安徽省六安市毛坦厂中学2020届高三数学下学期假期作业（2.19）理（PDF）.pdf

2 月月 19 日理科数学日理科数学 排列与组合 考纲要求考情分析命题趋势 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排 列数公式 组合数公式 3 能用排列与组合解决简 单的实际问题 2017 全国卷 6 2017 浙江卷 16 2016 全国卷 12 2016 四川卷 4 两个计数原理与排列 组合的 综合问题是高考的热点 以考查基 本概念 基本方法 如 含 不 含 问题 相邻问题 相间问题 为主 主要考查分类讨论思想 转 化与化归思想 补集思想和逻辑思 维能力 分值 5 分 1 排列与组合的概念 名称定义 排列从 n 个不同元素中取出 m m n 个元 素 按照 一定的顺序 排成 一列 组合合成一组 2 排列数与组合数 1 排列数的定义 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 用 Amn 表示 2 组合数的定义 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的 所有不同组合 的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 用 Cmn 表示 3 排列数 组合数的公式及性质 公 式 Amn n n 1 n 2 n m 1 n n m Cmn A m n Amm n n 1 n 2 n m 1 m n m n m 性0 1 Ann n 质Cmn Cn m n Cmn 1 Cmn Cm 1 n 1 思维辨析 在括号内打 或 1 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 2 Amn n n 1 n 2 n m 3 若组合式 Cxn Cmn 则 x m 成立 4 排列定义规定给出的 n 个元素各不相同 并且只研究被取出的元素也各不相同的情 况 也就是说 如果某个元素已被取出 则这个元素就不再取了 5 C22 C23 C24 C2n C3n 1 2 用数字 1 2 3 4 5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 C A 8B 24 C 48D 120 解析 C12 A34 2 4 3 2 48 3 A B C D E 五人并排站成一排 如果 B 必须在 A 的右侧 A B 可以不相邻 那么不同的排法共有 B A 24 种B 60 种 C 90 种D 120 种 解析 可先排 C D E 三人 共有 A 3 5种 剩余 A B 两人只有一种排法 故满足条件 的排法共有 A35 1 60 种 4 方程 3A3x 2A2x 1 6A 2 x的解为 5 解析 由排列数公式可知 3x x 1 x 2 2 x 1 x 6x x 1 x 3 且 x N 3 x 1 x 2 2 x 1 6 x 1 即 3x2 17x 10 0 3x 2 x 5 0 x 5 5 已知 1 Cm5 1 Cm6 7 10Cm7 则 Cm8 28 解析 由已知得 m 的取值范围为 m 0 m 5 m Z m 5 m 5 m 6 m 6 7 7 m m 10 7 整理可得 m2 23m 42 0 解得 m 21 舍去 或 m 2 故 Cm8 C28 28 一排列问题 1 对于有限制条件的排列问题 分析问题时有位置分析法 元素分析法 在实际进行 排列时一般采用特殊元素优先原则 即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置 对于 分类过多的问题可以采用间接法 2 对相邻问题采用捆绑法 不相邻问题采用插空法 定序问题采用倍缩法是解决有限 制条件的排列问题的常用方法 例 1 1 3 名男生 4 名女生 选其中 5 人排成一排 则有 2 520 种不同的排法 2 将某大学 4 名大四学生安排到某城市的甲 乙 丙 丁四所中学进行教学实习 要 求每所学校都分一名学生 且学生 A 不分到甲校 则不同的实习安排方案共有 18 种 解析 1 问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排出 有 A57 2 520 种排法 2 先将 A 分配到乙校 再分配另外 3 个学生 有 A 3 3种方法 同理可得 将 A 分配到丙 丁各有 A 3 3种 则共有 3A33 18 种 二组合问题 1 含有 或 不含有 某些元素的组合题型 含 则先将这些元素取出 再由 另外元素补足 不含 