2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学（理）试题试卷—附答案

理科数学试题 第 1页 共 6 页 2019 2020学年高中毕业班第一次综合质量检测 理理 科科 数数 学学 满满分分 150 分分考考试试时时间间 120 分分钟钟 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 3 全部答案答在答题卡上 答在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 一一 选选择择题题 本本大大题题共共 12 小小题题 每每小小题题 5 分分 在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中 只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的 1 设集合 03 2 xxxA 0log 2 xxB 则 AB A 31 xxB 20 xx C 30 xxD 10 xx 2 在复平面内 复数 2 1 2i 1 i 对应的点在 A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 3 已知命题p R sin cos2xxx 则p 为 A 000 R sincos2xxx B R sin cos2xxx C R sin cos2xxx D 000 R sincos2xxx 4 下列函数中 既是奇函数又在 0 单调递减的函数是 A xx y 22B xxytan C xxysin D x x y2 1 理科数学试题 第 2页 共 6 页 5 已知函数x x x xfsin 1 2 则函数 yf x 的图像大致为 A B C D 6 从区间 10 随机抽取n2个数 nn yyyxxx 2121 组成坐标平面上的n个点 11 yx 22 yx nn yx 其中到原点距离小于1的点有m个 用随机模拟的 方法得到的圆周率 的近似值为 A m n4 B m n2 C n m4 D n m2 7 执行如图所示的程序框图 输出的结果是 A 5B 6C 7D 8 8 已知非零向量a b满足 4 4 baba 2 2 aa b 则向量a b夹角为 A 6 B 3 C 2 D 2 3 9 设抛物线C 2 4xy 焦点为F 直线2ykx 与C交于 A B 两点 且 25AFBF 则k的值为 A 2 B 1 C 1 D 2 理科数学试题 第 3页 共 6 页 10 已知函数xx x x xfcossin2 tan1 tan1 2 2 给出下列三个结论 函数 xf的最小正周期是 函数 xf在区间 8 8 上是增函数 函数 xf的图像关于点 0 8 对称 其中正确结论的个数是 A 0B 1C 2D 3 11 设数列 n a满足 1 2 1 nn aan 1 2a 则数列 1 n n a 的前200项和是 A 20100B 20200C 40200D 40400 12 在棱长为 4 的正方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别为 1 AA BC的中点 点M在 棱 11 BC上 111 1 4 B MBC 若平面FEM交 11 AB于点N 四棱锥 11 NBDDB 的五 个顶点都在球O的球面上 则球O半径为 A 2 29 3 B 5 2 2 C 2 5D 30 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 函数 lnf xxx 的单调递减区间是 14 将 5 名志愿者分派到 2 个不同社区参加公益活动 要求每个社区至少安排 2 人参加活 动 则不同的分派方案共有种 用数字作答 15 设 n a是公差不为零的等差数列 4 a是 2 a与 8 a的等比中项 37 20aa 则 n a 理科数学试题 第 4页 共 6 页 16 双曲线C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别是 12 F F 若双曲线上存在点 P满足 2 12 2PF PFa 则双曲线C离心率的取值范围为 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 锐角ABC 的内角CBA 的对边分别为cba 设abCcba3tan 222 1 求C 2 若3sin4sinAB 且ABC 的面积为3 3 求ABC 的周长 18 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥SABCD 中 平面SBD 平面ABCD 2 3ABAD 2CBCD 120BCD 1 求证 AC SB 2 若M为线段BD上的一点 1 4 DMBD 3 3 2 SM SMBD 求平面ABS与平面BCS所成锐二面角的余弦值 19 本小题满分 12 分 已 知 椭 圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的 长 轴 长 是 离 心 率 的 两 倍 直 线l 4430 xy 交C于 A B两点 且AB的中点横坐标为 1 2 1 求椭圆C的方程 2 若MN 是椭圆C上的点 O为坐标原点 且满足 22 3 4 OMON 求证 OM ON斜率的平方之积是定值 理科数学试题 第 5页 共 6 页 20 本小题满分 12 分 已知函数 ln R xa f xa x e1 x g x 1 求 f x的单调区间 2 若 g xf x 在 0 上成立 求a的取值范围 21 本小题满分 12 分 某购物商场分别推出支付宝和微信 扫码支付 购物活动 活动设置了一段时间的推 广期 由于推广期内优惠力度较大 吸引越来越多的人开始使用 扫码支付 现统计了 活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次 用x表示活动推出的天数 y表示每天使用 扫码支付的人次 统计数据如下表所示 x 1234567 y 611213466101196 1 根据散点图判断 在推广期内 扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程 适合用 x dcy 来表示 求出该回归方程 并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次 2 推广期结束后 商场对顾客的支付方式进行统计 结果如下表 支付方式现金会员卡扫码 比例20 50 30 商场规定 使用现金支付的顾客无优惠 使用会员卡支付的顾客享受 8 折优惠 扫码支付 的顾客随机优惠 根据统计结果得知 使用扫码支付的顾客 享受 7 折优惠的概率为 6 1 享受 8 折优惠的概率为 3 1 享受 9 折优惠的概率为 2 1 现有一名顾客购买了a元的商品 根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率 估计该顾客支付的平均费用 是多少 参考数据 设 ii yvlg 52 1 7 1 7 1 i i vv 56 49 7 1 i ii vx 31 310 52 0 参考公式 对于一组数据 2211nn vuvuvu 其回归直线uv 