信息技术应用收集数据并建立函数模型 (3).ppt

函 数 的 应 用 第三章 本章内容 3 1函数与方程 3 2函数模型及其应用 第三章小结 3 2数学模型 及其应用 3 2 2函数模型的应用实例 第一课时 3 2 1几类不同增长的函数模型 3 2 2函数模型的应用实例 第二课时 3 2 1 几类不同增长 的函数模型 返回目录 1 你所学过的函数中 哪些是定义在正数范围内的增函数 各自的增长变化有什么特点 2 几种函数相比较 在一定的范围内 什么函数的增长速度最快 问题1 我们学习了哪些基本函数 这些函数的图象是怎样的 在解决实际问题时 你如何选择函数模型 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 幂函数 图象为直线 有单增单减两种情况 图象为抛物线 有增减两区间 图象为过定点的曲线 有单增单减 两种情况 图象为过定点的曲线 有单增单减 两种情况 图象为直线或曲线 正指数幂在 0 上是增函数 如何选择函数模型来刻画实际问题 我们举例说明 例1 某人有一笔资金用于投资 现有三种投资方案供选择 这三种投资方案的回报如下 方案一 每天回报40元 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天回报比前一天翻一番 请问 选择哪种投资方案收益最好 解 设第x天所得回报为y元 方案一 y 40 x N 方案二 y 0 4 2x 1 x N 方案三 y 10 x x N 三种方案中 方案一无增长 若投资5天以下 方案一的每天收益最大 若投资5 8天 方案二的每天收益最大 若投资8天以上 方案三最好 画图象观察 增长最快的是方案三 51 2 204 8 10 90 102 4 40 y 40 y 10 x y 0 4 2x 1 方案1 方案2 方案3 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且奖金y 单位 万元 随销售利润x 单位 万元 的增加而增加 但奖金总数不超过5万元 同时奖金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型能符合公司的要求 解 在奖励模型中 其定义域为 x 10 x 1000 按要求 三个函数的最大值不能超过5万元 同时 y又 不能超过x的25 三个函数在 10 1000 上都是增函数 其最大值分别是 y1 0 25 1000 250 万元 y2 log71000 1 4 55 万元 y3 1 0021000 7 37 万元 只有第二个函数y log7x 1符合第一条要求 再看函数y log7x 1是否满足第二个条 y 25 x 即log7x 1 25 x log7x 0 25x 1 log7x和0 25x 1都是增函数 如图 x 1 5 1 18 2 37 3 55 y log7x y 0 25x 1 24 在 10 1000 内 log7x 0 25x 1成立 模型y log7x 1符合要求 100 在 10 1000 内 最大值不能超过5万元 y不能超过x的25 用计算器算得y log71000 1 4 55 5 y 1 0021000 7 37 5 y log7x 1符合条件 另解 利用几何画板画出三个函数的图象进行分析 即y 0 25x 很明显 y 0 25x不满足 用计算器算得 y 1 002x不满足 指数函数随着x的增大增长速度很快 y log7x 1是增函数 且在 10 1000 内log7x 1 0 25x 上述例子中 我们接触到了常数函数y 40 一次函数y 10 x y 0 25x 1 指数函数y 0 4 10 x y 1 002x 对数函数y log7x 这些函数中增长最快的是指数函数 增长最慢的是对数函数 常函数没有增长 应用函数的图象 通过分析函数的增长速度 函数的值域等来选择函数模型 问题2 我们学过的几种基本函数 当它们同时是增函数时 它们的增长快慢如何 如y 2x y x2 y 2x y log2x 当x 0时 随着x的增大 各函数y的增长速度如何 y 2x y x2 y 2x y log2x 增长速度最慢的是 对数函数 增长速度最快的是 指数函数 幂函数y x2与一次函数y 2x 比较 尽管开始时 y x2的增长 不如y 2x 但到某个数以后 y x2的增长速度比y 2x快得多 指数函数y 2x与幂函数y x2 也是如此 一般地 对于指数函数y ax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 无论n比a大多少 尽管在x的一定范围内 ax会小于xn 但ax增长快于xn 总存在一个x0 当x x0时 就会有ax xn 同样地 对于对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 随着x的增大 logax增长越来越慢 尽管在x的一定范围内 logax可能会大于xn 但总存在一个x0 当x x0时 就会有logax xn 特例如图 x3 2x log2x 