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导数及其应用（2）答案例8、（）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有例9、解：（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，时，即，时，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，此时，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点（）当时，函数，令函数，则当时，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立故当时，有对任意正整数取，则有所以结论成立 变式8、解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则 在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，变式9、（I）解：由，得因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（II）证明：（i）令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是故当时，对任意正实数成立（ii）对任意，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即， 又因为，不等式成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立例10、解：（I）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为例11、解：（）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增故，符合题意当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是（）， 由此得，故变式10、解：（）（）令，由得，（不合题意，舍去）当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为例12、解：（1）求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即例13、解：即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为变式11、解：（）由题意， 令，对，恒有，即 即，解得故时，对满足的一切的值，都有（），当时，的图象与直线只有一个公共点；当时，列表： 极大极小又的值域是，且在上单调递增当时函数的图象与直线只有一个公共点。当时，恒有由题意得，即，解得，综上，的取值范围是四、巩固练习1、D2、解：（），（）的取值范围为3、解：（），（）4、解：（1）当时， 为偶函数当时， 函数既不是奇函数，也不是偶函数（2）的取值范围是 5、解： （）（）解：令，解得或由于，以下分两种情况讨论（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，