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学校姓名准考证号专业装订线2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题工科类一计算题：（每小题1分，满分0分）1求极限。2设函数可导，且，满足，求的表达式。3计算（为正整数）。4计算，为与围成的平面有界闭区域。5求曲线，的形心，其中为常数。二、（满分20分）证明：，。三、（满分20分）设所有二阶偏导连续，证明可表示为的充分必要条件为。四、（满分20）在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积。五、（满分20分）证明。工科类答案一、计算题1、若 同理，当时， 所以2、解：由假设，有 可导同理 3、解：4、解： 原积分 5、解：，而 二、证明：显然 另一方面三、证明：时，显然有反之，若成立，即有 也即 四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在轴上点，则羊跑最远的曲线在的区域内是渐开线 即 记在山羊能吃到草的草地面积为所以山羊能吃到草的草地面积(方法二) 山羊能吃到草的草地面积可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积和绳子绕向房子时转过 其扫过的面积可近似为扇形 所以五、证明：而 等式成立4
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