2014年华约数学试题分析.pdf

北京华夏天天教育科技有限公司1 6 2014 年华约高水平大学自主选拔学业能力测试年华约高水平大学自主选拔学业能力测试 数学试题分析报告数学试题分析报告 2014 年华约数学试卷的题型结构与2013 年基本没有区别 由7个解答题组成 试题难 度略有下降 无偏题怪题无偏题怪题 但是有难题但是有难题 带有高等数学背景的函数或数列题是华约试卷的重 点 今年也不例外 华约的数学试题更偏重考察基本的数学思想基本的数学思想 严谨的数学训练 重视细节 步骤与严谨 的推理 所以很多题目 考生有了解题思路之后 实际解题过程也会有一定难度 一 一 本小题满分 本小题满分 10 分 分 已知 54321 xxxxx 是正整数 任取四个其和组成的集合为 47464544 求这五个 数 解 解 五个数任取四个可以得到五个和值 故必有两个和值相同 而这五个和值之和为 54321 4xxxxx 为 4 的倍数 所以这个相同的和值只可能是 46 从而 57 4 4647464544 54321 xxxxx 这五个数分别为134457 124557 114657 104757 114657 即 10 11 11 12 13 点评 点评 此题为集合题 顺带考查数论中的整除知识 在天学网校自主招生强手营第一和此题为集合题 顺带考查数论中的整除知识 在天学网校自主招生强手营第一和 第二阶段的讲义中均有涉及 第二阶段的讲义中均有涉及 难度 难度 中等中等 二二 本小题满分 本小题满分 15 分 分 乒乓球比赛 五局三胜制 任一局甲胜的概率是 1 2 p p 若甲赢得比赛的概率是q 求p 为多少时 qp 取得最大值 解 解 若共比赛了 3 局 则甲赢得比赛的概率为 3 p 若共比赛了 4 局 则最后一局甲胜 甲 北京华夏天天教育科技有限公司2 6 赢得比赛的概率为 pp 1C 32 3 若共比赛了 5 局 则最后一局甲胜 甲赢得比赛的概率为 2 32 4 1Cpp 因此 2 32 4 32 3 3 1C1Cpppppq pppppppppppq 345 2 32 4 32 3 3 101561C1C 设 2 1 10156 345 ppppppf 则 30 1 30 1 301306030 22234 ppppppppf 当 30 1 4 1 2 1 2 1 p 0 p f 当 1 30 1 4 1 2 1 p 0 p f 所以 pf 在 1 2 1 先增后减 当 pf取得最大值时 30 1 4 1 2 1 p 点评 点评 这是一道部分伯努利概型和函数极值相结合的问题 考查了对于使用导数求极值这是一道部分伯努利概型和函数极值相结合的问题 考查了对于使用导数求极值 和最值的方法 是天学网校强手营第一和第二阶段课程的重点内容 和最值的方法 是天学网校强手营第一和第二阶段课程的重点内容 难度 难度 中上中上 三三 本小题满分 本小题满分 15 分 分 证明 xgfy 的反函数为 xfgy 11 F xfx 1 G xfx 若 1 F xGx 求证 f x为奇函数 证明证明 1 xgfy 的反函数为 ygfx 故 ygygffxf 11 yyggxfg 111 所以 xgfy 的反函数为 xfgy 11 2 由于 G x的反函数是 F x 故 1 G F xG Gxx 北京华夏天天教育科技有限公司3 6 1 f xf G F xffF xF xfx 所以 xf为奇函数 点评 点评 抽象函数问题 考查学生们对于反函数的理解 天学网校强手营第一阶段的课程抽象函数问题 考查学生们对于反函数的理解 天学网校强手营第一阶段的课程 中 对于逆映射有过很多的讨论 完全适用于该题 中 对于逆映射有过很多的讨论 完全适用于该题 难度 难度 中等中等 四四 本小题满分 本小题满分 15 分 分 函数 2 cossin sin 2 sin 24 f xxxxaxb 的最大值为 1 最小值为4 求a b 解解 222 11 cossin 2 sin sin2 sin 22 f xxxaxbxaxb 问 题 等 价 于 2 1 2 2 batttg在 11 上的最大值和最小值分别为 1 和4 下面讨论对称轴 at 0 与 11 的相对位置情况 若1 a 即1 a 