125 512 1000 1231 32 256 1024 2048 5 8 10 11 y x3 y 2x y log2x x 5 8 10 11 32 256 1024 2048 125 512 1000 1231 2 32 3 3 32 3 46 1 指数函数y 2x 幂函数y x3 对数函数y log2x 随着x的增大 2x的图象 几乎垂直向上 增速很大 练习 第101页 只1题 练习 课本101页 在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象 并比较它们的增长情况 1 y 0 1ex 100 x 1 10 2 y 20lnx 100 x 1 10 3 y 20 x x 1 10 y 0 1ex 100 y 20lnx 100 y 20 x 在 1 5 一次函数y 20 x 在 5 10 指数型函数 增长最快 y 0 1ex 100增长最快 练习 课本101页 在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象 并比较它们的增长情况 1 y 0 1ex 100 x 1 10 2 y 20lnx 100 x 1 10 3 y 20 x x 1 10 y 0 1ex 100 y 20lnx 100 y 20 x 约在x 7时 y 20lnx 100最大 约在7 x 7 8时 y 20 x最大 约在x 7 8时 y 0 1ex 100最大 课时小结 几种函数模型的增长特点 1 各自特点 指数函数和二次幂 函数先慢后快 一次函数均匀增长 对数函数先快后慢 课时小结 几种函数模型的增长特点 2 相互比较 x很小时 对数函数 增速最快 但是负值 x很小时 直线快于 x较小时 幂函数快 幂函数和指数函数 于指数函数 x增大到一定数值时 指数函数最快 对数函数最慢 直线上升 指数爆炸 对数增长 练习 第98页 第1 2题 练习 课本98页 1 四个变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下表 关于x呈指数型函数变化的变量是 2 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的 如果某台计算机感染上这种病毒 那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒 并感染其他20台未感染病毒的计算机 现有10台计算机被第1轮病毒感染 问被第5轮病毒感染的计算机有多少台 1 四个变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下表 关于x呈指数型函数变化的变量是 分析 y1 y2 y3都是 增长速度最快的 所以y2最有可能 y4是减函数 画出 是指数型函数 图象如图 增函数 是y2 y4也可能是 指数形函数 y2 y4 解 第1轮病毒发作时被感染的台数 10台 被第2轮病毒感染的台数 10 20台 被第3轮病毒感染的台数 10 20 20台 被第4轮病毒感染的台数 10 20 20 20台 被第5轮病毒感染的台数 10 204台 1600000台 答 在第5轮病毒发作时可能有160万台计算机被感染 2 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的 如果某台计算机感染上这种病毒 那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒 并感染其他20台未感染病毒的计算机 现有10台计算机被第1轮病毒感染 问被第5轮病毒感染的计算机有多少台 3 2 2 函数模型的应用实例 第一课时 返回目录 1 在实际问题中 如何从不同的形式中获取数据信息 2 如何建立实际问题的函数模型 3 如何检验函数模型对实际问题的拟合效果 下面我们将通过例题分析的形式进行学习讨论 上课时 我们讨论了几种函数模型的增长情况 怎样用这些函数模型来反映和解决实际问题 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示 1 求图中阴影部分的面积 并说明所求面积的实际含义 2 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式 并作出相应的图象 解 1 面积S 360 图中的横坐标是时间 纵坐标是速度 则阴影部分的面积表示5小时所走过的路程 50 80 90 75 65 1 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示 1 求图中阴影部分的面积 并说明所求面积的实际含义 2 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式 并作出相应的图象 解 2 列表表示 时间段t 速度 里程表读数s 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 50 80 