2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】解一元二次不等式化简集合,集合中的元素都是正整数,再根据集合的交集的概念进行运算即可,【详解】因为,所以.故选:C【点睛】本题考查了解一元二次不等式,考查了集合的交集运算,属于基础题.2已知为虚数单位，复数，则其共扼复数（ ）ABCD【答案】D【解析】先根据复数的乘法运算计算得复数,再根据共轭复数的概念可得答案.【详解】因为,所以.故选:D【点睛】本题考查了复数的乘法运算,考查了共轭复数的概念,属于基础题.3已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.【详解】设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为, 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,则,所以依题意可得,所以.,故选:A【点睛】本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键,属于基础题.4在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据三角函数的定义计算可得答案.【详解】因为,所以,所以.故选:D【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,考查了利用三角函数的定义求角的三角函数值,属于基础题.5函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据函数值恒大于等于0,排除,根据函数不是偶函数,排除,根据趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除,故选:.【详解】因为,所以不正确;函数不是偶函数,图象不关于轴对称,所以不正确;当时, 当趋近于正无穷时,和都趋近于正无穷,但是增大的速度大于增大的速度,所以趋近于0,故不正确.故选:B【点睛】本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.6执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为，输出的值分别为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据程序框图得到,再相加即可得到答案.【详解】由程序框图可知:程序框图的功能是计算分段函数的函数值当时,所以,当时,所以,所以.故选:C【点睛】本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值,搞清楚程序框图的功能是解题关键,属于基础题.7已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意得以及,消去,结合离心率的定义可得答案.【详解】依题意可知,即,又,所以该椭圆的离心率.故选:B【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,关键是由得到,属于基础题.8关于函数的图象向右平移个单位长度后得到图象，则函数（ ）A最大值为3B最小正周期为C为奇函数D图象关于轴对称【答案】D【解析】先根据图象的平移变换和诱导公式得,再根据的解析式可得答案.【详解】依题意可得,所以的最大值为4,最小正周期为,为偶函数,图象关于轴对称.故选:D【点睛】本题考查了函数图像的平移变换,考查了诱导公式,考查了函数的最值,周期性和奇偶性,属于基础题.9部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形若在图中随机选取点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据图,归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案.【详解】依题意可得:图中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图中阴影部分的面积是大三角形面积的,图中阴影部分的面积是大三角形面积的,归纳可得,图中阴影部分的面积是大三角形面积的,所以根据几何概型的概率公式可得在图中随机选取点，则此点取自阴影部分的概率为.故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.10圆上到直线的距离为的点共有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.【详解】圆可化为,所以圆心为,半径为2,圆心到直线的距离为:,所以,所以圆上到直线的距离为的点共有3个.故选:C【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.11某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为（ ）A2400元B2560元C2816元D4576元【答案】B【解析】设甲型车辆,乙型车辆,运送这批水果的费用为元,依题意列出所满足的不等式组和目标函数,然后作出可行域,平移直线,根据图形得到最优解,代入最优解的坐标即可得到答案.【详解】设甲型车辆,乙型车辆,运送这批水果的费用为元,则 ,目标函数,作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的阴影部分:作直线,并平移,分析可得当直线过点时,取得最小值,即元.故选:B【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值,解题关键是找到最优解,属于基础题.12已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设切点为,利用导数的几何意义可得,将切点坐标代入直线,可得,再构造函数利用导数可得最小值.【详解】设切点为,因为,所以,所以,所以,又切点在直线上,所以,所以,所以,所以,令,则,令,得,令,得,所以在上递减,在上递增,所以时,取得最小值.即的最小值为.故选:B【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率,考查了利用导数研究函数的单调性,根据单调性求函数的最值,属于中档题.二、填空题13已知非零向量满足，则 _.【答案】【解析】的几何意义是以为邻边的长方形的对角线，几何意义是以为邻边的长方形的另一条对角线，依题意，平行四边形的对角线相等，则为矩形，故两个向量的夹角为.14如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为_【答案】15【解析】先根据等高条形图求出喜欢徒步的男女生人数,从而可得喜欢徒步的总人数,进一步可得男生的抽样比,利用抽样比可得抽取的男生人数.【详解】根据等高条形图可知: 喜欢徒步的男生人数为,喜欢徒步的女生人数为,所以喜欢徒步的总人数为,按分层抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为人.