕其功于一役，但实际上这种思路可能将问题提高到非常困难甚至无法解决的程度，不是解决问题的好方法。上述思维方式是与数学建模所倡导的实事求是、具体问题具体分析、注重创造性的思维模式背道而驰的。由于天线直接投射到静区的微波功率是很容易计算的，因此只要估计在垂直反射率是0.5或0.05条件下，静区接受通过暗室六个面辐射过来的全部微波功率是否达到或超过直接投射功率的3%就解决或回答了问题，确保不超过或确保超过3%都是解决了问题。因此从题目的要求看，并不需要精确求出通过暗室六个面辐射到静区的全部微波功率，一味追求高精度有时实际上是一种浪费。如同近似计算中分数一定用无限循环小数代替一样不可取。我们首先考虑垂直反射率是0.5的情况，仅计算从天线经过暗室墙壁一次反射辐射到静区的微波功率，就发现已经超过从天线直接辐射到静区功率的14%，显然多次反射一定让静区接受到更多的功率，使百分比更大，所以得出结论：垂直反射率是0.5的微波暗室不符合技术要求。再考虑垂直反射率是0.05的情况，计算经暗室墙壁一次反射辐射到静区的微波能量和从天线直接辐射到静区的微波能量，两者的比值大约是0.017（暗室墙壁被划分成若干个小区域，小区域的大小对此有一些影响）。由于垂直反射率为0.05，按定义经过一次反射微波能量至少被吸收掉95%，剩下不到5%，因此相邻两次反射的总能量之比不大于0.05，按常理推断，经过暗室墙壁二次反射辐射到静区的微波能量与经暗室墙壁一次反射辐射到静区的微波能量之比应该也不超过0.05。由此类推经过暗室墙壁多次反射辐射到静区的微波能量序列各项不超过一个首项相同但公比为0.05的等比序列的对应项。而后者的所有各项的和是有计算公式的，因此经过暗室墙壁无穷多次反射辐射到静区的微波能量总和小于等于这个公比为0.05的等比序列的各项总和。容易估计经过暗室墙壁多次反射辐射到静区的微波能量总和的上界和与从天线直接辐射到静区的微波能量之比为0.017/(1-0.05)=0.01760时，的表达式如下：上式中，是微小区域k的中心点和天线r的连线与k的法线的夹角；是微小区域k的中心点和天线r的连线与r的发射方向的夹角；是微小区域k的中心点到天线r的距离。如果有了暗室墙壁各处直接接受天线辐射后的发出的法向微波辐射强度，q对静区的辐射照度可以按余弦辐射体和距离平方余弦定律得到，再将上述辐射照度对点q关于全部墙壁积分就得到全部墙壁直接接受天线辐射后对微小区域k产生的辐射照度，这个积分再对微小区域k关于静区Q面积积分就得到静区经暗室墙壁一次反射辐射到的微波通量。有了暗室墙壁各处直接接受天线辐射后的反射辐射强度，按上述由点q引起的微小区域k的法向反射辐射强度的表达式，对q积分得到