08北京高考数学试题文科.doc

2008年数学（文史类）（北京卷）解析本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至2页。第卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。第卷（选择题共40分）一、题共8小题，第小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，,则集合AB等于（A）x|x3或x4（B）x|1x3（C）x|3x4 (D) x|2xbc（B）bac（C）cab（D）bca解：由函数的单调性易得 答案为B（3）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为x=”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）即不充分也不必要条件解：充分性显然成立，当双曲线的准线方程为x=的时候，不能唯一确定双曲线的方程，故选A（4）已知ABC中，a=,b=,B=60,那么角A等于（A）135(B)90(C)45(D)30解：由正弦定理易求得A或，据三角形内角和定理舍去 故选C（5）函数f(x)=(x-1)2+1(x1)（B）f-1(x)=1-(x1)（C）f-1(x)=1+(x1)（D）f-1(x)=1-(x1)解：由知，排除C，D，据运算易得B满足 故选B（6）若实数x，y满足 的最小值是 (A)0(B)(C)1(D)2解：画出可行域知当且仅当时取得最小值0，故选A（7）已知等差数列an中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列bn的前5项和等于(A)30 （B）45 (C)90 (D)186解：易求，从而可求数列前5项和为90，选C（8）如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP=x, MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是解：显然当且仅当点P在中点处时，取得最大值，且函数匀速增减故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。(9)若角的终边经过点P(1,-2),则的值为解：由三角函数的定义可求，故易得(10)不等式的解集是解：原不等式可化为：从而易得答案(11)已知向量a与b的夹角为120，且a=|b|=4,那么ab的值为8.解：易求ab448(12)若展开式的常数项为 10 ; 各项系数之和为32.（用数字作答）解：易得展开式的通项为当解得故可求常数项为10.则有(13)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则2 ; 函数f(x)在x=1处的导数 = 2 .解：据图知故易求所以(14)已知函数对于上的任意x1,x2,有如下条件： x1x2; x21x22; |x1|x2.其中能使f(x1) f(x2)恒成立的条件序号是.解：因为显然故得答案。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数的最小正周期为.（）求的值；（）求函数f(x)在区间0，上的取值范围.解：（）=因为函数f(x)的最小正周期为,且0，所以，解得=1.（）由（）得因为0x，所以所以1.因此0，即f(x)的取值范围为0，（16）（本小题共14分）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC.（）求证：PCAB；（）求二面角B-AP-C的大小.解法一：（）取AB中点D，连结PD，CD. AP=BP，PDAB.AC=BC.CDAB.PDCDD.AB平面PCD.PC平面PCD，PCAB.（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC，PCBC.又ACB90，即ACBC，且ACPC=C，ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.在BCE中，BCE=90,BC=2,BE=，sinBEC=二面角B-AP-C的大小为aresin解法二：（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBC=C,PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB.()如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，t）,PB=AB2，t=2,P(0,0,2).取AP中点E，连结BE，CE.AC=PC,AB=BP,CEAP,BEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.E(0,1,1),cosBEC=二面角B-AP-C的大小为arccos（17）（本小题共13分）已知函数是奇函数.（）求a,c的值；（）求函数f(x)的单调区间.解：（）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的xR,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.所以解得a=0，c2.（）由（）得f(x)=x3+3bx+2.所以f(x)=3x2+3b(b0).当b0时，由f(x)=0得x=x变化时，f(x)的变化情况如下表：x(-,- )-(-,)(,+)f(x)+0-0+所以，当b0时，函数f (x)在（-，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增.当b0时，f(x)0.所以函数f (x)在（-，+）上单调递增.(18)（本小题13分）甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 （1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率。解：（）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P（EA）=即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是（）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么P（E）所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（）=1-P(E)=（19）（本小题共14分）已知ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l:y=x+2上，且ABl.（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当ABC=90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.解：（）因为ABl，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由得所以又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以（）设AB所在直线的方程为y=x+m. 由得因为A，B在椭圆上，所以设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.则所以又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即所以所以当m=-1时，AC边最长.（这时）此时AB所在直线的方程为y=x-1.（20）（本小题13分）数列满足是常数。（1） 当时，求的值；（2） 数列是否可能成为等差数列？若可能，求出他的通项公示；若不可能，说明理由；（3） 求的取值范围，使得存在正整数，当解：（）由于且a1=1， 所以当a2=-1时，得, 故从而（）数列an不可能为等差数列.证明如下：由a1=1，得若存在，使an为等差数