90 75 65 2004 50t 2054 80 t 1 2134 90 t 2 2224 75 t 3 2299 65 t 4 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示 1 求图中阴影部分的面积 并说明所求面积的实际含义 2 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式 并作出相应的图象 解 2 列表表示 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示 1 求图中阴影部分的面积 并说明所求面积的实际含义 2 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式 并作出相应的图象 此题型与统计图表相联系 从统计图表中获取信息建立 函数模型 例4 在1798年 英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下人口增长模型 y y0ert 其中t表示经过的时间 y0表示t 0时的人口数 r表示人口的年平均增长率 下表是我国1950 1959年的人口数据资料 万人 1 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 精确到0 0001 用马尔萨斯人口增长模型建立我国这一时期的人口增长模型 并检验所得模型与实际人口数据是否相符 2 如果按上表的增长趋势 大约在哪一年我国人口达到13亿 函数模型中 变量是什么 哪些是常量 t为变量 要建立我国的人口模型 需要求得什么 常量y0与r y0 r是什么 55196 九年增长率的算术平均数 常量是y0 e和r 解 1 以1950年的人口数为y0 55196 各年的增长率分别为 0 0200 r2 0 0210 r3 0 0229 r4 0 0250 r5 0 0197 r6 0 0223 r7 0 0276 r8 0 0222 r9 0 0184 则平均增长率为r r1 r2 r9 9 0 0221 我国这一时期的人口增长模型为 y 55196e0 0221t t N 画出函数图象 图象与散点图基本相符 再描出已知表中的散点图 也可求函数值比较 解 1 以1950年的人口数为y0 55196 各年的增长率分别为 0 0200 r2 0 0210 r3 0 0229 r4 0 0250 r5 0 0197 r6 0 0223 r7 0 0276 r8 0 0222 r9 0 0184 则平均增长率为r r1 r2 r9 9 0 0221 我国这一时期的人口增长模型为 y 55196e0 0221t t N 将t 1 2 9代入模型分别得 56429 57690 58980 60297 61645 63022 64431 65870 67342 各数据比较 基本相符 解 2 则55196e0 0221t 130000 解得t 39 1950 39 1989 答 大约到1989年我国人口将达到13亿 2 如果按上表的增长趋势 大约在哪一年我国人口达到13亿 y 55196e0 0221t t N 由 1 得函数模型为 要使人口达到13亿 即130000万人 2 如果按上表的增长趋势 大约在哪一年我国人口达到13亿 此题是给出函数模型 检验实际数据是否能用给定模型 刻画 其中需要用所给数据确定模型中的常量 才能得到一个 确定的函数 然后用这确定的函数解决其他变量的问题 练习 课本104页 第1 2题 1 已知1650年世界人口5亿 当时人口的年增长率为0 3 1970年世界人口为36亿 当时人口的年增长率为2 1 1 用马尔萨斯人口模型计算 什么时候世界人口是1650年的2倍 什么时候世界人口是1970年的2倍 2 实际上 1850年以前世界人口就超过了10亿 而2003年世界人口还没有达到72亿 你对同样的模型得出的两个结果有何看法 解 其中t表示经过的时间 y0表示t 0时的人口数 r表示人口的 例题中给出了马尔萨斯的人口计算模型 y y0ert 1 当y0 5 r 0 3 y 10时 得 10 5e0 003t 231 年 当r 2 1 时 33 年 1650 231 1881 1970 33 2003 答 1881年约为1650年的2倍 2003年约为1970年的2倍 年平均增长率 练习 课本104页 2 时间跨度较大时 跨度期的增长率可能因各种原因有 较大的变动 如大规模的战争 大范围的计划生育等 所以实际与模型的计算结果有出入 2 以v0m s的速度竖直向上运动的物体 ts后的高度hm满足h v0t 4 9t2 速度vm s满足v v0 9 8t 现以75m s的速度向上发射一发子弹 问子弹保持在100m以上高度的时间有多少秒 精确到0 01s 在此过程中 子弹速度的范围是多少 解 当v0 75 h 100时 得 100 75t 4 9t2 解此二次方程得 t1 1 48 t2 13 83 t2 t1 12 35 s 在这一过程中v v0 9 8t 75 9 8t 