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大数定律 及 中心极限定理 定理一设随机变量X1 X2 Xn 相互独立 且具有相同的数学期望和方差 E Xk D Xk 2 k 1 2 作前n个随机变量的算术平均 一大数定律 频率具有稳定性 大量测量值的算术平均值也具有稳定性 这种稳定性就是大数定律的客观背景 则对于任意正数 有 定理的意义 当n很大时X1 X2 Xn的算术平均值 这种接近 是在概率意义下的接近 通俗地讲 在定理的条件下 n个随机变量的算术平均 当n无限增大时将几乎变成一个常数 设Y1 Y2 Yn是一个随机变量序列 a是一个常数 若对于任意e 0有 则称序列Y1 Y2 Yn依概率收敛于a 记为 故上述定理一又可叙述为 定理一设随机变量X1 X2 Xn 相互独立 且具有相同的数学期望和方差 E Xk D Xk 2 k 1 2 则序列 定理二 贝努利定理 设nA是n次独立重复试验中事事件A发生的次数 p是事件A在每次试验中发生的概率 依概率收敛的序列还有以下的性质 则对于任意正数e 0 有 或 1 2 证引入随机变量 显然nA X1 X2 Xn 由于Xk只依赖于第k次试验 而各次试验是独立的 于是X1 X2 是相互独立的 又由于Xk服从 0 1 分布 故有E Xk p D Xk p 1 p k 1 2 n 由定理一有 即 贝努利定理表明事件A发生的频率nA n依概率收敛于事件的概率p 且以严格的数学形式表达了频率的稳定性 n很大时 事件发生的频率与概率的偏差很小 故可用频率代替概率 定理一中要求X1 X2 的方差存在 但服从相同分布的场合 并不需要这一要求 故有以下定理 定理三 辛钦定理 设随机变量X1 X2 Xn 相互独立 服从同一分布 且具有相同的数学期望E Xk m k 1 2 则对于任意正数e 有 1 3 二中心极限定理 有些随机变量 它们是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成的 而其中每一个别因素在总的影响中所起作用都是很微小的 这种随机变量往往近似服从正态分布 证略 易见贝努利定理是辛钦定理的特殊情况 定理四 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1 X2 Xn 相互独立 服从同一分布 且具有数学期望和方差 E Xk m D Xk s2 0 k 1 2 则随机变量 的分布函数Fn x 对于任意x满足 2 1 证略 例1 据以往经验 某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布 现随机的取16只 设它们的寿命是相互独立的 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率 解 设Xk表示第k只元件的寿命 k 1 2 3 16 则Xk服从指数分布 E Xk 100 D Xk 10000设Z X1 X2 X16则所求概率为 由于 E xk 100 D xk 1002则 定理五 李雅普诺夫Liapunov定理 设随机变量X1 X2 Xn 相互独立 且它们具有数学期望和方差 若存在正数d 使得当n 时 则随机变量 的分布函数Fn x 对于任意x 满足 证明略 定理五表明 在定理的条件下 随机变量Zn 当n很大时 服从正态分布N 0 1 由此 当n很大时 近似服从正态分布 即就是说 无论各个Xk具有怎样的分布 只要满足定理的条件 那么其和 Xk 当n很大时 近似地服从正态分布 例 如城市耗电量是大量用户耗电的总和 物理实验误差是由许多观察不到的 可加的小误差构成 故服从正态分布 定理六 德莫佛 拉普拉斯Demoiver Laplace定理 设随机变量hn n 1 2 服从参数为n p 0 p 1 的二项分布 则对于任意x 恒有 2 3 证由前面知可以将hn看成是n个相互独立 服从同一 0 1 分布的诸随机变量X1 X2 Xn之和 即有 其中Xk k 1 2 n 的分布律为P Xk i pi 1 p 1 i i 0 1 由于E Xk P D Xk p 1 p k 1 2 n 由定理四得 对于任意区间 a b 有 例2一加速器同时收到20个噪音电压Vk k 1 2 20 设它们是相互独立的随机变量 且都在区间 0 10 上服从均匀分布 记V Vk 求P V 105 的近似值 解易知E Vk 5 D Vk 100 12 k 1 2 20 由定理四 随机变量 近似服从正态分布N 0 1 于是 即有P V 105 0 387 例3设一船舶在某海区航行 已知每遭受一次波浪的冲击 纵摇角大于3o的概率为p 1 3 若船舶遭受了90000次波浪的冲击 问其中有29500 30500次纵摇角大于3o的概率是多少 解设X为在90000次波浪中纵摇角大于3o的次数 则X b 90000 1 3 其分布律为 所求的概率为 由定理六 得 其中n 90000 p 1 3 即有 P 29500 X 30500 例一家保险公司里有10000人参加保险 每年每人付12元保险费 在一年内一个人死亡的概率为0 006 死亡时其家属可向保险公司领得1000元 问 1 保险公司亏本的概率是多少 2 保险公司一年的利润不少于40000元 60000元 80000元的概率是多少 解 设x为一年内死亡的人数 则x服从B 10000 0 006 从而E X np 60D X np 1 p 59 64 1 亏本即入不敷出 公司每年收入12000元死一人支出1000元 死120人要支出120000