的斜率和 截距的最小二乘估计公式分别为 2 1 2 1 unu vunvu n i i n i ii uv 理科数学试题 第 6页 共 6 页 请考生在第 22 23 二题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所 做第一个题目计分 做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中 以原点O为极点 以x轴正半轴为极轴 建立极坐标系 直线l的极坐标方程为 2 cos 1 4 曲线C的参数方程为 2 cossin cossin x y 为参数 BA 为直线l上距离为 2 的两动点 点P为曲线C上的动点且不在直线l 上 1 求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程 2 求PAB 面积的最大值 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 2 txxf 若1 xf的解集为 0 1 1 求t并解不等式2 xxf 2 已知 Ra b 若 22 2 xbaxf 对一切实数x都成立 求证 1 2 ba 20192019 20202020 学年高中毕业班第一次综合质量检测学年高中毕业班第一次综合质量检测 理科数学试题答案及评分参考理科数学试题答案及评分参考 说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 60 分 1 A 2 C 3 D 4 D 5 C 6 C 7 B 8 B 9 A 10 B 11 B 12 A 二 填空题 本题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 20 分 13 1 0 e 14 20 15 2n 16 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 解 1 由已知及余弦定理可得 sin 2cos2sin3 cos C abCabCab C 2 分 3 sin 2 C ABC 为锐角三角形 3 C 5 分 2 由正弦定理 可得34ab 6 分 13 sin 3 3 24 ABC SabCab 12ab 8 分 解得4 3ab 9 分 由余弦定理得 222 2cos169 1213cababC 13c 于是ABC 的周长为713 12 分 18 本小题满分 12 分 证明 设AC交BD于点P ADAB CBCD 所以 ACDBCD 所以60ACBACD 在BCD 中 CBCD 且60ACBACD 得CPBD 即 ACBD 2 分 又平面SBD 平面ABCD 平面SBD平面ABCDBD AC 平面ABCD 所以AC 平面SBD 3 分 又SB 平面SBD 所以AC SB 5 分 2 平面SBD 平面ABCD 平面SBD平面ABCDBD SM 平面SAB SMBD 所以SM 平面ABCD 6 分 以P为原点 以射线 PA PB PQ为x轴 y轴 z轴正半轴建立空间直角坐标系 3 0 0 A 0 3 0 B 3 3 3 0 22 S 1 0 0 C 3 33 3 0 22 SB 3 3 0 AB 1 3 0 BC 7 分 设平面ASB的法向量为 nx y z 则 3 33 3 0 22 330 yz xy 取1x 得 1 3 3 n 9 分 设 平 面SBC的 法 向 量 为 nx y z 则 3333 0 22 30 yz xy 取1y 得 3 1 1 m 11 分 设所求角为 则 105 cos cos 35 n m n m n m 所求的锐二面角余弦值为 105 35 12 分 19 本小题满分 12 分 解 由椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的长轴长是离心率的两倍 得22ae 即 2 ac 1 分 设 1122 A x yB x y 联立 22 22 1 xy ab 和4430 xy 整理得 2222222 39 0 216 ab xa xaa b 3 分 所以 2 12 22 3 2 a xx ab 依题意得 2 22 3 2 1 a ab 即 22 2ab 5 分 由 得依题意得 22 11 24 ab 所以椭圆C的方程为 22 241xy 6 分 2 设 3344 M x yN x y 由 22 3 4 OMON 得 2222 3344 3 4 xyxy 7 分 因为 3344 M x yN x y在椭圆C上 故 22 34 1 2 xx 9 分 22 22 34 22 34 2222 3434 11 1 2 1 2 44 OMON xx y y KK x xx x 2222 3434 22 34 1 1 2 4 1 16 4 xxx x x x 12 20 本小题满分 12 分 20 解 1 2 1 ln xa fx x 0 x 1 分 当 1 0e a x 时 0 fxf x 单调递增 2 分 当 1 e a x 时 0 fxf x 单调递减 3 分 所以 f x的单调递增区间为 1 0 e a 单调递减区间为 1 e a 4 分 2 由 g xf x 得 ln e1 x xa x 也就是eln x axxx 令 eln x h xxxx 5 分 则 1 ee1 xx h xx x 1 1 e x x x 由0 x 知 10 x 设 1 e x t x x 2 1 e0 x t x x t x在 0 单调递增 6 分 又 1 e20 1 e 10 2 tt 所以存在 0 1 1 2 x 使得 0 0t x 即 0 x 0 1 e x 7 分 当 0 0 xx 时 0h x h x在 0 0 x单调递减 当 0 xx 时 0h x h x在 0 x 单调递增 9 分 所以 0 min0000 eln x h xh xxxx 00 11xx 11 分 所以a的取值范围是 1 12 分 21 本小题满分 12 分 解 解 1 由 x dcy 两边同时取常用对数得 xdcdcy x lglg lg lg 设vy lgxdcv lglg 1 分 52 1 4 vx 14049362516941 7 1 2 i i x 2 分 25 0 28 7 47140 52 14756 49 47 7 lg 2 2 7 1 2 7 1 i i i ii x vxvx d 4 分 把样本中心点 52 14 代入xdcv lglg 得 52 0 lg c xv25 052 0 xy25 052 0 lg 5 分 y 关于x的回归方程为 xxx y 10 31 3101010 25 025 052 025 052 0 把8 x代入上式 3311031 3 2 y 活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 331 7 分 2 记一名顾客购物支付的费用为 则 的取值可能为 a a9 0 a8 0 a7 0 8 分 2 0 aP 15 0 2 1 3 0 9 0 aP 6 0 3 1 3 05 0 8 0 aP 05 0 6 1 3 0 7 0 aP 10 分 分布列为 a a9 0 a8 0 a7 0 P 2 0 15 0 6 0 05 0 所以 一名顾客购物的平均费用为 aaaaa85 005 07 0