故答案为:15【点睛】本题考查了等高条形图,考查了利用分层抽样计算抽取的样本中,各层的人数,属于基础题.15如图，在正方体中，点在线段上移动，有下列判断：平面平面；平面平面；三棱锥的体积不变；平面其中，正确的是_（把所有正确的判断的序号都填上）【答案】【解析】在正方体中可证平面平面，又点在线段上移动,所以平面平面,所以正确;先证平面，再根据面面垂直的判定定理可证平面平面，所以正确；根据平面,可得三棱锥的体积不变，所以正确；由平面，而与交于，可得不正确.【详解】因为在正方体中有, ,且平面,平面,所以 平面,同理得平面,又,所以平面平面,又点在线段上移动,所以平面平面,所以正确;因为平面，所以在平面内的射影为，因为，根据三垂线定理可得，同理可得，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以正确；由知平面，所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积不变，所以正确；由知平面，而与交于，所以与平面不垂直，所以不正确。故答案为:【点睛】本题考查了直线与平面,平面与平面平行的判定定理，考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题.16已知函数，则满足不等式的取值范围是_【答案】【解析】先用偶函数的定义得函数为偶函数,可得,再利用时,函数为增函数,可将不等式化为,从而可解得结果.【详解】因为,所以,所以 为偶函数,所以,当时,为增函数,所以等价于,所以,所以,故答案为: 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,利用将不等式化为是解题的关键,属于中档题.三、解答题17在中，角，所对的边分别是，且 （1）证明：为，的等差中项；（2）若，求【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】(1)由以及正弦定理,得,即为，的等差中项;(2)根据以及余弦定理可解得.【详解】（1）由,得，所以,由正弦定理得,即为，的等差中项,（2）由（1）得,因为，由余弦定理有,即,由，解得，（舍去）,所以.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式,考查了正弦定理角化边,考查了诱导公式,考查了余弦定理,考查了等差中项,属于中档题.18已知数列的前项和为，首项为，且4，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据4，成等差数列,可得,再利用可得,从而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列,由此可得数列的通项公式;(2)由可得,再根据等差数列的前项和公式可得结果.【详解】（1）由题意有,当时，所以,当时，两式相减得，整理得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列,所以数列的通项公式（2）由，所以，所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列,所以【点睛】本题考查了等差中项的应用,考查了用和的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列的前项和的公式,属于中档题.19已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合根据收集到的数据，计算得到如下值：2774182表中，（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，）附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】（1）；（2），.【解析】(1)根据公式计算出和,可得;(2)根据可得,再根据函数为增函数可得答案.【详解】（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设，所以，故关于的线性回归方程为（2）由（1）可得，于是产卵数关于温度的回归方程为,当时，；当时，；因为函数为增函数，所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数【点睛】本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.20如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；（2）若为线段，上的动点（不含，），三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】(1)利用,可得平面,根据面面垂直的判定定理可证平面平面;(2) 由底面，得平面平面将问题转化为点到直线的距离有无最大值即可解决.【详解】（1）证明:因为，为线段的中点，所以,因为底面，平面，所以,又因为底面为正方形，所以，,所以平面,因为平面，所以,因为，所以平面,因为平面，所以平面平面.（2）由底面，则平面平面,所以点到平面的距离（三棱锥的高）等于点到直线的距离,因此，当点在线段，上运动时，三棱锥的高小于或等于2,当点在线段上运动时,三棱锥的高为2,因为的面积为,所以当点在线段上，三棱锥的体积取得最大值,最大值为.由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,所以三棱锥的体积存在最大值.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.21已知函数（1）若为单调递增函数，求的取值范围；（2）若函数仅一个零点，求的取值范围【答案】（1）；（2）或.【解析】(1)先求导得到,将为单调递增函数转化为对于恒成立,构造函数,利用导数求出其最值即可解决;(2) 因为，所以是的一个零点,所以只需在内无另外实根即可,通过讨论得到的单调性,根据单调性可得答案.【详解】（1）由，得,因为为单调递增函数，所以当时，由于，于是只需对于恒成立，令，则，当时，所以为增函数，所以当，即时，恒成立，所以为单调递增函数时，的取值范围是（2）因为，所以是的一个零点由（1）知，当时，为的增函数，此时关于的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件当时，由得，（i）当时，则，令，易知在的增函数，且，所以当时，则，为减函数，当时，则，为增函数，所以在上恒成立，且仅当，于是函数仅一个零点,所以满足条件（ii）当时，由于在为增函数，则，又当时，则存在，使得，即使得，当时，,则，当时，,，所以在上递减,在上递增,所以，且当时，于是当时,存在的另一解，不符合题意，舍去（iii）当时，则在为增函数，又，所以存在，使得，也就使得，当时， ,，当时，,，所以在上递减,在上递增,所以，且当时，于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去综上，的取值范围为或【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用单调性研究函数的零