2012高考湖北理科数学试题及答案(高清版).doc

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试卷共22题，其中第15、16题为选考题满分150分考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1方程x26x130的一个根是()A32i B32iC23i D23i2命题“x0RQ，Q”的否定是()Ax0RQ，Q Bx0RQ，QCxRQ，x3Q DxRQ，x3Q3已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A BC D4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A B3 C D65设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D126设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则()A B C D7定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A B C D8如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A BC D9函数f(x)xcosx2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5 C6 D710我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式根据3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是()A BC D二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分11设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角C_.12阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s_.13回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99；3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN)位回文数有_个14如图，双曲线(a，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D则(1)双曲线的离心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_.15 (选修41：几何证明选讲)如图，点D在O的弦AB上移动，AB4，连接OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_16(选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为_三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知向量a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx，)，设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且(，1)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)在区间0，上的取值范围18已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和19如图1，ACB45，BC3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90(如图2所示)图1 图2(1)当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；(2)当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小20根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率21设A是单位圆x2y21上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|m|DA|(m0，且m1)当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由22 (1)已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r为有理数，且0r1，求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数，若b1b21，则a1b1a2b2a1b1a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.1 A由题意可得，6241316，故x32i，故A项正确2 D该特称命题的否定为“xRQ，x3Q”3 B由图象可得二次函数的解析式为f(x)x21，则与x轴所围图形的面积.4 B由三视图画出几何体，如图所示，该几何体的体积V23.5 D52能被13整除，512 012可化为(521)2 012，其二项式系数为Tr1522 012r(1)r.故(521)2 012被13除余数为(1)2 0121，则当a12时，512 01212被13整除6 C由题意可得，a2b2c2axbycz0，即(a)2(b)2(c)20.，.7C设等比数列an的公比为q，则对于f(x)x2，f(an)，由等比数列得，符合题意；而对于f(x)2x和f(x)ln|x|，则f(an)2an和f(an)ln|an|.由等比数列定义得，2anan1.都不是定值，故不符合题意；而对于f(x)，则f(an)，由等比数列得，为定值，符合题意故选C项8 A设OAOB2R，连接AB，如图所示由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形拱形的面积，S阴(2R)2(2R)2(2)R2，S扇(2R)2R2，故所求的概率是.9 C令f(x)xcosx20可得，x0或cosx20，故x0或x2k，kZ.又x0,4，则x20,16，则k0,1,2,3,4符合题意，故在区间0,4上的零点个数为6.10 D由，得，整理可得，将3.141 59代入，近似得.11答案：解析：由(abc)(abc)ab，整理可得，a2b2c2ab，.12答案：9解析：由程序框图依次可得，s1，a3；n2，s4，a5；n3，s9，a7；结束，输出s9.13答案：(1)90(2)910n解析：(1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n1位回文数有910n个14答案：(1)(2)解析：(1)连接OA在RtB2OF2中，OAa，OB2b，OF2c，.由等面积法可得，两边平方可得，b2c2(b2c2)a2.又由b2c2a2代入式可得，c43a2c2a40.同时除以a4可得，e43e210，解得，故.(2)S1S菱形F1B1F2B22c2b2cb，在RtOAF2中，OAa，OF2c，AF2b.再由OAB2F2AO得，即，故，因此，S24xAyA，于是.15答案：2解析：连结OC，则ODCD知，OD2CD2OC2.要使CD最大，则OD最小；当ODAB时，OD最小，此时CD2.16答案：解析：由极坐标方程可知，表示直线yx，而表示y(x2)2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)联立可得，x25x40，可得x1x25.即x0y0，故M17解：(1)因为f(x)sin2xcos2xsinxcosxcos2xsin2x2sin(2x).由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin(2)1，所以2k(kZ)，即(kZ)又(，1)，kZ，所以.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点(，0)，得f()0，即，即.故，由0x，有，所以，得，故函数f(x)在0，上的取值范围为18解：(1)设等差数列|an|的公差为d，则a2a1d，a3a12d，由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列，不满足条件；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7).当n2时，满足此式综上，19解：(1)方法一：在题图1所示的ABC中，设BDx(0x3)，则CD3x.由ADBC，ACB45知，ADC为等腰直角三角形，所以ADCD3x.由折起前ADBC知，折起后(如题图2)，ADDC，ADBD，且BDDCD所以AD平面BCD又BDC90，所以SBCDBDCDx(3x)于是VABCDADSBCD(3x)x(3x)2x(3x)(3x)，当且仅当2x3x，即x1时，等号成立，故当x1，即BD1时，三棱锥ABCD的体积最大方法二：同方法一，得VABCDADSBCD(3x)x(3x)(x36x29x)令f(x)(x36x29x)，由f(x)(x1)(x3)0，且0x3，解得x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,3)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得最大值故当BD1时，三棱锥ABCD的体积最大(2)方法一：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系Dxyz.由(1)知，当三棱锥ABCD的体积最大时，BD1，ADCD2.于是可得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E(，1,0)，且(1,1,1)设N(0，0)，则(，1,0)，因为ENBM等价于，即(，1,0)(1,1,1)10，故，N(0，0)所以当(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，ENBM.设平面BMN的一个法向量为n(x，y，z)，由，及(1，0)，得可取n(1,2，1)设EN与平面BMN所成角的大小为，则由，n(1,2，1)，可得sincos(90)，即60.故EN与平面BMN所成角的大小为60.图a 图b图c 图d方法二：由(1)知，当三棱锥ABCD的体积最大时，BD1，ADCD2，如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MFAD由(1)知AD平面BCD，所以MF平面BCD如图c，延长FE至P点使得FPDB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DPBF.取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则ENDP，所以ENBF.因为MF平面BCD，又EN平面BCD，所以MFEN.又MFBFF，所以EN平面BMF.又BM平面BMF，所以ENBM.因为ENBM当且仅当ENBF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的即当(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)，ENBM.连结MN，ME，由计算得NBNMEBEM，所以NMB与EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，则BM平面EGN.在平面EGN中，过点E作EHGN于H，则EH平面BMN，故ENH是EN与平面BMN所成的角在EGN中，易得EGGNNE，所以EGN是正三角形，故ENH60，即EN与平面BMN所成角的大小为60.20解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2.P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(x300)1P(X300)0.7，又P(300x900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.21解：(1)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因为A点在单位圆上运动，所以x02y021.将式代入式即得所求曲线C的方程为x21(m0，且m1)因为m(0,1)(1，)，所以当0m1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(，0)，(，0)；当m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，)，(0，)(2)方法一：如图2,3，k0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则Q(x1，kx1)，N(0，kx1)，直线QN的方程为y2kxkx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2x12m20.依题意可知此方程的两根为x1，x2，于是由韦达定理可得x1x2，即.因为点H在直线QN上，所以y2kx12kx2.于是(2x1，2kx1)，(x2x1，y2kx1)(，)而PQPH等价于，即2m20.又m0，所以，故存在，使得在其对应的椭圆x21上，对任意的k0，都有PQPH.图1 图2(0m1) 图3(m1)方法二：如图2,3，x1(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(x1，y1)，N(0，y1)因为P，H两点在椭圆C上，所以两式相减可得m2(x12x22)(y12y22)0.依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合故(x1x2)(x1x2)0，于是由式可得.又Q，N，H三点共线，所以kQNkQH，即