高一函数知识点及典型习题(很强很全).doc

函数（1） 集合 1.求交集、并集，集合运算（二）函数 1常见函数：二次函数、指数函数、对数函数、幂函数 2函数的性质：图象、定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性（三）函数与方程 1零点存在定理（定义、定理、数形结合）函数概念（一）知识梳理 1映射的概念 2函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点1：映射的概念例1（1），；（2），；（3），上述三个对应 是到的映射考点2：判断两函数是否为同一个函数例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（nN*）；（4），；（5），答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1已知二次函数满足，求题型2：求抽象函数解析式 例1已知函数满足，求考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为0； 对数的真数必须为正； 偶次根式中被开方数应为非负数； 零指数幂中，底数不等于0； 负分数指数幂中，底数应大于0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.（08年湖北）函数的定义域为( )A.;B.；C. ;D. 答案：题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1（2007湖北）设，则的定义域为（ ）A. ；B. ；C. ；D. 答案：B.例2已知函数的定义域为，求的定义域例3已知的定义域是，求函数的定义域例4已知的定义域是（-2，0），求的定义域考点5：求函数的值域1 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，例：求函数 的值域。（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，例：求函数的值域。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。例：求函数的值域（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 例：求函数的值域（5）利用基本不等式求值域： 例：求函数的值域（6）利用函数的单调性求求值域： 例：求函数的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法一般适用于高次多项式函数。例：求函数，的最小值。（9）对勾函数法 像y=x+，（m0）的函数，m0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，；（2）a0) ，(1)x1,x2,x2,则(3)x1b,x2b,则 (4)x1b (0(0(0(0)的解集为或者是（二）考点分析考点1求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式考点2二次函数在区间上的最值问题例1已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0x1时有最大值2，求a的值。思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解：f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0x1),对称轴x=a10 a1时，综上所述：a= - 1或a=2例2已知y=f(x)=x2-2x+3,当xt,t+1时，求函数的最大值和最小值。答案：例3已知函数的最大值为，求的值 分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或考点3一元二次方程根的分布及取值范围例1已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。思维分析：一般需从三个方面考虑判别式区间端点函数值的正负对称轴与区间相对位置。解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图 （2） 练习：方程在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例2 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得解法二：由题知或，得指数与指数函数（一）知识梳理1指数运算；2.指数函数：（），定义域R，值域为（）.当，指数函数：在定义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.（二）考点分析例1已知下列不等式，比较，的大小：（1） (2)变式1：设，那么 （ ）A.aab B.a baC.aab D.aba例2函数在0，1上的最大值与最小值的和为3，则的值为（ ）A B.2 C.4 D.对数与对数函数（一）知识梳理1对数运算：；2对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.（二）考点分析例1已知函数，且（1） 求函数定义域（2） 判断函数的奇偶性，并说明理由.例2已知是上的减函数，那么的取值范围是 A.B. C.D.例3若，且，求实数的取值范围.变式1：若，则的取值范围是 （ ）ABCD幂函数（一）知识梳理1、幂函数的概念一般地，形如 的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数2、幂函数的图像及性质定义域RRR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数 的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数 的图像都过点；当时函数的图像都过原点；当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点，；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。（二）考点分析考点1：利用幂函数的单调性比较大小例1已知，试比较的大小；例2已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上问当x为何值时有：（）；（）；（）函数图象（一）知识梳理1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-h)；、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。对称变换：、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y=f(-x)、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y= -f(x)、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) y= -f(-x)、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。y=f(x) x=f(y)、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；y=f(x) y=f(2a-x)。翻折变换：、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到； 、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到 伸缩变换：、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；y=f(x)y=af(x)、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面（二）考点分析（1）1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O . (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.（2）已知函数满足，且当时，则与的图象的交点个数为 （ ） A、2 B、3 C、4 D、5巩固设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x0,1时，f(x)=2x-1,则f()= .（3）函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（ ） 2.10 函数与方程（一）知识梳理1函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（二）考点分析1.（安徽理3） 设是定义在上的奇函数，当时，则 （A） (B) （）（）3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.y0.51xO0.5【解析】.故选A.2.(安徽理10) 函数在区间0,1上的图像如图所示，则m，n的值可能是（A） (B) (C) (D) 【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当，则，由可知，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选B.3.（安徽文5）若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意，即也在函数 图像上.4.0.51xyO0.5(安徽文10) 函数在区间0,1上的图像如图所示，则n可能是（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当时，则，由可知，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.5.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是A. 75，25B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16【答案】D【解析】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，选D。6.（北京文8）已知点,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 A. 4 B.3C. 2D. 1【答案】A7.（福建理5）等于 A1BCD【答案】C8.（福建理9）对于函数 (其中，)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是 A4和6B3和1C2和4D1和2【答案】D9.（福建理10）已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断： ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是ABCD【答案】B10.（福建文6）若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A（1，1）B（2，2）C（，2）（2，） D（，1）（1，）【答案】C11.（福建文8）已知函数f(x)，若f(a)f(1)0，则实数a的值等于A3 B1 C1 D3【答案】A12.（福建文10）若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于A2 B3 C6 D9 【答案】D13.（广东理4）设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A+|g(x)|是偶函数 B-|g(x)|是奇函数C| +g(x)是偶函数 D|- g(x)是奇函数【答案】A【解析】因为 g