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素中去选取 2 至少 或 最多 含有几个元素的题型 考虑逆向思维 用间接法处理 例 2 1 若从 1 2 3 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数 其和为偶数 则不 同的取法的种数是 D A 60B 63 C 65D 66 2 要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动 A B C 三人必须入选 则有 36 种不同 选法 解析 1 因为 1 2 3 9 中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数 要使和为偶数 则 4 个数全为奇数 或全为偶数 或 2 个奇数和 2 个偶数 故有 C45 C44 C25C24 66 种不同 的取法 2 只需从 A B C 之外的 9 人中选择 2 人 即有 C29 36 种选法 三排列组合的综合问题 利用先选后排法解决问题的三个步骤 例 3 从 0 1 2 3 4 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四 位数的个数为 C A 300B 216 C 180D 162 解析 分两类 第 1 类 不取 0 即从 1 2 3 4 5 中任取两个奇数和两个偶数 组成没有 重复数字的四位数 根据分步乘法计数原理可知 共有 C23C22A44 72 个 没有重复数字的四位 数 第 2 类 取 0 此时 2 和 4 只能取一个 再取两个奇数 组成没有重复数字的四位数 根据分步乘法计数原理可知 共有 C12C23 A44 A33 108 个 没有重复数字的四位数 根据分 类加法计数原理可知 满足题意的四位数共有 72 108 180 个 四分组分配问题 分组分配问题的处理策略 1 不同元素的分配问题 往往是先分组再分配 在分组时 通常有三种类型 不均 匀分组 均匀分组 部分均匀分组 注意各种分组类型中 不同分组方法的差异 2 对于相同元素的 分配 问题 常用的方法是采用 隔板法 例 4 1 2017 全国卷 安排 3 名志愿者完成 4 项工作 每人至少完成 1 项 每项 工作由 1 人完成 则不同的安排方式共有 D A 12 种B 18 种 C 24 种D 36 种 2 2017 浙江卷 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人 副队长 1 人 普通队员 2 人 组成 4 人服务队 要求服务队中至少有 1 名女生 共有 660 种不同的选法 用数字作答 解析 1 因为安排 3 名志愿者完成 4 项工作 每人至少完成 1 项 每项工作由 1 人完成 所以必有 1 人完成 2 项工作 先把 4 项工作分成 3 组 即 2 1 1 有 C24 6 种 再分配给 3 个人 有 A33 6 种 所以不同的安排方式共有 6 6 36 种 2 分两步 第一步 选出 4 人 由于至少 1 名女生 故有 C48 C46 55 种不同的选法 第二步 从 4 人中选出队长 副队长各 1 人 有 A24 12 种不同的选法 根据分步乘法计算 原理知共有 55 12 660 种不同的选法 1 从 0 1 2 3 4 5 这 6 个数字中任意取 4 个数字组成一个没有重复数字且能被 3 整除的 四位数 这样的四位数有 个 2 渐升数 是指每个数字比它左边的数字大的正整数 如1 458 若把四位 渐升数 按从小到大的顺序排列 则第 30 个数为 3 由 0 1 2 3 4 5 这六个数字组成的无重复数字的自然数 求 1 有多少个含有 2 3 但它们不相邻的五位数 2 有多少个数字 1 2 3 必须由大到小顺序排列的六位数 4 从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数 试问 1 能组成多少个没有重复数字的七位数 2 上述七位数中 3 个偶数排在一起的有几个 3 1 中的七位数中 偶数排在一起 奇数也排在一起的有几个 易错点错用 隔板法 错因分析 不熟悉 隔板 法所处理问题的两个基本特点 元素必须相同 必须保证 每组至少 1 个元素 当问题不具备这些特点时 不能完成转化 例 1 1 12 个相同的小球放入编号为 1 2 3 4 的盒子中 问每个盒子中至少有一个小 球的不同放法有多少种 2 12 个相同的小球放入编号为 1 2 3 4 的盒子中 要求每个盒子中的小球数不小于其编 号数 问不同的放法有多少种 3 12 个相同