1 48 t 13 83 此一次函数是在定义域上的减函数 速度的范围为 65 50 60 50 答略 则子弹保持在100m以上的时间为 得v 60 50 60 50 课时小结 1 从统计图中获取数据信息 要点 1 理解横轴与纵轴各表示什么量 2 图中数据与变量的关系 3 用函数关系式描述实际问题 课时小结 2 从统计表中获取数据信息 要点 1 分清所给模型中的常量与变量 2 用表中数据信息确定常量 以确定所给模型的函数关系式 习题3 2 A组 第1 2 3题 1 下表是弹簧伸长的长度d与拉力f的相关数据 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象 并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式 解 根据表中数据画出散点图 由图估计 可用一次函数来刻画 弹簧伸长长度与拉力的变化 设模型为f kd b k b是常数 代入数据 1 14 2 5 70 2 得 解得k 14 b 0 2 则解析式为f 14d 0 2 检验知基本符合 习题3 2 A组 2 若用模型y ax2来描述汽车紧急刹车后滑行的距离y与刹车时的速度x的关系 而某种型号的汽车在速度为60km h时 紧急刹车后滑行的距离为20m 在限速为100km h的高速公路上 一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m 问这辆车是否超速行驶 解 将 60 20 代入y ax2得 a 0 0056 则滑行距离与刹车时的速度的函数关系为 y 0 0056x2 当y 50时 解得 x 94 5 km 答 这辆车没有超速行驶 3 某人开汽车以60km h的速度从A地到150km远的B地 在B地停留1h后 再以50km h的速度返回A地 把汽车与A地的距离x km 表示为时间t h 从A地出发时开始 的函数 并画出函数的图象 再把车速vkm h表示为时间t h 的函数 并画出函数的图象 解 A地到B地 0 2 5 x 60t 函数关系 定义域 停留 B地到A地 150 2 5 3 5 x 150 50 t 3 5 3 5 6 5 3 某人开汽车以60km h的速度从A地到150km远的B地 在B地停留1h后 再以50km h的速度返回A地 把汽车与A地的距离x km 表示为时间t h 从A地出发时开始 的函数 并画出函数的图象 再把车速vkm h表示为时间t h 的函数 并画出函数的图象 解 A地到B地 0 2 5 60 函数关系 定义域 停留 B地到A地 0 2 5 3 5 50 3 5 6 5 3 2 2 函数模型的应用实例 第二课时 返回目录 1 如何根据表中数据的规律建立实际问题的函数模型 2 如何根据散点图建立较好拟合实际问题的函数模型 例5 某桶装水经营部每天的房租 人员工资等固定成本为200元 每桶水的进价是5元 销售单价与日均销售量的关系如下表所示 请根据以上数据作出分析 这个经营部怎样定价才能获得最大利润 解 由表中数据可看出 每增加1元单价 销售量 就减少40桶 即 销售量 520 40 进销差价 设进销差价为x元 桶 利润为y元 则 y 520 40 x x 200 40 x2 520 x 200 此二次函数中 当x 6 5时 y取得最大值 即销售价定为11 5元时 利润最大 答略 例5 某桶装水经营部每天的房租 人员工资等固定成本为200元 每桶水的进价是5元 销售单价与日均销售量的关系如下表所示 请根据以上数据作出分析 这个经营部怎样定价才能获得最大利润 此题是根据数据估计函数模型 通过函数关系求最优解 然后写出函数关系式 1 根据表中提供的数据 建立恰当的函数模型 使它能比较接近地反映此地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系 2 若体重超过相同身高男性体重平均值的1 2倍为偏胖 低于0 8倍为偏瘦 那么这个地区一名身高为175cm 体重为78kg的在校男生的体重是否正常 在坐标平面上描出表中各点 解 即散点图 这些点的连线近似于y ax k的图象 取两组数代入函数式求待定常量a k 9 99 a80 k 47 25 a160 k a 1 02 k 35 得函数模型为 y 1 02x 35 经检验 各数据基本符合 1 解得 1 根据表中提供的数据 建立恰当的函数模型 使它能比较接近地反映此地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系 2 若体重超过相同身高男性体重平均值的1 2倍为偏胖 低于0 8倍为偏瘦 那么这个地区一名身高为175cm 体重为78kg的在校男生的体重是否正常 在坐标平面上描出表中各点 解 即散点图 这些点的连线近似于y ax k的图象 这里所设模型是指数函数y ax的平移 1 课本中所设模型是y a bx 与这里一样吗 课本中的a 实际就是这里的 1 根据表中提供的数据 建立恰当的函数模型 