2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理讲义新人教A版选修2.doc

13.1二项式定理知识点二项式定理及其相关概念1二项式定理二项展开式：(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二项式定理，其中各项的系数C(k0,1,2，n)叫做二项式系数特别地，(1x)n1CxCx2CxkCxn(nN*)结构特点：(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；(3)共有n1项2二项展开式的通项(ab)n的二项展开式中的第k1项Cankbk叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即Tk1Cankbk.(其中0kn，kN，nN*)1注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积，可能为负数如(2x1)5展开式中的第二项的二项式系数是C，而第二项的系数则是C24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数2要牢记Cankbk是展开式的第k1项，不要误认为是第k项1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)二项式(ab)n与(ba)n展开式中第r1项相同()(3)Cankbk是(ab)n展开式中的第k项()答案(1)(2)(3)2做一做(1)16的二项展开式中第4项是_(2)展开4为_(3)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_答案(1)560x10(2)1(3)10解析(1)展开式的通项公式为Tr1Cx16rr(1)rCx162r，所以第4项为T4(1)3Cx10Cx10560x10.(2)41CC2C341.(3)T4Cx2y3含x2y3的项的系数是C10.探究二项式定理的正用与逆用例1(1)若f(x)(x1)44(x1)36(x1)24(x1)4，则f(2019)f(2019)的值为_；(2)求4的展开式解析(1)根据f(x)的解析式，逆用二项式定理，得f(x)(x1)143x43.显然f(x)f(x)，即f(x)为偶函数，f(2019)f(2019)0.(2)解法一：4C()4C()3C()22C3C4x22x.解法二：44(2x1)4(16x432x324x28x1)x22x.答案(1)0(2)见解析拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(ab)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆用：将展开式合并成二项式(ab)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律(1)用二项式定理展开4；(2)化简12C4C2nC.解(1)解法一：4(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.解法二：44(13x)41C(3x)C(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.(2)12C4C2nCC21C22C2nC(12)n3n.探究利用二项式定理求某些特定项例2已知n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数及二项式系数；(3)求展开式中所有的有理项解(1)由题意得，Tr1C()nrr(1)rrCx(r0,1,2，n)T6T51(1)55Cx，又第6项为常数项，0，n10.(2)由(1)知Tr1(1)rrCx，令2，得r2.x2的系数为(1)22C.含x2这一项的二项式系数为C45.(3)由题意得，为整数，其中0r10，rZ.Tr1为有理项，为有理数，102r0，或102r6，或102r6，得r5或r2或r8.有理项为T3C2x2x2，T6C5，T9C8x2x2.拓展提升求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0,1,2，n)(1)第m项：此时k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解(1)若9的展开式中x3的系数是84，则a_；(2)8的展开式中的常数项是_答案(1)1(2)7解析(1)展开式的通项为Tr1Cx9r(a)rrC(a)rx92r(0r9，rN)当92r3时，解得r3，代入得x3的系数，根据题意得C(a)384，解得a1.(2)展开式的通项为Tr1C8rr(1)r8rCx8rr(1)r8rCx8r(0r8，rN)令8r0，得r6，则T7(1)686C7.探究整除及余数问题例3(1)用二项式定理证明：11101能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数解(1)证明：11101(101)101(1010C109C108C101)11010C109C108102100(108C107C1061)，11101能被100整除(2)9192(1009)92C10092C100919C1009092C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数992(101)92C1092C1091C102C101，前91项均能被100整除，后两项和为919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为100091981，故9192被100除可得余数为81.拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了(1)求证32n28n9(nN*)能被64整除；(2)求2303除以7的余数解(1)证明：32n28n9(81)n18n9C8n1C8nC8n9C8n1C8nC82C818n9C8n1C8nC82.该式每一项都含因式82，故能被64整除(2)2303(23)1038103(71)103C710C79C7C37(C79C78C)2.又余数不能为负数(需转化为正数)，2303除以7的余数为5.1若(2x3)n3的展开式中共有15项，则自然数n的值为()A11 B12 C13 D14答案A解析因为(2x3)n3的展开式中共n4项，所以n415，即n11.选A.2二项式5的展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40答案B解析二项式5的展开式的通项为Tr1C(x3)5rr(1)r2rCx155r，令155r0，得r3，所以常数项为T4(1)323C80.选B.3若CxCx2Cxn能被7整除，则x，n的值可能为()Ax4，n3 Bx4，n4Cx5，n4 Dx6，n5答案C解析由CxCx2Cxn(1x)n1，分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有C适合4(1)5ab(a，b为有理数)，则ab等于_答案70解析(1)51CC()2C()3C()4C()54129，a4