则 2 1 2 2 batttg在 11 上 单 调 递 减 4111 gg 解得1 4 5 ba 若01 a 即10 a 则 411 gag 解得51 a 舍去 综上1 4 5 ba 点评 点评 这是一道三角函数值域和部分区间上二次函数的值域问题 可以通过讨论二次函这是一道三角函数值域和部分区间上二次函数的值域问题 可以通过讨论二次函 数对称轴位置的方法做出 在天学网校强手营第二阶段的讲课中特别讲到过 数对称轴位置的方法做出 在天学网校强手营第二阶段的讲课中特别讲到过 难度 难度 中等中等 五五 本小题满分 本小题满分 15 分 分 已知椭圆 22 22 1 xy ab 与圆 222 xyb 过椭圆上一点M作圆的两条切线 切点分别为 QP 直线PQ与x轴 y轴分别交于点E F 求EOF 面积的最小值 解一 解一 设 20sincos baM 直线 PQ 为点 M 关于圆 222 xyb 的极线 北京华夏天天教育科技有限公司4 6 其方程为 2 cossinaxbyb 从而 2 cossin EF bb xy a 33 1 2sin2 EOFEF bb Sxy aa 当且仅当M坐标为 ba 2 2 2 2 上述等号成立 解二解二 设椭圆上的动点M坐标为 00 yx 则直线PQ 的方程为 2 00 byyxx 其与坐标轴 的交点分别为 0 0 2 x b 0 2 0 y b 故 00 4 2yx b S OEF 且 22 00 22 1 xy ab 由均值不等式可知 22 0000 22 2 1 xyx y abab 故 00 2 ab x y 得到 a b yx b S OEF 3 00 4 2 点评 点评 椭圆中三角形面积最值问题 使用切点弦的方法解决 在天学网校强手营第二阶椭圆中三角形面积最值问题 使用切点弦的方法解决 在天学网校强手营第二阶 段解析几何一部分中有所讲解 段解析几何一部分中有所讲解 难度 难度 中上中上 六六 本小题满分 本小题满分 15 分 分 已知数列 n a满足 1 0a 1 n nn anpqa 若1q 求 n a 若1p 1q 求证 数列 n a有界 证明 1 1 n nn aanp 则 1 21 11 1 21 n n nkk k aaaappnp 当1p 时 1 2 n n n a 当1p 时 23 21 n n pappnp 231 1 nn nn apappppnp 北京华夏天天教育科技有限公司5 6 1 1 2 1 1 1 1 1 1 n n nn n pp np npnpp p a p p 2 1 n nn nnnn anpqanpqan pa 所以 1 n nn aan p 于是 1 21 2 1 21 1 nn n n npn pp appnp p 而 1 110 nnnnn npn pnpn pp 所以 2 1 n p a p 即证 n a有界 点评 点评 数列的递归公式 在天学网校强手营第二阶段的课程中 我们特别讲过的递归公数列的递归公式 在天学网校强手营第二阶段的课程中 我们特别讲过的递归公 式的所有类型正是为了此题 式的所有类型正是为了此题 难度 难度 较高较高 七 七 本小题满分 本小题满分 15 分 分 已知 n N xn 求证 2 1 e nx x nnx n 证明 原不等式等价于 2 1 e n x n x nxn n 当 2 xn 时 上述不等式左边非正 不等式成立 当 2 xn 时 由于 e10 y y y 及贝努利不等式 1111 n ynyny 其中 从而 22 2 22 1 e1111 nn n x n xxxxx nnnnnnx nnnnn 即证 点评 点评 此题也可以使用导数的方法来做 难度较大 在天学网校强手营第一和第二阶段此题也可以使用导数的方法来做 难度较大 在天学网校强手营第一和第二阶段 课程的不等式一节中有所讲解 课程的不等式一节中有所讲解 难度 难度 较高较高 北京华夏天天教育科技有限公司6 6 备考建议 备考建议 全国一本大纲 不分省命题 因此在复习时应补上没学过的内容 文理科考查知识点基本相同 因此在复习时应该将在高考中文科不讲的 知识点 如排列组合等补上 侧重对于数学基本思想 如划归转化 分类讨论 数形结合 函数方程 等思想 的考查 因