使它能比较接近地反映此地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系 2 若体重超过相同身高男性体重平均值的1 2倍为偏胖 低于0 8倍为偏瘦 那么这个地区一名身高为175cm 体重为78kg的在校男生的体重是否正常 将x 175代入函数得 解 63 98 1 2 而78 76 776 这名男生偏胖 y 1 02175 35 2 63 98 76 776 1 根据表中提供的数据 建立恰当的函数模型 使它能比较接近地反映此地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系 2 若体重超过相同身高男性体重平均值的1 2倍为偏胖 低于0 8倍为偏瘦 那么这个地区一名身高为175cm 体重为78kg的在校男生的体重是否正常 此题是根据一组数据 建立散点图 再由散点图寻求能刻画实际问题的函数模型 再由建立的函数式解决其他变量问题 练习 课本106页 第1 2题 1 某公司生产某种产品的固定成本为150万元 而每件产品的可变成本为2500元 每件产品的售价为3500元 1 分别求出总成本y1 单位成本y2 销售收入y3 总利润y4与总产量x的函数解析式 2 根据所求函数的图象 对这个公司的经济收益作出简单分析 解 1 y1 150 0 25x y3 0 35x y4 0 35x 150 0 25x 0 1x 150 练习 课本106页 1 某公司生产某种产品的固定成本为150万元 而每件产品的可变成本为2500元 每件产品的售价为3500元 1 分别求出总成本y1 单位成本y2 销售收入y3 总利润y4与总产量x的函数解析式 2 根据所求函数的图象 对这个公司的经济收益作出简单分析 解 2 y4 0 1x 150的图象如图 y4 0 1x 150 利润函数 当产量低于1500时 公司亏本 当产量大于1500时 公司才有利润 练习 课本106页 2 某地区今年1月 2月 3月患某种传染病的人数分别为52 61 68 为了预防以后各月的患病人数 甲选择了模型y ax2 bx c 乙选择了模型y pqx r 其中y为患病人数 x为月份数 a b c p q r都是常数 结果4月 5月 6月份的患病人数分别为74 78 83 你认为谁选择模型较好 解 初始数据 1 52 2 61 3 68 代入甲模型得方程组 解得a 1 b 12 c 41 甲模型为y x2 12x 41 当x 4 5 6时 y的值分别为 73 76 77 2 某地区今年1月 2月 3月患某种传染病的人数分别为52 61 68 为了预防以后各月的患病人数 甲选择了模型y ax2 bx c 乙选择了模型y pqx r 其中y为患病人数 x为月份数 a b c p q r都是常数 结果4月 5月 6月份的患病人数分别为74 78 83 你认为谁选择模型较好 解 初始数据 1 52 2 61 3 68 代入乙模型得方程组 当x 4 5 6时 y的值分别为 73 4 77 7 81 0 解得 乙模型为 甲 73 76 77 与甲相比 乙模型较好 课时小结 由一组数据建立函数模型 1 分析数据增长特点 恰当选择函数模型 2 由数据求出所选模型常量 建立函数模型 3 当数据规律不明显时 画出散点图 4 由散点图画出拟合曲线 5 选择恰当的函数模型 6 求出函数模型中的常量 建立函数关系式 7 用函数关系式解决相关实际问题 习题3 2 A组 第4 5 6题 B组 第1 2题 4 要建造一个容积为1200m3 深为6m的长方体无盖蓄水池 池壁的造价为95元 m2 池底的造价为135元 m2 如何设计水池的长与宽 才能使水池的总造价控制在7万元以内 精确到0 1m 解 由题设知水池的底面积为 1200 6 200 m2 设水池的长为xm 则宽为 于是可得池壁面积为 则水池总造价为 70000 得57x2 2150 x 1140 0 画出函数y 57x2 2150 x 1140的图象 过点 0 1140 对称轴 习题3 2 6 4 31 3 图象与x轴的交点为方程57x2 2150 x 1140 0的根 x1 6 4 x2 31 3 函数值小于0得 x的范围在6 4与31 3之间 答 水池的长宽应控制在6 4m与31 3m之间 习题3 2 5 设在海拔xm处的大气压强是yPa y与x之间的关系为y cekx 其中c k为常量 如果某游客从大气压为1 01 105Pa的海平面地区 到了海拔为2400m 大气压为0 90 105Pa的一个高原地区 感觉没有明显的高山反应 于是便准备攀登当地海拔为5596m的雪山 从身体需氧的角度出发 当大气压低于0 775 105Pa时 就会比较危险 分析这位游客的决定是否太冒险 解 将 0 1 01 105 2400 0 9 105 代入模型 得 解得c 1 01 105 k 4 757 10 5 则函数关系式为 当x 5596时 y 0 774 105 0 775 105 答 这位游客的决定是冒险的 6 一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上 才有疗效 而低于500mg 病人